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| == 소수가 수인가요? == | | == 소수가 수인가요? == |
| 예를 들어 똑같은 수를 3/2처럼 분수 꼴로도, 1.5처럼 소수 꼴로도 나타낼 수 있습니다. 그렇다고 하여 3/2를 소수라고 하지는 않습니다. 이렇게 보면 ‘소수’라는 말은 특정한 방식으로 나타내었다는 뜻을 내포함을 알 수 있습니다. | | 예를 들어 똑같은 수를 3/2처럼 분수 꼴로도, 1.5처럼 소수 꼴로도 나타낼 수 있습니다. 그렇다고 하여 3/2를 소수라고 하지는 않습니다. 이렇게 보면 ‘소수’라는 말은 특정한 방식으로 나타내었다는 뜻을 내포함을 알 수 있습니다. |
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| :::::::0+0.999...가 되겠죠. 끝 점을 포함하는 0에서 1사이의 실수라는 뜻이었습니다. --[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 25일 (금) 08:31:01 (KST) | | :::::::0+0.999...가 되겠죠. 끝 점을 포함하는 0에서 1사이의 실수라는 뜻이었습니다. --[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 25일 (금) 08:31:01 (KST) |
| ::::::::끝점을 포함하면 말씀하신 표현은 결국 ‘모든 실수’라는 뜻밖에 안 됩니다. 모든 실수가 소수라구요? --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 12월 28일 (월) 11:08:49 (KST) | | ::::::::끝점을 포함하면 말씀하신 표현은 결국 ‘모든 실수’라는 뜻밖에 안 됩니다. 모든 실수가 소수라구요? --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 12월 28일 (월) 11:08:49 (KST) |
| 콜론이 많아져서 새로 씁니다. 모든 실수는 ''소수 표기''가 존재합니다. 모든 실수가 소수라는 말은 뭔가 이상하지만 틀린 말은 아니죠. --[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 28일 (월) 11:17:54 (KST)
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| 헷갈릴 수도 있을 것 같아서 소수에 대한 제 생각을 다시 정리하면, 저는 '''소수점 표기'''가 있는 수를 '''소수'''라고 생각합니다. 그게 실수든 복소수든 상관없이 말이죠. 소수를 수의 표현 방식, 혹은 수 그 자체, 혹은 둘 다로 받아들이는 것은 개인의 문제라고 생각합니다. 만약 문서가 소수를 수로 받아들이고 서술되어 있는 것이 문제라면 서문에 "여기서 소수는 소수점 표기가 있는 수"라고 분명하게 밝히면 될 것 같습니다. --[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 28일 (월) 11:32:04 (KST)
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| : 1. 그러니까 “0에서 1사이의 실수 + 정수”라는 말씀은 철회하신 거고 “'''소수점 표기'''가 있는 수”라고 다시 말씀하시는 거지요? 그렇게 알겠습니다.
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| : 2. 초등학교 (국정) 교과서 및 지도서를 볼 수 있는 곳을 찾았습니다. http://jaemin.net/jidoseo.htm 분수와 소수는 초등학교 3학년 1학기 과정인데요, “"다음 수를 소수로 바꾸어라"같은 구문이 한 예”라고 하셨던 것과는 달리 일관되게 “소수로 … 나타내어 보시오”(교과서 213쪽)라거나 “소수로 나타내는 방법”(214쪽)과 같은 식으로 항상 ‘나타내다’를 수반하여 쓰지 ‘바꾸다’를 쓰는 경우는 없는 것 같습니다(익힘책도 마찬가지입니다. 116쪽 이하).
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| : 물론 그렇다고 하여 소수를 수로서 쓰는 예가 없다는 것이 아니고, 바로 다음에 나오는 “소수의 크기를 비교”에서는 소수가 수인 것처럼 다룹니다. 즉 교과서에서는 소수를 수 혹은 표기법으로 혼동해서 쓰고 있는 것으로 보입니다.
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| : 교과서 상의 정의도 “0.1, 0.2, 0.3과 같은 수를 소수라 하고, ‘.’을 소수점이라고 합니다.”(교과서 212쪽)라고 하여 수인 것처럼 다룹니다. 여기서는 십진법에 의존하였지만 소수점 표기가 위치기수법의 확장이니 당연한(어쩔 수 없는) 것으로 보이고, 또 0보다 크고 1보다 작은 수만 다루는 것처럼 보이나 바로 뒤의 214쪽에서는 정수 자리도 있는 소수들을 다루고 있습니다. 한편 “0.1, 0.2, 0.3과 같은” 게 대체 어떤 것인지 명확하지는 않으나 바로 뒤에 소수점 이야기를 꺼낸 것으로 보아 소수점이 표기에 사용된다는 점이 공통점이라고 지적하고 있는 듯합니다. 즉 교과서에서는 말씀하신 것처럼 “'''소수점 표기'''가 있는 수”라고 정의하고 있다고 생각해도 될 것 같습니다.
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| : 그런 한편 지도서에서는 “유리수를 표현하는 방법인 또 다른 방법인 소수(小數)는 영어로 decimal 또는 decimal fraction이라고 불린다. Decimal fraction은 십진소수 또는 십진분수라고 부를 수 있는데 분모가 10의 거듭제곱인 분수를 의미한다.”(369쪽)라고 하고 있습니다. ‘유리수를 표현하는 방법’이라고 하고 있다는 한계가 있고, “분모가 10의 거듭제곱인 분수”라는 표현도 무한소수에 대해서는 적용될 수 없다는 문제는 있지만, ‘표현하는 방법’이라고 전제하고 시작하고 있습니다. 즉 교과서 상의 정의와 지도서의 입장 사이에 혼선이 있는 것 같습니다.
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| : 다음 내용은 지도서 8쪽입니다. “초등학교 교사는 수학적 정의가 아니라 학생들이 이미 가지고 있는 관념에 기초한 비형식적인 정의로 어떤 것이 가능한지 미리 파악하고 그것을 토대로 수학적인 개념, 성질을 끌어낼 수 있도록 해야 한다. 예를 들어, 3학년에서 원을 다룰 때에는 …(중략)… 이와 같이 비형식적인 정의를 활용하다 보니 때로는 내부까지 포함된 도형을 원으로 보기도 하고, 때로는 내부를 제외한 원주만 원으로 보는 일이 발생한다. …(중략)… 그러므로 비형식적인 정의의 내용이 불완전하거나 수학적인 의미에서는 부족하더라도 ……”라고 하고 있는데요, 이에 따르면 교과서의 정의는 ‘비형식적인 정의’일 수 있으며 이는 ‘정의의 내용이 불완전하거나 수학적인 의미에서는 부족’할 수 있다고 합니다. 그렇다면 교과서보다는 지도서의 입장을 좀 더 우선해야 하는 것이 아닐까요.
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| : 3. 또 개인의 문제라고 하셨는데, 그건 어느 쪽을 택하든 별 문제가 없을 때에 할 수 있는 말이라고 생각합니다. 제가 제기한 문제에 대해서, 1=0.999…인데 “1은 분명히 소수가 아니고, 0.999...는 소수”라고 하셨잖아요. 수는 분명히 '''같은 수'''인데, 이렇게 '''나타내면''' 소수가 되고 저렇게 '''나타내면''' 소수가 아니게 된다는 것인데, 그렇다면 ‘소수’라는 낱말이 나타내는 방법 즉 표기법에 관한 것이지 어떻게 수에 관한 것이 되겠느냐, 하는 것이 제 문제제기의 골자였습니다. 저는 표기법으로 보는 쪽이 더 타당하고, 수로 볼 수도 있다고 하더라도 표기법으로 보는 쪽이 더 우월하다고 생각합니다. 어느 쪽이 낫고 못함이 없어서 개인의 취향 문제로 온전히 돌아가는 것이 아니구요.
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| : 4. 한편 복소수도 언급하셨는데요, ''a''+''bi'' 꼴로 나타내는 경우에 대한 이야기인 것 같은데 이는 그와 같은 표기에 사용되는 실수 ''a''와 실수 ''b''를 소수로 나타낸 것에 지나지 않는다고 생각합니다. ''Re''<sup>''iθ''</sup> 꼴도 실수 ''R''과 실수 ''θ''에 대해 그와 같이 표기하는 것으로서 우리가 소수로 나타내는 것은 결국 실수 ''R''과 실수 ''θ''이므로 마찬가지입니다.
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| : 5. 저는 앞서 2와 3에서 말씀드렸듯 표기법으로 보는 편이 더 우월하다고 생각합니다. 그러나 ‘소수의 크기 비교’ 등 수로서 쓰이는 용례를 무시할 수 있는 것도 아니라고 생각합니다. 제 생각에는 정의는 “(1보다 작은 단위에서 유의미한 값을 가지는) 실수를 소수점을 이용해 나타낸 것” 정도로 하고 여기에 “그와 같이 나타낸 수를 일컫기도 한다” 정도로 덧붙이면 족하지 않을까 합니다(덧붙이는 방식이 백과사전적이기보다는 국어사전적이지 않나 하는 느낌이 있기는 합니다).
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| : 제가 요즘 불규칙하게 일이 생기는 바람에 접속이 띄엄띄엄한 점에 대해서는 정말 죄송합니다. 그래도 성의 있게 토론 진행해 주셔서 고맙습니다. --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 12월 28일 (월) 17:37:28 (KST)
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| ::#개인적으로는 소수점 표기가 있는 수가 곧 정수 + 0에서 1 사이의 수와 별반 다를게 없다고 생각합니다만...
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| ::#지도서가 논문도 아니고 우선시할 필요는 없죠. 하지만 정의의 내용이 불완전하다는 부분은 중요해 보입니다.
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| ::5. 그 정도 정의면 저도 괜찮습니다. 아침에 일어나면 수정하겠습니다. 아니면 먼저 고치셔도 괜찮고요.--[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 28일 (월) 18:46:59 (KST)
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| ::: 수정하였습니다. 고생하셨습니다. --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 12월 29일 (화) 01:44:43 (KST)
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| {{완료된 토론 끝}}
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| == 소수 표현의 존재성과 유일성 ==
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| {{완료된 토론 시작}}
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| 그러고 보니 소수 표현의 존재성과 유일성도 추가해야 할 것 같네요. --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 12월 29일 (화) 01:44:43 (KST)
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| :수정 확인하였습니다. 수고하셨습니다. 소수 표현의 존재성과 유일성은 [[분수 (수학)]]의 분수 전개의 유일성파트에서 한 줄만 더 추가하면 되기때문에 그쪽을 참조하라고 서술하면 될 것 같습니다. --[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 29일 (화) 01:48:25 (KST)
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| ::아 정말 이미 있었네요. 그런데 ‘분수 전개’라고 하나요? '''''n''진 소수 표현'''이라고 하여야 할 것 같은데요.
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| ::우리가 예를 들어 123이라는 숫자를 써 놓고 각각 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리이다, 그래서 1이라고 적혀 있지만 사실은 100을 뜻하고 2라고 적혀 있지만 사실은 20을 뜻한다, 뭐 이런 걸 옛날부터 강조했잖아요. 즉 123이라고 썼지만 이는 사실 1×10<sup>2</sup>+2×10<sup>1</sup>+3×10<sup>0</sup>이라는 의미잖아요.
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| ::즉 [[기수법]] 문서에서 말씀하신 것처럼 “10진법의 수 2222가 있다고 가정하자. 우리는 이 수를 <math>2222=2\times10^3+2\times10^2+2\times10^1+2</math>로 나타낼 수 있다는 것을 초등학교에서 배웠을 것이다. 이런식으로 수를 표기하는 것을 10진법 전개라고 하”ㄴ다기보다, 어떤 실수 ''a''의 10진법 전개를 할 수 있고, 즉 예를 들어 2×10<sup>3</sup>+2×10<sup>2</sup>+2×10<sup>1</sup>+2×10<sup>0</sup>와 같이 나타낼 수 있고 '''따라서''' 이 수를 2222라고 적을 수 있다는 거잖아요. 즉 2222라고 이미 적었지만 거듭제곱과 곱셈과 덧셈을 이용해 2×10<sup>3</sup>+2×10<sup>2</sup>+2×10<sup>1</sup>+2×10<sup>0</sup>이라고도 적을 수 있는지가 궁금한 게 아니고, 어떤 실수 ''a''를 2222라고 적기 위한 목적으로 그 실수를 2×10<sup>3</sup>+2×10<sup>2</sup>+2×10<sup>1</sup>+2×10<sup>0</sup> 꼴로 나타내 보았다는 거잖아요. 즉 2×10<sup>3</sup>+2×10<sup>2</sup>+2×10<sup>1</sup>+2×10<sup>0</sup>를 간략하게 표기한 게 2222이고, 10진법 전개라는 게 결국 '''2222'''라구요. 존재성과 유일성 파트에서 그 2222라고 적을 수 있는 까닭을 밝히겠다는 거잖아요.
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| ::마찬가지로 0≤''x''<1인 실수 ''x''를 적당한 정수 <math>0\leq c_i< b</math>에 대해, <math>x=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{c_i}{b^i}</math> 꼴로 나타낼 수 있는지가 궁금한 건 결국 이 수를 <math>x=0.c_1 c_2 c_3 \cdots</math>로 쓰고 싶기 때문이잖아요. 그리고 앞서 길게 논의했듯이 이런 꼴을 우리가 “소수”라고 하구요. 즉 우리가 궁금한 건 0≤''x''<1인 실수 ''x''를 ''b''진 전개할 수 있는지, 다시 말해 ''b''진 소수 전개 혹은 ''b''진 소수 표현이 궁금한 거죠. 근데 그렇다고 증명할 명제를 “<math>x=0.c_1 c_2 c_3 \cdots</math>인 적당한 정수 <math>0\leq c_i< b</math>가 유일하게 존재한다”라고 해 버리면 뭘 하겠다는 건지 덜 명확하기도 하고 존재하는지를 알기도 전에 표기법부터 정한 꼴이 되어 앞뒤가 안 맞잖아요. 그렇기 때문에 머릿속에서는 <math>x=0.c_1 c_2 c_3 \cdots</math>를 떠올리더라도 명제를 적을 때는 “<math>x=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{c_i}{b^i}</math>인 적당한 정수 <math>0\leq c_i< b</math>가 유일하게 존재한다”라고 적고 증명하는 것으로 보입니다. 그러니 목적도 <math>x=0.c_1 c_2 c_3 \cdots</math>로 즉 분수가 아닌 소수로 적겠다는 것이고 ''b''진 소수 표현이라고 부르면 족할 것 같은데 왜 굳이 ‘분수 전개’라는 용어가 등장하는지 모르겠습니다. 혹시 fractional expansion 비슷한 용어가 있었다고 한다면 거기서 fractional은 어떤 실수 ''x''의 정수부(integer part) [''x'']에 대해서 가수부 혹은 소수부(fractional part) {''x''}를 일컫는 말이 아닐까요. 이처럼 분수가 아닌 소수에 관한 것이니 서술 역시 소수 항목에서 되어야 할 것 같구요.
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| ::한편 제가 존재성과 유일성 얘기를 꺼낸 이유를 말씀드리자면, 제가 알기로는 ''n''이 2 이상의 정수일 때뿐만 아니라 사실 ''n''이 1보다 큰 실수이기만 하면 0≤''x''<1인 실수 ''x''의 base ''n'' expansion을 생각할 수 있습니다(물론 이때는 각 자릿수가 0 이상 '''''n'' 미만'''의 정수라고 하게 됩니다). 존재성을 보이는 과정도 똑같습니다. ''n''배 후 정수 부분과 fractional 부분을 나누는 작업을 무한히 반복하면 됩니다. 다만 문제는 유일성인데요, ''n''이 정수일 때에만 “소수점 아래 어떤 자리부터 ''n''−1만이 계속되는 경우만 불허하면 소수 표현은 유일하다”와 같은 식의 명제를 증명할 수 있습니다. 그리고 이게 1보다 큰 모든 실수가 아니라 2 이상의 정수 ''n''에 대해서만 ''n''진 전개를 주로 생각하는 이유라고 알고 있습니다. 즉 유일성을 더 깊이 음미하기 위해 이 내용이 도움이 될 수 있을 것 같고, 존재성과 유일성을 설명하는 김에 이 내용을 삽입하면 어떤가 하는 거였는데, 근데 …… 대체 제가 이 내용을 어디서 봤는지 도무지 알 수가 없네요. 일단 Hrbacek & Jech에는 없는 것 같습니다. --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 12월 29일 (화) 14:04:16 (KST)
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| :::분수 전개라는 표현은 제가 적절한 단어를 떠올리지 못해서 그냥 쓴 것입니다. 기수법 항목에 있는 진법 전개도 마찬가지고요. 사실 저 분수 전개의 유일성 파트를 소수에 써야할지 분수에 써야할지 고민을 많이 했는데, 제 생각엔 소수는 분수가 정의되고 나서야 의미를 가진다고 판단하여 분수에 작성하였습니다. 사실 소수 표현의 존재성은 소수 표기법의 정의 자체에서 보장된다고 저는 생각합니다 (즉, 분수를 직관적으로 알아볼 수 있게 나타낸 표기가 소수 표기법인 것이죠. 뭔가 설명하기가 힘드네요). 그럼 문제가 되는 것은 유일성인데, 분수 전개의 유일성이 곧 어떤 분수를 소수로 바꿨을 때의 표현의 유일성, 즉 달리 말하면 주어진 (분)수의 소수 표현이 (주어진 기수에서) 유일함을 보인다고 생각하였습니다. 참고로 저 분수 전개에 관한 내용은 Elementary Number Theory and its applications 6th edition, by Kenneth H. Rosen에 나오는 내용입니다. --[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 29일 (화) 14:14:19 (KST)
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| ::::쓰고 나니 좀 근거가 열악한 거 같아서 철회할까 했는데 벌써 답을 주셨네요. [[분수 (수학)]] 문서 다시 읽어 보다 보니 5장 소수 표기시 형태에서의 증명을 위해서는 ‘소수 표현’이 아닌 ‘분수 전개’라는 논의가 꼭 필요해 보입니다……(물론 저도 적절한 단어가 아닌 것 같기는 한데, 잘 떠오르지 않네요……). Number theory에서 보기에는 매우 자연스러운 관점이었던 것 같습니다. 이해가 갑니다.
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| ::::한편 소수 표현의 존재성은 소수 표기법의 정의 자체에서 보장된다고 하셨는데, 유한소수에 대해서는 완전히 공감합니다만 무한소수에 대해서는…… 그 무한소수와 같은 소수 자릿수의 열을 얻는 과정을 반드시 기술해 줄 필요가 있지 않나 합니다. 그렇지 않으면 “그 실수의 무한소수 표현” 자체가 대체 무엇인지 알기 어려워 보입니다(물론 유리수의 무한소수 표현을 얻는 방법(long division)은 자명하며 익숙하고, 유리수가 아닌 경우에도 존재성 증명을 곰곰 뜯어 보면 같은 내용이긴 합니다만 증명하기 전에는 자명하진 않은 것 같습니다). --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 12월 29일 (화) 14:35:01 (KST)
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| :::::무한소수의 표기법은.. 음 어떤 실수의 소수부 (실수-정수값)를 b진법 분수 전개했을 때, 분자를 순서대로 나열한 것으로 정의하면 자연스러울 것 같습니다. 유한소수도 같은식으로 정의할 수 있고요. 각 분자를 얻는 방법은 증명과정에 포함되어 있는 것으로 기억하니 정의와 표기법 둘 다 설명할 수 있을 것 같습니다. --[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 29일 (화) 14:42:22 (KST)
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| ::::::네 제 생각도 완전히 같습니다. --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 12월 29일 (화) 15:17:01 (KST)
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| :::::::그럼 나중에 수정하겠습니다. 여기는 새벽이라서요; 아니면 먼저 수정하셔도 괜찮습니다. 수고하셨습니다. --[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 29일 (화) 15:23:54 (KST)
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| :::::::일단 조금 손봤습니다. 확인 부탁드립니다. --[[사용자:Skim|Skim]] ([[사용자토론:Skim|토론]]) 2015년 12월 30일 (수) 02:13:46 (KST)
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