케플러의 법칙 편집하기

{{학술}}
[[분류:물리학]]

독일의 천문학자 [[요하네스 케플러]]가 [[티코 브라헤]]의 자료를 받아 16년만에 정립한 행성들의 움직임에 관한 법칙. 

보통 다음의 세 가지로 표현된다.

==케플러의 제1법칙==
[[파일:대학물리학I그림13.4.png|섬네일|오른쪽]]

{{인용문|1. 모든 행성들은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라서 이동한다.}}

거리 제곱에 반비례하는 중력의 성질의 결과이다.

특히, 두 초점이 일치하는 타원의 경우 원이 된다.

==케플러의 제2법칙==
[[파일:대학물리학I그림13.6.png|섬네일|오른쪽]]

{{인용문|2. 태양과 행성을 잇는 반지름 벡터는 같은 시간 간격 동안에 같은 넓이를 쓸고 지나간다.}}

각운동량 보존의 결과로 설명할 수 있다. 태양이 행성에 비해 훨씬 더 큰 질량을 가지고 있으면, 태양은 움직이지 않는다고 가정한다. 태양이 행성에 작용하는 중력은 중심력이며, 태양을 향하는 반지름 방향이다.

<math>\tau = r\times {F}_{g} = 0</math>

<math>L = r\times p = {M}_{p}r\times v =</math> 일정

그림 b에서 반지름 벡터 <math>\vec{r}</math>은 시간 dt동안 넓이 dA를 쓸고 지나가는데 이 넓이는 벡터 <math>\vec{r}</math>과 <math>d\vec{r}</math>이 만든 평행사변형의 넓이 <math>\left|\vec{r}\times d\vec{r} \right|</math>의 반이다. 시간 dt동안 행성이 지나간 거리는 <math>d\vec{r} = \vec{v}dt</math>이므로

<math>dA = \frac{1}{2}\left|\vec{r}\times d\vec{r} \right| = \frac{1}{2}\left|\vec{r}\times \vec{v}dt \right| = \frac{L}{{2M}_{p}dt}</math>

{{인용문2|<math>\frac{dA}{dt} = \frac{L}{{2M}_{p}}</math>}}

여기서 L과 M<sub>p</sub>는 모두 상수이다.

==케플러의 제3법칙==
{{인용문|3. 모든 행성의 궤도 주기의 제곱은 그 행성 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다.}}

행성이 원운동할 때 행성의 구심 가속도를 제공하는 것이 중력이므로, 등속 원운동을 하는 물체에 뉴턴의 제2법칙을 적용하면 

<math>{F}_{g} = \frac{G{M}_{s}{M}_{p}}{{r}^{2}} = {M}_{p}a = \frac{{M}_{p}{v}^{2}}{r}</math>

<math>v = \frac{2\pi r}{T}</math>(T:주기)이므로

<math>\frac{G{M}_{s}}{{r}^{2}} = \frac{\left(2\pi r/T \right)}{r}</math>

<math>{T}^{2} = \left(\frac{4{\pi }^{2}}{G{M}_{s}} \right){r}^{3} = {K}_{s}{r}^{3}</math>

타원 궤도인 경우에는 r을 긴 반지름 a로 바꾸면 된다.

<math>{T}^{2} = \left(\frac{4{\pi }^{2}}{G{M}_{s}} \right){a}^{3} = {K}_{s}{a}^{3}</math>