편집을 취소할 수 있습니다. 이 편집을 되돌리려면 아래의 바뀐 내용을 확인한 후 게시해주세요.
최신판 | 당신의 편집 | ||
1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
{{학술 관련 정보}} | |||
== 개요 == | |||
고등학교 수학 미적분 파트에서 볼 수 있는 [[연속함수]]의 성질 중 하나. 영어로는 Extreme Value Theorem<ref>직역하면 극값 정리</ref> 이라고 한다. | |||
== 비 수학과를 위한 설명 == | == 비 수학과를 위한 설명 == | ||
7번째 줄: | 10번째 줄: | ||
== 수학과를 위한 설명 == | == 수학과를 위한 설명 == | ||
수학에 대해 조금 관심이 있는 사람이라면 알겠지만, 당연해보이는 것의 증명이 사실은 어려운 법. 이 정리를 증명하기 위해서는 | 수학에 대해 조금 관심이 있는 사람이라면 알겠지만, 당연해보이는 것의 증명이 사실은 어려운 법. 이 정리를 증명하기 위해서는 boundness나 compact에 대한 이해가 필요하다. 한 단계씩 증명을 하도록 하자. | ||
=== 보조정리 1 === | === 보조정리 1 === | ||
{{ | {{인용문|함수 <math>f</math>가 closed, bounded한 구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이면, <math>f</math>는 그 구간의 각 점에서 bounded되어있다.}} | ||
증명 | |||
<math>f</math>가 구간 내의 한 점 <math>x_0</math>에서 연속이라고 하자. 그럼 <math>\forall x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)</math>에 대해 <math>\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|< 1</math>을 만족하게 하는 <math>\delta> 0</math>이 존재한다. 따라서 <math>\left|f\left(x\right)\right|< 1+\left|f\left(x_0\right)\right|</math>이고, <math>f</math>는 <math>x_0</math>에서 연속이다. <math>x_0</math>가 좌끝 (<math> | |||
<math>f</math>가 구간 내의 한 점 <math>x_0</math>에서 연속이라고 하자. 그럼 <math>\forall x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)</math>에 대해 <math>\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|< 1</math>을 만족하게 하는 <math>\delta> 0</math>이 존재한다. 따라서 <math>\left|f\left(x\right)\right|< 1+\left|f\left(x_0\right)\right|</math>이고, <math>f</math>는 <math>x_0</math>에서 연속이다. <math>x_0</math>가 좌끝 (=<math>a</math>), 혹은 우끝 (=<math>b</math>)일 때도 비슷한 방법으로 boundness를 보일 수 있다. | |||
=== 보조정리 2 === | === 보조정리 2 === | ||
{{ | {{인용문|함수 <math>f</math>가 집합 <math>A</math>의 각 점에서 bounded되어있고, <math>A</math>가 compact하면 <math>f</math>는 <math>A</math>에서 bounded되어있다.}} | ||
증명 | |||
각 <math>x\in A</math>에 대해 <math>f</math>가 <math>A\cap I_x</math>에서 | |||
각 <math>x\in A</math>에 대해 <math>f</math>가 <math>A\cap I_x</math>에서 bounded되게 하는 열린 구간 <math>I_x=\left(x-\delta_x,x+\delta_x\right)</math>이 존재한다. 열린 구간 <math>I_x</math>의 집합 <math>\left\{I_x|x\in A\right\}</math>는 집합 <math>A</math>의 open covering이고, Heine-Borel 정리에 의해 <math>A\subset\bigcap_{k=1}^{n}</math>를 만족하는 유한한 열린 구간 <math>I_{x1},I_{x2},\cdots,I_{xn}</math>이 존재한다. 또한 <math>k=1,2,\cdots,n</math>에 대해 <math>f</math>는 <math>A\cap I_k</math>에서 bounded되어있으므로 <math>\left|f\left(x\right)\right|\leq M_k,\forall x\in A\cap I_{xk}</math>을 만족하는 <math>M_k> 0</math>가 존재한다. <math>M=\max_{1\leq k\leq n}M_k</math>라 하면 <math>\left|f\left(x\right)\right|< M,\forall x\in A</math>이다. | |||
=== 본 증명 === | === 본 증명 === | ||
<math>f</math>가 구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이므로, 보조정리 2에 의해 <math>f</math>는 <math>\left[a,b\right]</math>에서 | <math>f</math>가 구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이므로, 보조정리 2에 의해 <math>f</math>는 <math>\left[a,b\right]</math>에서 bounded되어있다. 실수의 성질에 의해 <math>M=\sup_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right),\,m=\inf_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right)</math>가 실수로서 존재한다. 이제 <math>f</math>가 <math>M</math>을 가질 수 없다고 가정하자. 그럼 <math>f\left(x\right)< M,\forall x\in\left[a,b\right]</math>이다. <math>\left[a,b\right]</math>에서 <math>g\left(x\right)=1/\left[M-f\left(x\right)\right]</math>로 정의하자. 그럼 <math>g\left(x\right)> 0</math>이고, 연속함수의 성질에 의해서 <math>g\left(x\right)</math>도 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이다.<ref>이 성질에 대한 증명은 고교생도 할 수 있으니 성실한 위키러는 해보도록 하자</ref> 보조정리 2에 의해 <math>g</math>도 <math>\left[a,b\right]</math>에서 bounded되어있고, 따라서 <math>g\left(x\right)\leq k</math>를 만족하는 양수 <math>k</math>가 존재한다. 그럼 <math>k\geq g\left(x\right)=1/\left[M-f\left(x\right)\right]</math>이고 정리하면 <math>f\left(x\right)\leq M-1/k,\forall x\in\left[a,b\right]</math>이다. 이는 supremum의 정의에 위배되고 따라서 <math>f</math>는 <math>M</math> (=최댓값)을 가져야 한다. 최솟값의 존재에 대한 증명은 <math>-f</math>에 대해 같은 방법으로 증명할 수 있다. | ||
{{ | {{--|아니 이게 무슨 소리야}} | ||
내용을 보면 알겠지만 절대 고교생이 할 수 있을만한 내용은 아니다. | 내용을 보면 알겠지만 절대 고교생이 할 수 있을만한 내용은 아니다. | ||
== 다변수 함수에서의 최댓값, 최솟값 == | == 다변수 함수에서의 최댓값, 최솟값 == | ||
위 일변수 [[함수]]에서의 최대·최소의 정리를 <math>\mathbb{R}^n</math>에 대해 일반화 시킨 버전. 내용은 아래와 같다. | 위 일변수 [[함수]]에서의 최대·최소의 정리를 <math>\mathbb{R}^n</math>에 대해 일반화 시킨 버전. 내용은 아래와 같다. | ||
{{ | {{인용문|<math>f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>이 <math>A\subset\mathbb{R}^n</math>에서 연속이고, <math>A</math>가 compact 하다고 하자. 그러면 [[함수]] <math>f</math>는 <math>A</math>에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.}} | ||
일변수 함수의 것과 비교해보면 닫힌 [[구간]]이 | 일변수 함수의 것과 비교해보면 닫힌 [[구간]]이 compact로 바뀐 것 밖에 없다. 사실 닫힌 구간이 compact의 한 예이다. Compact는 "유계이며 닫혀있다"와 동치이기 때문.<ref>Heine-Borel 정리</ref> 이 정리를 좀 더 일반화 시키면 compact한 위상공간에 대한 버전이 있다. | ||
== | == 관련 항목 == | ||
* [[연속함수]] | |||
* [[미적분]] | |||
* [[롤의 정리]] | * [[롤의 정리]] | ||
* [[ | * [[중간값의 정리]] | ||
* [[ | * [[평균값의 정리]] | ||
[[분류:해석학]] | |||
{{각주}} | {{각주}} | ||