체르멜로-프렝켈 집합론 편집하기

[[분류:집합론]]

[[파일:ZFC.jpg|200px|섬네일|{{ㅊ|사실 치킨집이다.}}]]
[[수학]]에서, '''체르멜로-프렝켈 집합론'''('''Z'''ermelo-'''F'''raekel set theory, ZF)과 '''선택 공리를 포함하는 체르멜로-프렝켈 집합론'''('''ZF''' with the axiom of '''C'''hoice, ZFC)은 가장 보편적인 [[공리적 집합론]]의 일종으로, 표준적인 [[수학기초론]]으로 사용된다. ZF(C)에서 몇 개의 공리<ref>정칙성 공리, 치환 공리꼴, (선택 공리)</ref>를 제외한 것을 '''체르멜로 집합론'''(Zermelo set theory, Z)이라고 한다.


== 진술 ==
=== Z ===
* '''확장 공리''' 또는 '''외연 공리'''(axiom of extensionality)
*: 두 집합의 상동을 정의하는 공리. 두 집합의 상동은 그 원소들만으로 결정된다. 확장 공리는 합집합 공리, 멱집합 공리, 치환 공리꼴, 선택 공리와 독립적(증명될 수 없음)이다.
*: <math>\forall A \forall B[\forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B)\Longrightarrow a=b].</math>

* '''짝 공리'''(axiom of pairing) 
*: 어떤 두 집합을 원소로서 가지는 집합이 존재한다는 공리이다. 더욱 특정하게, 그 두 집합'''만'''을 원소로 하는 집합이 존재한다고도 한다. 여기에서 [[순서쌍]]의 존재성이 증명될 수 있다. 
*: <math>\forall x \forall y \exists A \forall z[z\in A \Longleftrightarrow (z=x \lor z=y)].</math>

* '''분류 공리꼴'''(axiom schema of specification, axiom schema of comprehension (restricted))
*: 어떤 집합과 성질이 정의되어 있을 때, '''그 집합의 원소들 중'''(restricted) 주어진 성질을 만족하는 것들을 모은 집합이 존재한다. 범위를 주어진 집합보다 작게 제한한 이유는 모임이 너무 커서 생기는 [[러셀의 역설]] 등을 피하기 위한 것이다. 집합이 아닌 class를 정의하는 공리계의 경우, 특정한 집합의 원소들만을 모을 필요가 없다. [[NBG]] 참조.
*: <math>\varphi</math>가 <math>x, w_1, \cdots, w_n, A</math>를 자유변수(free-variable)로 갖는 formula이면,
*: <div align=center><math>\forall w_1, \cdots, w_n \forall A \exists B \forall x \left(x\in B \Leftrightarrow [x\in A \wedge \varphi(x, w_1, \cdots, w_n, A)]\right) </math></div>

* '''합집합 공리'''(axiom of union)
*: 어떤 집합족이 주어지면, 그 합집합이 존재한다.
*: <math>\forall \mathcal F \exists U \forall x[x\in U \Longleftrightarrow \exists A(x\in A \wedge A \in \mathcal F) ].</math>

* '''멱집합 공리'''(axiom of power set)
*: 어떤 집합이 주어지면, 그 멱집합이 존재한다.
*: <math>\forall A \exists \mathcal P \forall B[\forall x(x\in B \rightarrow y\in A)\Longleftrightarrow B\in \mathcal P].</math>

* '''무한 공리'''(axiom of infinity)
*: 공집합을 포함하며, 어떤 원소의 (transitive하게 정의되는) successor 역시 원소로 가지는 집합이 존재한다. 
*: <math>\exists I [\emptyset \in I \wedge (x\in I \Rightarrow x^+\in I)], \quad \text{where } x^+:=x\cup \{x\}.</math>
** 무한공리는 ZFC의 다른 공리들과 독립적이며, ZF의 다른 공리들을 가정하면 다음 명제들과 동치이다:
*:# 무한 집합이 존재한다. (이것이 이 명제의 이름을 결정했을 것이다.)
*:# 무한 서수 <math>\omega</math>가 집합이다.
*:# [[귀납적]]인 집합(inductive set)이 존재한다.

=== ZF ===
* '''치환 공리꼴'''(axiom schema of replacement)
*: 주어진 형식적으로 정의된 함수(definable class function)에 대하여 그 정의역이 집합일 때, 그 치역이 집합이 된다.
*: <math>\varphi</math>가 <math>x, y, w_1, \cdots, w_n, A</math>를 자유변수(free-variable)로 갖는 formula이면,
*: <div align=center><math>\forall w_1, \cdots, w_n \forall A \left[\left(\forall x \in A \exists ! y [\varphi (x, y, w_1, \cdots, w_n, A)] \Longrightarrow \exists B \forall y [y \in B \Leftrightarrow  \exists x \in A  \varphi(x, y, w_1, \cdots, w_n, A)]\right)\right].</math></div>
** 치환 공리꼴과 비슷한 공리꼴로 '''모임 공리꼴'''(axiom schema of collection)이라는 것이 있다. 치환 공리꼴은 치역 자체가 집합이 되어야 하지만, 모임 공리꼴이 진술하는 것은, 그 치역을 포함하는 집합의 존재성이다. 그 치역 자체는 집합이 될 필요가 없으며, 그 superclass 중 하나가 집합이기만 하면 된다.<ref>사실 이 부분은 책마다 서술이 다르다. 치환 공리꼴을 '치역을 포함하는 '''집합'''의 존재성'으로 서술하는 책도 있는데, 이는 the Axiom Schema of Comprehension을 사용하면 치역이 집합임이 이끌어지기 때문이다. </ref>

* '''정칙성 공리'''(axiom of regularity) 또는 '''기초 공리'''(axiom of foundation)
*: 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소만을 포함한다. 이 공리에 따라 자기 자신을 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다. 이를 달리 쓰면 관계 <math>\in</math>가 well-founded되어 있다 ― 즉 임의의 집합이 <math>\in</math>-최소원을 갖는다 ― 고 해석할 수 있다.
*: <math>\forall x[x\ne\emptyset \Longrightarrow \exists y \in x(y \cap x = \emptyset)],</math>
*: 혹은 <math>\forall x[x\ne \emptyset \Longrightarrow \exists y \in x \forall z(z\in x \Rightarrow z \notin y)].</math>
** 참고로, 정칙성 공리는 '''ZFC''' 중 가장 {{--|쓸데없는}}존재 이유를 알기 힘든 공리로 꼽히는데, 왜냐하면 무언가를 증명할 때에 이 공리가 쓰이는 일이 거의 없기 때문이다. 하지만 이 공리로 다음과 같은 것들을 보일 수 있다:
** 정칙성 공리로 무한한 감소 집합렬, 즉 <math>A_0 \ni A_1 \ni \cdots</math>를 만족하는 집합렬 <math>\{ A_n \}_{n\in\mathbb N}</math>은 존재하지 않음을 보일 수 있다. 만약 [[종속 선택 공리|DC]]를 가정하면 반대로 이 명제에서 정칙성을 이끌어낼 수도 있다. 
** 정칙성 공리를 가정하면 [[폰 노이만 우주|von Neumann universe]]와 모든 집합들의 class가 같다.

=== C ===
{{본문|선택 공리}}
'''선택 공리'''((the) '''A'''xiom of '''Choice''')는 임의의 집합족의 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 모아 만든 새로운 집합을 구성할 수 있음을 주장하는 공리이다. 다음과 같은 몇 개의 버전이 있으며, 다음은 모두 동치이다:
# <math>\mathcal A</math>를 mutually disjoint한 공이 아닌 집합들의 족이라 하자. 그렇다면 <math>\mathcal A</math>의 각각의 집합으로부터 하나의 원소-씩으로 구성된 집합이 존재한다.
# <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, <math>\prod_{i \in I} A_i \ne \emptyset</math>이다.
# <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, 어떤 집합 <math>C</math>가 존재하여 <math>\forall i \in I [C \cap A_i \text{ is a singleton}]</math>이다.
# '''선택함수'''(choice function)가 존재한다. 더욱 명시적으로, 주어진 집합 <math>A</math>에 대하여, 함수 <math>F:\mathcal P(A) \to A</math>가 존재하여 <math>\forall X \in A[X\ne \emptyset \Rightarrow F(X) \in X]</math>이다.

==== ZF와의 독립성 ====
[[쿠르트 괴델]]은 ZF가 [[일관적]](consistent)임을 가정하고, AC의 부정이 ZF의 정리가 아님을 ZFC를 만족하는 내부 모형을 구성함으로써 보여 결과적으로 ZFC가 일관적임을 보였다. 또 [[폴 코언]]은 [[강제법]]을 이용하여 ZF¬C인 모형을 구성하고 이것이 일관적임을 보였다. 이 두 결과로부터 우리는 ZF와 AC가 논리적으로 독립임을 알 수 있다.