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[[수학]]에서, '''체르멜로-프렝켈 집합론'''('''Z'''ermelo-'''F'''raekel set theory, ZF)과 '''선택 공리를 포함하는 체르멜로-프렝켈 집합론'''('''ZF''' with the axiom of '''C'''hoice, ZFC)은 가장 보편적인 [[공리적 집합론]]의 일종으로, 표준적인 [[수학기초론]]으로 사용된다. | {{학술}} | ||
[[파일:ZFC.jpg|200px|섬네일|사실 치킨집이다.]] | |||
[[수학]]에서, '''체르멜로-프렝켈 집합론'''('''Z'''ermelo-'''F'''raekel set theory, ZF)과 '''선택 공리를 포함하는 체르멜로-프렝켈 집합론'''('''ZF''' with the axiom of '''C'''hoice, ZFC)은 [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론|NBG 집합론]]과 함께 가장 보편적인 [[공리적 집합론]]의 일종으로, 표준적인 [[수학기초론]]으로 사용된다. ZF에서 몇 개의 공리<ref>정칙성 공리, 치환 공리꼴, 선택 공리</ref>를 제외한 것을 '''체르멜로 집합론'''(Zermelo set theory, Z)이라고 한다. | |||
== 진술 == | == 진술 == | ||
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* '''짝 공리'''(axiom of pairing) | * '''짝 공리'''(axiom of pairing) | ||
*: 어떤 두 집합을 원소로서 가지는 집합이 존재한다는 공리이다. 더욱 특정하게, 그 두 집합'''만'''을 원소로 하는 집합이 존재한다고도 한다. 여기에서 [[순서쌍]]의 존재성이 증명될 수 있다. | *: 어떤 두 집합을 원소로서 가지는 집합이 존재한다는 공리이다. 더욱 특정하게, 그 두 집합'''만'''을 원소로 하는 집합이 존재한다고도 한다. 여기에서 [[순서쌍]]의 존재성이 증명될 수 있다. | ||
*: <math>\forall x \forall y \exists A \forall z[z\in A \Longleftrightarrow (z=x \lor z=y)].</math> | *: <math>\forall x \forall y \exists A \forall z[z\in A \Longleftrightarrow (z=x \lor z=y)].</math> | ||
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* '''무한 공리'''(axiom of infinity) | * '''무한 공리'''(axiom of infinity) | ||
*: 공집합을 포함하며, 어떤 원소의 (transitive하게 정의되는) successor 역시 원소로 가지는 집합이 존재한다. | *: 공집합을 포함하며, 어떤 원소의 (transitive하게 정의되는) successor 역시 원소로 가지는 집합이 존재한다. | ||
*: <math>\exists I [\emptyset \in I \wedge (x\in I \Rightarrow x^+\in I)], \quad \text{where } x^+:=x\cup \{x\}.</math> | *: <math>\exists I [\emptyset \in I \wedge (x\in I \Rightarrow x^+\in I)], \quad \text{where } x^+:=x\cup \{x\}.</math> | ||
** 무한공리는 ZFC의 다른 공리들과 독립적이며, ZF의 다른 공리들을 가정하면 다음 명제들과 동치이다: | ** 무한공리는 ZFC의 다른 공리들과 독립적이며, ZF의 다른 공리들을 가정하면 다음 명제들과 동치이다: | ||
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*: <math>\varphi</math>가 <math>x, y, w_1, \cdots, w_n, A</math>를 자유변수(free-variable)로 갖는 formula이면, | *: <math>\varphi</math>가 <math>x, y, w_1, \cdots, w_n, A</math>를 자유변수(free-variable)로 갖는 formula이면, | ||
*: <div align=center><math>\forall w_1, \cdots, w_n \forall A \left[\left(\forall x \in A \exists ! y [\varphi (x, y, w_1, \cdots, w_n, A)] \Longrightarrow \exists B \forall y [y \in B \Leftrightarrow \exists x \in A \varphi(x, y, w_1, \cdots, w_n, A)]\right)\right].</math></div> | *: <div align=center><math>\forall w_1, \cdots, w_n \forall A \left[\left(\forall x \in A \exists ! y [\varphi (x, y, w_1, \cdots, w_n, A)] \Longrightarrow \exists B \forall y [y \in B \Leftrightarrow \exists x \in A \varphi(x, y, w_1, \cdots, w_n, A)]\right)\right].</math></div> | ||
** 치환 공리꼴과 비슷한 공리꼴로 '''모임 공리꼴'''(axiom schema of collection)이라는 것이 있다. 치환 공리꼴은 치역 자체가 집합이 되어야 하지만, 모임 공리꼴이 진술하는 것은, 그 치역을 포함하는 집합의 존재성이다. 그 치역 자체는 집합이 될 필요가 없으며, 그 superclass 중 하나가 집합이기만 하면 된다. | ** 치환 공리꼴과 비슷한 공리꼴로 '''모임 공리꼴'''(axiom schema of collection)이라는 것이 있다. 치환 공리꼴은 치역 자체가 집합이 되어야 하지만, 모임 공리꼴이 진술하는 것은, 그 치역을 포함하는 집합의 존재성이다. 그 치역 자체는 집합이 될 필요가 없으며, 그 superclass 중 하나가 집합이기만 하면 된다. | ||
* '''정칙성 공리'''(axiom of regularity) 또는 '''기초 공리'''(axiom of foundation) | * '''정칙성 공리'''(axiom of regularity) 또는 '''기초 공리'''(axiom of foundation) | ||
*: 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소만을 포함한다. 이 공리에 따라 자기 자신을 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다. 이를 달리 쓰면 관계 <math>\in</math>가 well-founded되어 있다 ― 즉 임의의 집합이 <math>\in</math>-최소원을 | *: 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소만을 포함한다. 이 공리에 따라 자기 자신을 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다. 이를 달리 쓰면 관계 <math>\in</math>가 well-founded되어 있다 ― 즉 임의의 집합이 <math>\in</math>-최소원을 갖는다고 해석할 수 있다. | ||
*: <math>\forall x[x\ne\emptyset \Longrightarrow \exists y \in x(y \cap x = \emptyset)],</math> | *: <math>\forall x[x\ne\emptyset \Longrightarrow \exists y \in x(y \cap x = \emptyset)],</math> | ||
*: 혹은 <math>\forall x[x\ne \emptyset \Longrightarrow \exists y \in x \forall z(z\in x \Rightarrow z \notin y)].</math> | *: 혹은 <math>\forall x[x\ne \emptyset \Longrightarrow \exists y \in x \forall z(z\in x \Rightarrow z \notin y)].</math> | ||
** 정칙성 공리로 무한한 감소 집합렬, 즉 <math>A_0 \ni A_1 \ni \cdots</math>를 만족하는 집합렬 <math>\{ A_n \}_{n\in\mathbb N}</math>은 존재하지 않음을 보일 수 있다. 만약 [[종속 선택 공리|DC]]를 가정하면 반대로 이 명제에서 정칙성을 이끌어낼 수도 있다. | |||
** 정칙성 공리로 무한한 감소 집합렬, 즉 <math>A_0 \ni A_1 \ni \cdots</math>를 만족하는 집합렬 <math>\{ A_n \}_{n\in\mathbb N}</math>은 존재하지 않음을 보일 수 있다. 만약 [[종속 선택 공리|DC]]를 가정하면 반대로 이 명제에서 정칙성을 이끌어낼 수도 있다. | |||
** 정칙성 공리를 가정하면 [[폰 노이만 우주|von Neumann universe]]와 모든 집합들의 class가 같다. | ** 정칙성 공리를 가정하면 [[폰 노이만 우주|von Neumann universe]]와 모든 집합들의 class가 같다. | ||
=== | === ZFC === | ||
{{본문|선택 공리}} | {{본문|선택 공리}} | ||
'''선택 공리'''((the) '''A'''xiom of '''Choice''')는 임의의 집합족의 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 모아 만든 새로운 집합을 구성할 수 있음을 주장하는 공리이다. 다음과 같은 몇 개의 버전이 있으며, 다음은 모두 동치이다: | '''선택 공리'''((the) '''A'''xiom of '''Choice''')는 임의의 집합족의 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 모아 만든 새로운 집합을 구성할 수 있음을 주장하는 공리이다. 다음과 같은 몇 개의 버전이 있으며, 다음은 모두 동치이다: | ||
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# '''선택함수'''(choice function)가 존재한다. 더욱 명시적으로, 주어진 집합 <math>A</math>에 대하여, 함수 <math>F:\mathcal P(A) \to A</math>가 존재하여 <math>\forall X \in A[X\ne \emptyset \Rightarrow F(X) \in X]</math>이다. | # '''선택함수'''(choice function)가 존재한다. 더욱 명시적으로, 주어진 집합 <math>A</math>에 대하여, 함수 <math>F:\mathcal P(A) \to A</math>가 존재하여 <math>\forall X \in A[X\ne \emptyset \Rightarrow F(X) \in X]</math>이다. | ||
==== | ==== 독립성 ==== | ||
[[쿠르트 괴델]]은 ZF가 [[일관적]](consistent)임을 가정하고, AC의 부정이 ZF의 정리가 아님을 ZFC를 만족하는 내부 모형을 구성함으로써 보여 결과적으로 ZFC가 일관적임을 보였다. 또 [[폴 코언]]은 [[강제법]]을 이용하여 ZF¬C인 모형을 구성하고 이것이 일관적임을 보였다. 이 두 결과로부터 우리는 ZF와 AC가 논리적으로 독립임을 알 수 있다. | [[쿠르트 괴델]]은 ZF가 [[일관적]](consistent)임을 가정하고, AC의 부정이 ZF의 정리가 아님을 ZFC를 만족하는 내부 모형을 구성함으로써 보여 결과적으로 ZFC가 일관적임을 보였다. 또 [[폴 코언]]은 [[강제법]]을 이용하여 ZF¬C인 모형을 구성하고 이것이 일관적임을 보였다. 이 두 결과로부터 우리는 ZF와 AC가 논리적으로 독립임을 알 수 있다. | ||