중간값 정리 편집하기

{{학술}}

== 진술 ==
'''중간값 정리(Intermediate-value Theorem)'''는 [[연속함수]]의 어느 닫힌 구간의 두 끝점을 잡으면 그 끝점의 함숫값 사이의 값을 함수값으로 가지는 점이 그 구간에 있다는, 그림으로 그리면 너무나 당연해 보이는 [[명제]]다. 고등학교에서는 직관적에 의존하는 설명만 하고 증명 없이 넘어가지만, [[해석학]]에선 엄밀한 증명을 하고 넘어간다. 정리를 수학적으로 나타내면 다음과 같다.
:<math>a,b</math>를 <math>a< b</math>인 [[실수]]라고 하자. 함수 <math>f:[a,b]\to\mathbb{R}</math>이 [[닫힌 구간]] <math>[a,b]</math>에서 [[연속]]이라고 하자. 임의의 실수 \(k\)에 대해 <math>f(a)< k< f(b)</math> 또는 <math>f(b)< k< f(a)</math>이면 <math>f(c)=k</math>인 <math>c\in (a,b)</math>가 존재한다.
여기서는 [[수열]]과 [[엡실론-델타 논법]]을 사용한 증명을 소개한다. [[볼차노-바이어슈트라스 정리#폐구간 수렴 정리|폐구간 수렴 정리]]를 이용한 증명도 존재하나, 조금 지저분하다.

== 도움정리 ==
1. \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이고 <math>f\left(x_0\right)>0</math>이면, 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)</math>이면 <math>f\left(x\right)>\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)>0</math>이다. 비슷하게, <math>f\left(x_0\right)<0</math>이면, 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)</math>이면 <math>f\left(x\right)<\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)<0</math>이다.
;증명
<math>f\left(x_0\right)>0</math>이라 가정하자. \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이므로, <math>\varepsilon=\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)>0</math>에 대해 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>\left|x-x_0\right|<\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)</math>이다. 부등호를 전개하여 정리하면 <math>f\left(x\right)>\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)>0</math>을 얻는다. <math>f\left(x_0\right)<0</math>일 때도 같은 방법으로 증명이 가능하다.
<br/><br/>
2. \(f\)가 \(x_0\)에서 우연속이고 <math>f\left(x_0\right)>0</math>이면, 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>x\in\left[x_0,x_0+\delta\right)</math>이면 <math>f\left(x\right)>\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)>0</math>이다. 비슷하게, \(f\)가 \(x_0\)에서 우연속이고 <math>f\left(x_0\right)<0</math>이면, 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>x\in\left[x_0,x_0+\delta\right)</math>이면 <math>f\left(x\right)<\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)<0</math>이다.
<br/><br/>
3. \(f\)가 \(x_0\)에서 좌연속이고 <math>f\left(x_0\right)>0</math>이면, 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>x\in\left(x_0-\delta,x_0\right]</math>이면 <math>f\left(x\right)>\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)>0</math>이다. 비슷하게, \(f\)가 \(x_0\)에서 좌연속이고 <math>f\left(x_0\right)<0</math>이면, 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>x\in\left(x_0-\delta,x_0\right]</math>이면 <math>f\left(x\right)<\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)<0</math>이다.
<br/><br/>
2번과 3번의 증명은 1번과 거의 동일하므로 생략한다.

== 본증명 ==
<math>f\left(a\right)< k< f\left(b\right)</math>라고 가정하자. 다른 경우의 증명은 비슷하므로 직접 해보자. <math>g\left(x\right):=f\left(x\right)-k</math>으로 정의하자. 그럼, <math>g\left(a\right)=f\left(a\right)-k<0</math>이고, <math>g\left(b\right)=f\left(b\right)-k>0</math>이다.

<math>c=\sup\left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)<0\right\}</math>이라 정의하자. 그럼 \(g\)는 [[연속]]이므로, 도움정리에 의해 <math>x\in\left[a,a+\delta_1\right)</math>이면 <math>g\left(x\right)<0</math>이고 <math>x\in\left(b-\delta_2,b\right]</math>이면 <math>g\left(x\right)>0</math>이게 하는 적당한 <math>\delta_1,\delta_2>0</math>가 존재한다. 이는 곧 <math>a< c< b</math>임을 증명한다.

한편, <math>c< x\leq b</math>이면 <math>g\left(x\right)\geq0</math>이다. 만약 이게 성립하지 않는다면, \(c\)의 정의에 모순이 되기 때문. 따라서, <math>\lim_{x\to c^+}g\left(x\right)\geq0</math>이다. \(g\)는 \(c\)에서 연속이므로, <math>g\left(c\right)\geq0</math>이다.

이제, <math>x_n< c,\,\lim_{n\to\infty}x_n=c</math>이고, <math>g\left(x_n\right)</math>인 구간 <math>\left[a,b\right]</math>안의 [[수열]] <math>\left\{x_n\right\}</math>을 고르자. 만약 이런 수열이 존재하지 않는다면, 집합 <math>\left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)<0\right\}</math>은 \(c\)보다 작은 상계를 가지고, 이는 \(c\)의 정의에 모순이다. \(g\)는 \(c\)에서 연속이므로, <math>\lim_{n\to\infty}g\left(x_n\right)=g\left(c\right)\leq0</math>이다.

<math>g\left(c\right)\geq0</math>이고 <math>g\left(c\right)\leq0</math>이므로 <math>g\left(c\right)=0</math>이고, 이는 즉 <math>f\left(c\right)=k</math>임을 의미한다.

== 활용 ==
고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이 있다. 만약 <math>f\left(a\right)>0,f\left(b\right)<0</math> (혹은 그 반대)이고 <math>f</math>가 연속이면 <math>\left(a,b\right)</math>사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 <math>f\left(a\right)</math>와 <math>f\left(b\right)</math>사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.

실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는 것이 있다. 테이블을 바닥에 두고 돌리면, 90도 이내에 테이블이 흔들리지 않는 위치가 존재하게 된다. 주의할 점은, 테이블의 세 점을 바닥에 붙인 다음에 돌려야 한다는 것이다. 증명은 일단 중간값의 정리를 사용하긴 하는데, 상당히 까다롭다. 보고싶은 사람은 [http://arxiv.org/pdf/math/0511490v1.pdf 여기로 (영어)].

== 중간값 성질과 다르부 함수 ==
중간값 정리의 역은 성립하지 않는다. 가장 대표적인 예로, 어떤 함수의 도함수는 불연속일지라도 '''중간값 성질'''(intermediate value property), 즉 
:<math>f(a)< k< f(b)</math>또는 <math>f(b)< k< f(a)</math>이면 <math>f(c)=k</math>인 <math>c\in (a,b)</math>가 존재함
을 만족시킨다. (이를 [[다르부 정리]]라고 한다.) 이에서 이름을 따와, 중간값 성질을 만족시키는 함수를 '''다르부 함수'''(Darboux function)라고 한다. 모든 점에서 불연속인 다르부 함수도 있는데, 예를 들어 [[콘웨이 13진법 함수]] 등이 있다.

[[분류:해석학]][[분류:수학 정리]]