일차독립 편집하기

{{학술}}

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] \(F\)와 \(F\) 위의 [[벡터공간]] \(V\)가 주어졌다고 하자. \(V\)의 원소의 [[집합]] <math>S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}</math>이 주어졌을 때, \(F\)의 원소 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)에 대한 방정식
: <math>\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}</math>
의 해가 \(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\)로 유일하면, \(S\)의 원소들을 '''일차독립''' 또는 '''선형독립(linearly independent)'''이라고 한다. 만약 \(S\)의 원소들이 선형독립이 아니면, 즉
: <math>\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}</math>
의 해 중 영이 아닌 것이 있다면 '''일차종속''' 또는 '''선형종속(linearly dependent)'''이라고 한다.

== 예시 ==
<math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\in \mathbb{R}^3</math>이 다음과 같이 정의되었다고 하자.
: <math>\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}
2\\
1\\
1
\end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}
-1\\
0\\
3
\end{bmatrix}, \mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}
2\\
-1\\
-1
\end{bmatrix}</math>
방정식
: <math>x_1 \mathbf{v}_1 +x_2\mathbf{v}_2 + x_3 \mathbf{v}_3=\mathbf{0}</math>
을
: <math>\begin{bmatrix}
2 & -1 & 2\\
1 & 0 & -1\\
1 & 3 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}</math>
와 같이 나타낼 수 있고, [[행렬식]]의 라플라스 전개를 이용하면
: <math>\begin{align}
\det\begin{bmatrix}
2 & -1 & 2\\
1 & 0 & -1\\
1 & 3 & -1
\end{bmatrix}&=2\det\begin{bmatrix}
0 & -1\\
3 & -1
\end{bmatrix}-\det\begin{bmatrix}
-1 & 2\\
3 & -1
\end{bmatrix}+\det\begin{bmatrix}
-1 & 2\\
0 & -1
\end{bmatrix}\\
&=2\cdot  3 - (-5)+1\\
&=12\ne 0
\end{align}</math>
이므로 연립방정식의 해는 \(x_1=x_2=x_3=0\)이다. 따라서 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3</math>는 선형독립이다.
== 성질 ==
[[추가바람]]
== 같이 보기 ==
* [[기저]]

[[분류:선형대수학]]