로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! 因數分解, Factorization == 개요 == 중학교 때 처음 등장하여 고등학교, 대학교 까지도 계속 학생들을 괴롭히는 [[대수학]]의 기본 중의 기본 개념. 여러 항들이 나열되어 있는 [[다항식]]을 전부 곱(=인수)으로 바꿔주는 것을 인수분해라 한다. 이와 대응되는 개념으로는 [[소인수분해]]가 있다. 인수분해를 하는 이유는 정식을 알아보기 쉽게 만들어서 방정식의 근을 쉽게 구하기 위해서, 그래프의 개형을 그리기 위해 등등이 있다. == 기본적인 인수분해 공식 == {| class="wikitable" |1. <math>x^2\pm2xy+y^2=\left(x\pm y\right)^2</math> |- |2. <math>x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)</math> |- |3. <math>acx^2+\left(ad+bc\right)x+bd=\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)</math> |- |4. <math>x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=\left(x+y+z\right)^2</math> |- |5. <math>x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=\left(x+y\right)^3</math> |- |6. <math>x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=\left(x-y\right)^3</math> |- |7. <math>x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)</math> |- |8. <math>x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)</math> |- |9. <math>x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)</math> |- |10. <math>x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)</math> |} 위의 것들은 가장 기본적인 인수분해 공식이다. 일부는 중학생 때, 다른 나머지는 고등학생 때 배우게 될 것이니 지금 당장 다 알지 못한다고 해서 걱정할 필요는 없다. 위 식 중 간단한 것은 [[곱셈 공식]]을 통해 쉽게 깨달을 수 있지만 일부는 도대체 어디서 튀어나온지 모르는 식도 있다.<ref>대표적으로 10번 공식.</ref> 그래서인지 일일이 하나씩 {{--|노가다}}곱하면 되는곱셈 공식과는 달리 인수분해는 공식과 유형을 많이 외워놔야 한다. 하지만 암기만으로는 한계가 있으니 여러 가지 테크닉<ref>X자, 조립제법, 더하고 빼기 등등</ref>을 익혀놓는 것도 중요하다. 인수분해 공식을 증명하기 위해서는 인수분해된 식을 다시 전개해 보면 된다. 고등학교 수학을 배운 사람이라면 알 듯이 인수분해는 고등학교 수학 및 [[대수학]] 그 자체에 있어서 없어서는 안 될 존재로 이것을 배우지 않고 수학을 배운다는 것은 있을 수 없는 일이다. 물론 중고등학교 수학들이 다 그렇지만... == 조립제법 == 영어로는 Synthetic Division이라고 하는 인수분해에 있어서 아주 유용한 방법. 정확하게는 [[다항식]]의 나눗셈에서 쓰이는 방법이지만 [[나머지 정리]]와 같이 활용해서 인수분해에서도 쓸 수 있다. 자세한 원리는 아래와 같다. <math>n</math>차 다항식 <math>F\left(x\right)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n</math>를 일차식<math>\left(x-\alpha\right)</math>로 나눈다 하자. 제수가 1차식이므로 몫은 <math>\left(n-1\right)</math>차식, 나머지는 상수항이 된다 (<math>=R</math>). 이를 식으로 나타내면 <math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=\left(x-\alpha\right)\left(b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1}\right)+R</math>이 된다. 이 등식은 [[항등식]]이므로, 양변을 전개하여 계수를 비교하여 <math>b_i, \, \left(i=0,1,\cdots,n-1\right)</math>에 관해 풀면 <math>b_0=a_0,b_1=a_1+b_0\alpha=a_1+a_0\alpha,\cdots,b_{n-1}=a_{n-1}+b_{n-2}\alpha=a_{n-1}+a_{n-2}\alpha+\cdots+a_0\alpha^{n-1},R=a_n+b_{n-1}\alpha=a_n+a_{n-1}\alpha+\cdots+a_0\alpha^n</math>이 된다. 여기서 나머지 <math>R</math>을 0으로 만들 수 있다면, 즉 다항식=0의 근을 알고 있다면 처음 다항식은 두 인수의 곱으로 나타내어진다. 이후 몫에 관해 한번 더 조립제법을 쓰거나 다른 방법을 계속 써서 인수분해를 끝낼 수 있다. 조립제법을 그림으로 나타내면 아래와 같다. [[파일:조립제법.png]]<ref> 그림은 <math>x^3+x-2</math>에 대해 조립제법을 쓴 경우</ref> 여기서 문제는 방정식의 근(<math>=\alpha</math>)을 어떻게 찾냐는 것이다. 이에 관해 유용한 정리가 있는데, '''정수 계수''' 다항식이 '''유리근'''<math>=p/q</math> (<math>p,q</math>는 [[서로소]])을 가지면 <math>p=</math>상수항의 약수, <math>q=</math>최고차항의 약수이다.<ref>[[약수]]가 음수여도 된다.</ref> Rational Root Theorem이라고 부르며, 한국에선 정확한 이름은 없으나 흔히 유리근정리라고 부른다. 증명은 [[나머지 정리]]를 사용하면 끝. == 교대식, 대칭식 == 좀 더 딥 다크한 인수분해를 원하는 자들을 위한 기술중 하나. 알면 특수한 경우에 한해서 인수분해가 매우 쉬워진다. 여기선 편의상 문자가 3개인 경우를 다룬다. 문자의 수가 더 많을 경우에도 비슷한 방법으로 쓸 수는 있지만 너무 복잡해진다. === 대칭식 === {{인용문|<math>x,y,z</math>에 관한 식 <math>f\left(x,y,z\right)</math>에서 <math>x,y,z</math>의 어느 두 문자를 교환해도 식이 똑같을 때, 식 <math>f\left(x,y,z\right)</math>을 '''대칭식'''이라고 한다. 이 때, 대칭식은 이 <math>x+y+z, \, xy+yz+zx, \, xyz</math> 3개의 기본 대칭식으로 표현이 가능하다.<ref>기본대칭식의 곱과 합으로 표현이 가능하다는 소리</ref>}} 문제는 이를 어떻게 활용하나는 건데, 아래 예시를 통해 확인하자. {{인용문2|<math>f\left(x,y,z\right)=x^3+y^3+z^3-3xyz</math>는 대칭식임을 쉽게 확인 할 수 있다. 또한, <math>f</math>가 3차식이므로 <math>f</math>는 기본대칭식을 사용해 <math>a\left(x+y+z\right)^3+b\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)+cxyz</math>로 표현 할 수 있다. 여기에 <math>x=2, y=-1, z=-1</math>을 대입하여 계수를 비교하면 <math>c=0</math>임을 알 수 있다. 마찬가지로 <math>x=0.y=0,z=1</math>를 대입하면 <math>a=1</math>이다. 마지막으로 적당한 세 수를 대입하면 <math>b=-3</math>임을 알 수 있다. 즉, <math>x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)</math><br /><math>=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+zx\right)\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)</math>.}} === 교대식 === {{인용문|<math>x,y,z</math>에 관한 식 <math>f\left(x,y,z\right)</math>에서 <math>x,y,z</math>의 임의의 두 문자를 교환해도 식의 부호만 바뀐다면, <math>f\left(x,y,z\right)</math>를 '''교대식'''이라고 한다. 교대식은 <math>\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)</math>를 항상 인수로 갖는다.}} 여기서 중요한건 '''임의의 두 문자'''라는 것. 즉, x와 y를 교환할 때, y와 z를 교환할 때, 그리고 z와 x를 교환할 때 모두 식의 부호가 바뀌어야 한다. 예시를 통해 활용법을 확인하자. {{인용문2|<math>f\left(x,y,z\right)=x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-x\right)+z^2\left(x-y\right)</math>는 교대식임을 쉽게 확인 할 수 있다. 즉 <math>f</math>는 <math>\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)</math>를 인수로 갖는다. 또한, <math>f</math>가 3차식이므로, 적당한 상수 <math>k</math>에 대해 <math>f=k\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)</math>이 성립한다. <math>x=1,y=-1,z=0</math>을 대입하면 <math>k=-1</math>임을 알 수 있다. 따라서, <math>f=x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-x\right)+z^2\left(x-y\right)=-\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)</math>}} === 혼합 === 교대식과 대칭식 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. * 대칭식<math>\pm</math>대칭식=대칭식 * 교대식<math>\pm</math>교대식=교대식 * 교대식<math>\times</math>대칭식=교대식 * 교대식<math>\times</math>교대식=대칭식 여기서 3번째 성질은 교대식과 대칭식이 섞인 경우의 인수분해에 쓰인다. 즉, 원식이 교대식인데 차수가 3보다 많을 경우, 마지막 인수를 기본대칭식으로 표현을 할 수 있다는 것이다. 예시를 통해 확인하자. {{인용문2|<math>f\left(a,b,c\right)=ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)</math>은 교대식임을 쉽게 알 수 있다. 즉 <math>f</math>는 <math>\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)</math>를 인수로 가진다. 여기서 <math>f</math>는 4차식이므로, 1차식의 대칭식을 따로 인수로 가져야 한다. 1차 기본대칭식은 <math>a+b+c</math>밖에 없으므로, 적당한 상수 <math>k</math>에 대해 <math>f\left(a,b,c\right)=k\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)</math>가 성립한다. <math>a=1,b=2,c=3</math>를 대입하여 비교하면 <math>k=-1</math>이고, 곧 <math>f\left(a,b,c\right)=ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)</math>.}} == 관련 항목 == * [[대수학의 기본 정리]] * [[곱셈 공식]] * [[다항식]] * [[나머지 정리]] [[분류:대수학]] [[분류:항등식]] {{각주}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · 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