로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 정의 == [[정역]] <math>R</math>에 대해 [[함수]] <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 존재해 * 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)\le \delta(ab)</math> * 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>b\ne 0_R</math>일 때 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>a=bq+r</math>을 만족하고, <math>r=0_R</math> 또는 <math>\delta(r)<\delta(b)</math> 을 만족하면 <math>R</math>을 '''유클리드 정역(Euclidean domain)'''이라고 하고, <math>\delta</math>를 유클리드 영역함수(Euclidean valuation)라고 한다. 한편 함수 <math>f:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>가 두 번째 조건을 만족한다고 가정하자. 함수 <math>\delta:R\setminus \{0_R\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}</math>를 : <math>\delta(a)=\min_{b\in R\setminus \{0\}}f(ab)</math> 로 정의하자. 그러면 임의의 <math>a,b\in R</math>에 대해 <math>\delta(a)=f(ab_0)</math>인 <math>b_0\in R\setminus \{0_R\}</math>이 존재하고, <math>\delta(ab)=f(abc)</math>인 <math>c\in R\setminus \{0\}</math>이 존재하는데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(a)=f(ab_0)\le f(abc)=\delta(ab)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 첫 번째 조건을 만족한다. 한편 <math>b\in R\setminus\{0\}</math>에 대해 <math>\delta(b)=f(bc)</math>인 <math>c\in R\setminus\{0\}</math>가 존재한다. 이때 <math>a=(bc)q+r</math>을 만족하는 <math>q,r\in R</math>이 존재해 <math>r=0_R</math>이거나 <math>f(r)< f(bc)</math>이다. 그러면 <math>a=b(cq)+r</math>이다. 만약 <math>r=0_R</math>이면 원하는 결론을 얻으므로 <math>r\ne 0_R</math>이라고 가정하자. 그러면 <math>f(r)< f(bc)</math>인데, <math>\delta</math>의 정의에 의해 <math>\delta(r)\le f(r 1_R)=f(r)</math>이므로 <math>\delta(r)\le f(r)< f(bc)=\delta(b)</math>이다. 따라서 <math>\delta</math>는 두 번째 조건을 만족하므로 <math>\delta</math>는 <math>R</math>의 유클리드 영역함수이다. 따라서 정역이 두 번째 조건만 만족하더라도 유클리드 정역이라고 부를 수 있다. == 예시 == * <math>\mathbb{Z}</math>는 <math>\delta(a)=|a|</math>로 주어진 유클리드 정역이다. * <math>F</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, 다항식환 <math>F[x]</math>는 <math>\delta(f(x))=\deg f(x)</math>로 주어진 유클리드 정역이다. * <math>\mathbb{Z}[i]=\{s+ti\mid s,t\in\mathbb{Z}\}</math>는 <math>\delta(s+ti)=s^2+t^2</math>으로 주어진 유클리드 정역이다. * 임의의 체는 <math>\delta(a)=0</math>으로 주어진 유클리드 정역이다. == 성질 == [[추가바람]] [[분류:환론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț