로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!Circumcenter == 정의 == [[다각형]]의 외접원이 존재할 때, 그 외접원의 중심을 외심이라 부른다. 하지만 보통 외심이라고 하면 [[삼각형]]의 외심을 말한다. 어떤 다각형의 외심, 즉 외접원이 존재하기 위한 조건은 모든 꼭짓점까지의 거리가 동일한 점이 존재하면 된다. 만약 그런 점이 존재할 경우, 그 점이 외심이 되며, 외심으로부터 한 꼭짓점까지의 거리가 외접원의 반지름이 된다. 참고로 이 조건은 모든 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다는 사실과 동치이다. [[삼각형]]의 경우에는 반드시 외심이 존재하며, [[사각형]] 부터는 외접원이 존재할 수도 있고 하지 않을 수도 있다. 이 문서에서는 삼각형의 외심에 대해 다루며, 다른 외접원에 관해서는 [[공원점]] 항목을 참조하자. == 외심만의 성질 == #[[삼각형]]의 세 변의 수직이등분선은 반드시 한 점에서 만난다. #외심은 예각삼각형의 경우 삼각형의 안쪽에, 직각삼각형은 빗변 위에, 둔각삼각형의 경우 삼각형 밖에 존재한다. #외접원의 반지름의 길이를 <math>R</math>이라 하면, 삼각형의 넓이는 <math>2R^2\sin A\sin B\sin C</math>이다. #삼각형의 넓이는 <math>\frac{abc}{4R}</math>이다. === 증명 === [[파일:외심.png]] 1. <math>\overline{BC},\,\overline{CA}</math>의 중점을 각각 <math>D, E</math>라 하자. 또한, <math>\overline{BC},\,\overline{CA}</math>의 수직이등분선의 교점을 <math>O</math>라 하자. 그럼 <math>\triangle{OBD}\cong\triangle{OCD},\,\triangle{OCE}\cong\triangle{OAE}</math>(SAS 합동)이므로 <math>\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OA}</math>이다. 이제 <math>O</math>에서 <math>\overline{AB}</math>에 내린 수선의 발을 <math>F</math>라 하자. 그럼 <math>\triangle{OBF}\cong\triangle{OAF}</math>(RHS 합동)이므로 <math>\overline{AF}=\overline{BF}</math>이다. 반대로 <math>O</math>에서 <math>\overline{AB}</math>에 내린 중선의 발을 <math>F</math>라 하자. <math>\triangle{OBF}\cong\triangle{OAF}</math>(SSS 합동)이므로 <math>\angle{OFB}=\angle{OFA}=\angle{R}</math>이다. 따라서 세 변의 수직이등분선은 한점에서 만난다. [[직각삼각형]]의 경우는 항목 참조, 그리고 둔각삼각형의 경우에도 같은 방법으로 증명이 가능하다. 3. 삼각형의 넓이는 <math>\frac{1}{2}bc\sin A</math>이고, [[사인 법칙]]에 의해 <math>b=2R\sin B,\,c=2R\sin C</math>이다. 따라서 <math>S_{\triangle{ABC}}=\frac{1}{2}2R\sin B\cdot2R\sin C\sin A=2R^2\sin A\sin B\sin C</math>. 4. 3번 성질에서 <math>S_{\triangle{ABC}}=2R^2\sin A\sin B\sin C</math>이다. 여기서 [[사인 법칙]]에 의해 <math>\sin A=\frac{a}{2R},\,\sin B=\frac{b}{2R},\,\sin C=\frac{c}{2R}</math>이므로, 이를 대입하면 <math>S_{\triangle{ABC}}=\frac{abc}{4R}</math>. == 기타 성질 == *기하학에서의 [[오일러의 정리]]에 따르면, 외심과 [[내심]] 사이의 거리는 <math>\sqrt{R\left(R-2r\right)}</math>이다 (<math>r</math>은 내접원의 반지름). 여기서 알 수 있는 사실은 외접원의 반지름의 길이는 최소한 내접원의 반지름의 길이의 두 배라는 사실이다. 등호는 외심과 [[내심]]이 일치할 때 성립한다. *외심, [[수심]], [[무게중심]], [[구점원]]의 중심은 동일선상에 있다. 자세한 것은 [[오일러 직선]] 참고. == 관련 항목 == *[[삼각형]] *[[공원점]] *[[내심]] *[[무게중심]] *[[수심]] *[[방심]] [[분류:기하학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț