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'''오일러-라그랑주 방정식 | {{학술}} | ||
{{토막글}} | |||
== 개요 == | |||
'''오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)''', 또는 '''오일러 방정식(Euler's equation)'''은 [[1744년]] [[레온하르트 오일러]]가 처음으로 유도한 [[방정식]]이다.<ref>Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion. 『일반역학』 (제5판). 강석태 옮김. Cengage Learning. ISBN 9788962183009</ref> <math>f,y,y'</math>에 대해 | |||
: <math>\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0</math> | : <math>\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0</math> | ||
인 것은 [[적분]] | 인 것은 [[적분]] | ||
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이다. 따라서 | 이다. 따라서 | ||
: <math>v=\sqrt{-2gy}</math> | : <math>v=\sqrt{-2gy}</math> | ||
이다. | 이다. 한편 곡선 <math>y=f(x)</math>를 <math>X(y)=(f^{-1}(y),y)</math>로 매개화하면 | ||
: <math>X'(y)=(\frac{dx}{dy},1)</math> | |||
이므로 | |||
: <math>T=\frac{1}{\sqrt{-2g}}\int_0^{y_1}\sqrt{\frac{1+(\frac{dx}{dy})^2}{y}}dy</math> | : <math>T=\frac{1}{\sqrt{-2g}}\int_0^{y_1}\sqrt{\frac{1+(\frac{dx}{dy})^2}{y}}dy</math> | ||
이다. 이제 함수 ''f''를 | 이다. 이제 함수 ''f''를 | ||
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=== 측지선 === | === 측지선 === | ||
== 일반화 == | == 일반화 == | ||
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으로 주어진다. | 으로 주어진다. | ||
=== 변수가 여러 개일 때 === | === 변수가 여러 개일 때 === | ||
=== 구속조건이 주어졌을 때 === | === 구속조건이 주어졌을 때 === | ||
{{각주}} | {{각주}} | ||
[[분류:물리학 | |||
[[분류:물리학]] |