로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''오일러의 규준'''(Euler's criterion)은 어떤 소수 및 그와 서로소인 자연수가 주어질 때 [[르장드르 기호]]의 값을 판별하는 공식이다. == 공식 == <math>p</math>가 홀수인 [[소수 (정수)|소수]]이고 이와 서로소인 <math>a</math>가 있다. 아래 공식은 [[이차잉여]] 여부를 결정한다. :<math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \begin{cases} 1 \pmod p & (\exists x\in \mathbb{Z})[x^2 = a]\\ -1 \pmod p & (\forall x\in\mathbb{Z})[x^2\neq a] \end{cases}</math> [[르장드르 기호]]로 표현하면 <math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{a}{p}\right) \pmod p</math>이다. == 증명 == [[페르마의 소정리]]에 의해 합동식 <math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod p</math>이 성립하며, 제곱근을 취하면 <math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod p</math>이다.<ref>만일 <math>x^2 \equiv 1, x \not \equiv \pm 1 \pmod p</math>이면 <math>p</math>는 소수가 아니다.</ref> <math>a</math>가 법 <math>p</math>에 대한 이차잉여이면 <math>x^2 \equiv a \pmod p</math>인 <math>x</math>가 존재하므로, <math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv x^{p-1} \equiv 1 \pmod p</math>임을 알 수 있다. 두 번째 합동 기호는 페르마의 소정리를 적용한 것이다. 한편 [[라그랑주의 정리 (정수론)|라그랑주의 정리]]에 따르면 <math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod p</math>는 <math>a</math>가 미지수인 <math>\frac{p-1}{2}</math>차 합동식이므로, 해당 합동식의 해는 <math>\frac{p-1}{2}</math>개 이하이다. 그런데 법 <math>p</math>에 대한 '''서로 다른''' 이차잉여는 <math>\frac{p-1}{2}</math>개이며 각 이차잉여는 해당 합동식을 만족한다. 그러므로 이차잉여 외 값은 이 합동식의 해로써 추가로 들어갈 수 없다. 따라서 <math>a</math>가 법 <math>p</math>에 대한 이차비잉여이면, <math>a^{\frac{p-1}{2}} \not \equiv 1 \pmod p</math>이고, 첫 문단의 조건에 의해 <math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod p</math>이다. == 따름정리 == <math>\gcd(a, p)=\gcd(b, p)=1</math>일 때, <math>\left(\frac{ab}{p}\right) \equiv (ab)^{\frac{p-1}{2}} \equiv a^{\frac{p-1}{2}}b^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right) \pmod p</math> 르장드르 기호 값은 ±1이므로 <math>\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)</math>와 같이 정리할 수 있다. == 이차잉여 여부 판별 == 법 <math>p</math>에 대한 '''모든''' 이차잉여를 구하고 싶다면 <math>r^2 \mod p\ (1 \leq r \leq \frac{p-1}{2})</math>를 차례대로 셈하면 된다. 그런데 <math>p</math>가 큰 소수이고 임의의 '''특정한 값'''이 이차잉여인지 여부를 알고 싶다면, [[이차 상호 법칙]]이나 오일러의 규준을 이용하는 것이 빠르다. {{각주}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)