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<del>[[겨울왕국|Love is an open set-]]</del> | |||
{{둘러보기|위상공간 둘러보기|‘여기’}} | |||
{{학술 관련 정보}} | |||
'''열린 집합'''(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.<ref>Walter Rudin, "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill Book Company</ref> | |||
== | ==정의== | ||
< | 열린 집합은 [[위상]]의 원소이다.<ref>James R. Munkres, "Topology (2nd Edition)", Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458</ref> 이와 동치로, 모든 점이 내부점인 집합이 열린 집합이다. 여기서 내부점이란, 어떤 집합의 [[부분집합]]이 되는 [[근방]]이 존재하는 점을 말한다. | ||
정의에 따라 열린 집합이 무조건 닫히지 않은 것은 아니며, <del>??????? [[로스트|머라고요?]]</del> 열림과 동시에 [[닫힌 집합|닫힌]] 집합도 있다. <math>\mathbb R^2 \sim \mathbb C</math>는 열려 있으면서 닫힌 집합의 예. 물론 그 반대로 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 <math>\{1/n: \; n\in\mathbb N\}</math> 같은 집합도 있다. [https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw 위상수학을 배우는 히틀러] | |||
==성질== | ==성질== | ||
* [[거리공간]]에서 [[근방]]은 거리가 일정 미만인 집합으로 정의되는데, 이는 열려 있다. | * [[거리공간]]에서 [[근방]]은 거리가 일정 미만인 집합으로 정의되는데, 이는 열려 있다. | ||
* [[여집합]] | * 열린 집합의 [[여집합]]은 닫혀 있다. | ||
* 열린 집합의 [[합|합집합]]은 열려 있고, [[유한]][[교집합]] 역시 열려 있다. 하지만 유한하지 않은 교집합은 | * 열린 집합의 [[합|합집합]]은 열려 있고, [[유한]][[교집합]] 역시 열려 있다. 하지만 유한하지 않은 가산 교집합은 닫혀 있을 수도 있다. | ||
==상대적으로 열린 집합== | ==상대적으로 열린 집합== | ||
[[위상공간]] ''X''와 그 부분집합 ''S''가 있다. 이때 ''S''의 부분집합 ''A''에 대하여, ''X''의 열린 부분집합 ''U''가 존재하여 <math>U \cap S = A</math>이면 ''A''는 ''S''에 '''상대적으로 열려 있다'''(''A'' is open relative to ''S'', or relatively open to ''S'')고 한다. 이는 [[거리공간]] ''X''에서 다음과 동치이다: | [[위상공간]] ''X''와 그 부분집합 ''S''가 있다. 이때 ''S''의 부분집합 ''A''에 대하여, ''X''의 열린 부분집합 ''U''가 존재하여 <math>U \cap S = A</math>이면 ''A''는 ''S''에 '''상대적으로 열려 있다'''(''A'' is open relative to ''S'', or is relatively open to ''S'')고 한다. 이는 [[거리공간]] ''X''에서 다음과 동치이다: | ||
: <math>\forall p \in S, \exists r>0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)< r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A.</math> | : <math>\forall p \in S, \exists r>0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)<r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A.</math> | ||
[[분류: | [[분류:수학]] | ||
[[분류:위상수학]] | [[분류:위상수학]] |