열린 집합 편집하기

<del>[[겨울왕국|Love is an open set-]]</del>

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'''열린 집합'''(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.<ref>Walter Rudin, "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill Book Company</ref>

==정의==
열린 집합은 [[위상]]의 원소이다.<ref>James R. Munkres, "Topology (2nd Edition)", Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458</ref> 이와 동치로, 모든 점이 내부점인 집합이 열린 집합이다. 여기서 내부점이란, 어떤 집합의 [[부분집합]]이 되는 [[근방]]이 존재하는 점을 말한다. 

정의에 따라 열린 집합이 무조건 닫히지 않은 것은 아니며, <del>??????? [[로스트|머라고요?]]</del> 열림과 동시에 [[닫힌 집합|닫힌]] 집합도 있다. <math>\mathbb R^2 \sim \mathbb C</math>는 열려 있으면서 닫힌 집합의 예. 물론 그 반대로 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 <math>\{1/n: \; n\in\mathbb N\}</math> 같은 집합도 있다. [https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw 위상수학을 배우는 히틀러]

==성질==
* [[거리공간]]에서 [[근방]]은 거리가 일정 미만인 집합으로 정의되는데, 이는 열려 있다.
* 열린 집합의 [[여집합]]은 닫혀 있다. 
* 열린 집합의[[합|합집합]]은 열려 있고, [[유한]][[교집합]] 역시 열려 있다. 하지만 유한하지 않은 가산 교집합은 닫혀 있을 수도 있다.

==상대적으로 열린 집합==
[[위상공간]] ''X''와 그 부분집합 ''S''가 있다. 이때 ''S''의 부분집합 ''A''에 대하여, ''X''의 열린 부분집합 ''U''가 존재하여 <math>U \cap S = A</math>이면 ''A''는 ''S''에 '''상대적으로 열려 있다'''(''A'' is open relative to ''S'', or is relatively open to ''S'')고 한다. 이는 [[거리공간]] ''X''에서 다음과 동치이다:
: <math>\forall p \in S, \exists r>0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)<r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A.</math>

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+{{학술 관련 정보}}
-거리공간에서 '''열린 집합'''(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.<ref>Walter Rudin, "[[Principles of Mathematical Analysis]]", McGraw-Hill Book Company</ref>
+'''열린 집합'''(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.<ref>Walter Rudin, "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill Book Company</ref>
-== 실직선에서 ==
+==정의==
-<math>\mathbb{R}</math>의 부분집합 <math>O</math>가 열린 구간들의 합집합으로 표현되면, <math>O</math>를 열린 집합이라고 한다.
+열린 집합은 [[위상]]의 원소이다.<ref>James R. Munkres, "Topology (2nd Edition)", Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458</ref> 이와 동치로, 모든 점이 내부점인 집합이 열린 집합이다. 여기서 내부점이란, 어떤 집합의 [[부분집합]]이 되는 [[근방]]이 존재하는 점을 말한다.
-== 거리공간에서 ==
+정의에 따라 열린 집합이 무조건 닫히지 않은 것은 아니며, <del>??????? [[로스트|머라고요?]]</del> 열림과 동시에 [[닫힌 집합|닫힌]] 집합도 있다. <math>\mathbb R^2 \sim \mathbb C</math>는 열려 있으면서 닫힌 집합의 예. 물론 그 반대로 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 <math>\{1/n: \; n\in\mathbb N\}</math> 같은 집합도 있다. [https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw 위상수학을 배우는 히틀러]
-[[거리공간]] <math>(X,d)</math>의 부분집합 <math>O</math>가 열린 공들의 합집합으로 표현되면, <math>O</math>를 거리함수 <math>d</math>에 대한 열린 집합이라고 하고, 모든 열린 집합들의 집합을 <math>d</math>에 의해 생성된 <math>X</math>의 위상이라고 한다.
-다음 명제가 성립한다.
-: (1) <math>\emptyset, X</math>는 열린 집합이다.
-: (2) <math>I</math>를 [[지수집합]]이라고 하자. <math>i\in I</math>에 대해 <math>O_i\subseteq X</math>가 열린 집합이면 그 합집합 <math>\bigcup_{i\in I}O_i</math>는 열린 집합이다. 즉, 열린 집합의 합집합은 열린 집합이다.
-: (3) <math>O_1.O_2,\cdots, O_n\subseteq X</math>이 열린 집합이면 그 교집합 <math>\bigcap_{i=1}^n O_i</math>는 열린 집합이다. 즉, 유한 개의 열린 집합의 교집합은 열린 집합이다.
-== 위상공간에서 ==
-{{참고|위상공간}}
-{{Youtube|SyD4p8_y8Kw}}
-열린 집합은 [[위상]]의 원소이다.<ref>James R. Munkres, "Topology (2nd Edition)", Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458</ref> 사실, 별다른 의미가 있는 문장은 아니고, 위상 공간 자체가 보통 임의의 집합 <math>\mathcal{T}</math> 와 <math>\mathcal{T}</math> 에 정의된 위상 <math>\mathcal{O}</math> 의 쌍 <math>(\mathcal{T}, \mathcal{O})</math> 로 정의되는데, 저 위상 <math>\mathcal{O}</math> 자체를 보통 모든 열린 집합의 집합으로 정의하기때문에, 문자 그대로 열린 집합은 위상의 원소가 된다. 사실, 위상 공간은 닫힌 집합이나 근방을 이용해서도 열린 집합으로 정의한 위상 공간과 동치로 정의할 수 있다.<ref>Klaus Jänich, "Topology"</ref> 거리 공간에서는, 모든 점이 내부점인 집합이 열린 집합이다. 여기서 내부점이란, 어떤 집합의 [[부분집합]]이 되는 [[열린 공]]이 존재하는 점을 말한다.
-정의에 따라 열린 집합이 무조건 닫히지 않은 것은 아니며, 열림과 동시에 [[닫힌 집합|닫힌]] 집합도 있다. <math>\mathbb R^2 \sim \mathbb C</math>는 열려 있으면서 닫힌 집합의 예. 사실, 보다 간단한 예시는 공집합과 전체 집합이다. 이 둘은 위상 공간의 정의상, 항상 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이다. 물론 그 반대로 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 <math>\{1/n: \; n\in\mathbb N\}</math> 같은 집합도 있다.
 ==성질==
 * [[거리공간]]에서 [[근방]]은 거리가 일정 미만인 집합으로 정의되는데, 이는 열려 있다.
-* [[여집합]]이 열린 집합인 집합을 닫힌 집합이라 정의한다.
+* 열린 집합의 [[여집합]]은 닫혀 있다.
-* 열린 집합의 [[합|합집합]]은 열려 있고, [[유한]][[교집합]] 역시 열려 있다. 하지만 유한하지 않은 교집합은 열려 있지 않을  수도 있다.
+* 열린 집합의[[합|합집합]]은 열려 있고, [[유한]][[교집합]] 역시 열려 있다. 하지만 유한하지 않은 가산 교집합은 닫혀 있을 수도 있다.
 ==상대적으로 열린 집합==
-[[위상공간]] ''X''와 그 부분집합 ''S''가 있다. 이때 ''S''의 부분집합 ''A''에 대하여, ''X''의 열린 부분집합 ''U''가 존재하여 <math>U \cap S = A</math>이면 ''A''는 ''S''에 '''상대적으로 열려 있다'''(''A'' is open relative to ''S'', or relatively open to ''S'')고 한다. 이는 [[거리공간]] ''X''에서 다음과 동치이다:
+[[위상공간]] ''X''와 그 부분집합 ''S''가 있다. 이때 ''S''의 부분집합 ''A''에 대하여, ''X''의 열린 부분집합 ''U''가 존재하여 <math>U \cap S = A</math>이면 ''A''는 ''S''에 '''상대적으로 열려 있다'''(''A'' is open relative to ''S'', or is relatively open to ''S'')고 한다. 이는 [[거리공간]] ''X''에서 다음과 동치이다:
-: <math>\forall p \in S, \exists r>0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)< r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A.</math>
+: <math>\forall p \in S, \exists r>0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)<r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A.</math>
-{{각주}}
-[[분류:해석학]]
+[[분류:수학]]
 [[분류:위상수학]]