로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!이 문서는 역대 알려진 가장 큰 소수와 시기별 기록에 대해 다룬다. [[소수 (정수)|소수]]의 개수는 무한하기에 자연수 집합에서 "가장 큰 소수"라는 개념은 존재하지 않는다. 다만 '''알려진 가장 큰 소수''', 즉 인간이 발견한 영역 내에서 가장 큰 소수를 논하는 것은 의미가 있다. 2022년 9월 28일 기준 알려진 가장 큰 소수는 <math>2^{82589933}-1</math>로, [[메르센 소수]]이다. == 상세 == 현재로서는 소수를 생성하는 공식이 존재하지 않는다. 가령 [[제곱수]]의 경우 개수가 무한하다는 사실을 알고 있고, <math>f(n)=n^2</math>에 아무 자연수나 대입하면 제곱수를 무한정 얻어낼 수 있기에 수학에서는 "알려진 가장 큰 제곱수"와 같은 주제는 전혀 관심의 대상이 아니다. 반면 소수의 경우 모든 자연수에 대해 <math>p(n)</math>이 소수가 되는 어떤 '닫힌 형태의 식'이 알려져 있지 않다. 다만 특정 자연수가 소수 후보인지 여부를 가리는 [[소수판정법]]이 있고, 백만~천만 자리의 자연수는 일반 컴퓨터로 비교적 간단한 소수판정법을 실행할 때 하루 내로 기다리면 결과를 얻어낼 수 있다. 물론 자릿수가 늘어날수록 소수 또는 소수 후보로 올라설 확률은 희박해지고, 소요시간도 급격히 늘어난다. 이는 달리 말하면 큰 소수 찾기 프로젝트는 소위 '보물 찾기 게임'이 되는 셈이다. 괜히 [[GIMPS]]와 같은 소수 찾기 프로젝트에서 수천 달러 이상의 상금을 거는 것이 아니다. 이렇게 큰 수 영역에서는 소수를 [[전수조사]]하지 않는다. 즉 어떤 거대한 소수가 발견되었다 해도 그것이 몇 번째 소수인지, 그 수와 이웃한 다른 소수가 얼마인지는 관심거리가 아니다. 물론 [[쌍둥이 소수]]나 [[세쌍둥이 소수]]를 찾을 때에는 이웃한 소수에 대해서도 테스트를 진행하기도 한다. 소수판정법은 크게 소수이기 위한 필요조건을 조사하는 방법, 특수한 자연수의 소수 여부를 빠르고 확실하게 가려내는 방법, 일반적인 자연수의 소수 여부를 입증하는 방법이 있다. * 첫째 방법은 [[페르마의 소정리]], 즉 합동식 <math>a^{N-1} \equiv 1 \pmod N</math>의 성립 여부를 가리는 방법이 있다. <math>N</math>이 소수이면 해당 합동식은 만족하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 때문에 이 판정 기준은 필요조건이라서 이것만으로는 소수임을 확정할 수 없다. 다만 식이 거짓이면 합성수임은 확실하고, 이 판정법은 시간을 크게 잡아먹지 않기에 소수 후보를 소거하는 용도로는 유용하게 쓰인다. * 둘째 방법은 [[뤼카-레머 소수판정법]]과 같이 특수한 자연수([[메르센 수]])를 대상으로 소수 여부를 가리는 방법이다. (메르센 수+1)이 2의 거듭제곱이라는 특수성을 적극 활용하여, 판정 조건을 적절히 다듬으면 위 첫째 방법과 비슷한 시간을 요구하면서 필요조건을 '''필요충분조건'''으로 굳힐 수 있다. 그 밖에 <math>k \cdot 2^n \pm 1 (\text{ odd }k<2^n)</math> 형태의 자연수는 [[프로트의 정리]] 및 [[뤼카-레머-리젤 소수판정법]]으로 소수 여부를 확정할 수 있다. * 셋째 방법은 '''모든 자연수'''에 적용되는 결정론적 알고리즘으로, 대표적으로 [[타원곡선 소수판정법]]이 있다. 범용성이 매우 좋지만 이쪽은 같은 크기의 자연수라도 위 두 방법보다는 시간이 훨씬 오래 걸린다. 현존하는 컴퓨터의 역량으로는 1만 자리 규모의 자연수까지 테스트할 수 있고, 2022년 9월까지 이 방법으로 밝혀낸 가장 큰 소수는 6만 자리를 넘지 않는다. 백만 자리 이상의 큰 영역에서 소수를 찾는다면 둘째 방법을 주로 이용한다. 실제로 이 영역에서 알려진 소수들은 바로 위에 서술한 바와 같이 2의 거듭제곱을 끼는 모양이 많다. == 기록 경신 역사 == 중세 이전에는 자연수의 소수 여부를 가리는 방법으로 직접 나누기와 [[에라토스테네스의 체]]밖에 없었다. 즉 어떤 자연수의 제곱근 이하의 모든 소수들로 나눗셈을 시험하는 것이 유일한 길이었다. 1588년까지 알려진 가장 큰 소수는 [[피에트로 카탈디]]가 밝혀낸 수인 524287이다. 이는 메르센 소수의 일종으로 <math>M_{19}=2^{19}-1</math>과 같다. 하지만 원초적인 직접 나누기 방법은 순전히 [[노가다]]이다. 수가 커질수록 나눗셈을 시행할 소수 개수도 많아지므로, 백만 이상으로 넘어가면 사람 손으로 풀기 힘들어진다. 그러다가 [[레온하르트 오일러]]는 [[페르마의 소정리]]로 ''특수한 자연수''에 대해 직접 나누기 알고리즘의 효율을 크게 향상시켰다. 가령 [[페르마 수]] <math>F_5=2^{32}+1</math>의 모든 약수는 반드시 <math>64k+1</math>의 형태를 띠고, [[메르센 수]] <math>M_{31}=2^{31}-1</math>의 모든 약수는 <math>62k+1</math> 꼴을 한다. (이유는 각 문서의 성질 문단 참고) 이 사실을 알고 있으면 약수 후보를 상당수 미리 걸러내어 나눗셈 횟수를 크게 단축할 수 있다. 오일러는 전자는 <math>F_5=641 \cdot 6700417</math>임을 1732년에 밝혀냈다. 그리고 큰 약수인 6700417이 소수라는 사실도 어렵지 않게 입증할 수 있다. 후자의 경우, <math>M_{31}</math>이 소수임을 1772년에 증명함으로써 최고기록은 10자리를 넘어섰다. 이렇게 나누기 횟수를 단축한 직접 나누기 방법은 <math>a^b+1</math> 꼴의 자연수에다 적용할 수 있다. 하지만 그렇다 해도 15자리 이상으로 넘어가면 이 방법도 속수무책이 된다. 그러다가 1876년 [[에두아르 뤼카]]는 직접 나누기 대신 [[뤼카 수열]]을 이용한 새로운 소수판정법을 제시했다. <math>p</math>가 4로 나눈 나머지가 3인 소수일 때, 뤼카 수 <math>L_{2^p}</math>이 <math>M_p=2^p-1</math>로 나누어 떨어지면 <math>M_p</math>는 소수라는 것이다. 이 정리를 이용해 39자리 수인 <math>M_{127}</math>이 소수임을 증명하였고, 역대 가장 큰 소수로 갈아치워졌다. 이후, 페리에(Aimé Ferrier)는 1951년 44자리 수인 <math>\frac{2^{148}+1}{17}</math>이 소수임을 밝혀냈다. [[포클링턴-레머 소수판정법]]을 활용하여 기계식 계산기로 밝혀낸 이 소수는 컴퓨터의 도움 없이 찾은 마지막 최고기록이다. 같은 해 제프리 밀러(Jeffrey Charles Percy Miller)와 데이비드 휠러(David John Wheeler)는 컴퓨터로 79자리 수인 <math>180\cdot(M_{127})^2+1</math>이 소수임을 밝혀냈다. 1952년부터는 [[메르센 소수]]가 최고기록 행진을 이어나갔다. [[뤼카-레머 소수판정법]]으로 큰 메르센 수를 빠른 시간 내에 찾아낼 수 있기 때문. 물론 1989년에 발견된 <math>391581\cdot 2^{216193}-1</math>은 메르센 소수가 아닌 최고기록이나, 이후에는 메르센 소수들이 가장 큰 소수 자리를 계속 지켜나갔다. 1996년 이후 메르센 소수는 [[GIMPS]]에서 프로젝트를 담당하고 있다. <math>M_{1398269}</math>부터 <math>M_{82589933}</math>까지 소수를 총 17개 찾아냈으며, 현재 가장 큰 소수는 24862048 자리이고 2018년 12월 7일에 발견되었다. == 같이 보기 == * [[메르센 소수]] * [[GIMPS]] {{각주}} {{소수}} {{큰 수}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/중첩 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:소수 (편집) 틀:큰 수 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)