시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학 편집하기

<onlyinclude>{{쉽게 알 수 있다 시리즈
|수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.
|문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.
|시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/질문|도와주세요! 리브레 수학 선생님! 코너 바로가기}}</onlyinclude>

== 들어가기 전 ==
이 항목은 <s> 너, 나, 우리</s> [[수포자]]도 이해할 수 있는 수학 개념들을 적어보는 집단 연구 문서이다. 

<s> 수학 고수 여러분 부탁합니다.</s>

중요하지만 {{ㅊ|우리}} 수포자들을 좌절시키는 수학 개념 위주로 서술하면 좋을 듯하다. 엄밀한 정의는 다른 문서에 서술한다. 엄밀하게 들어가면 끝이 없으므로......

수학 어려운 거 아닙니다. 다만 <del>문제가 개 같기 때문이지요.</del> 사실 2015년 현재 고등학교 과정 까지의 수학 교과 과정에서 다루는 내용이 절대적으로 어렵진 않습니다. 변별력, 간단히 말해서 입시생들을 줄세우기 위한 방편으로 문제에 큰 의미없는 함정을 넣거나 하는 식으로 무의미한 난이도 조절을 하기 때문입니다. 더불어, 다른 나라와 비교할 때 상대적으로 많은 분량을 소화할 것을 요구하기 때문이기도 합니다.
* 편집에 대한 도움말
** 작성 범위는 문과 수학에 한정하지 않습니다. 사전지식이 없어도 알 수 있는 내용 위주로 작성합니다.
** 그림이 필요한 경우에는 {{색|red|<!>그림 추가 필요<!>}}를 넣습니다.

==수학을 공부하는 이유==
교과과정에서 흔히 만날 수 있는 수학은 이유도 목적도 알려주지 않은 채 일단 문제를 풀라는 식으로 되어 있는 경우가 많다.<s>입시 교육의 폐해.</s> 애초에 수학은 왜 공부하는 걸까?


===수학 교과의 설명===
수학과는 수학의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 기능을 습득하여 주변의 여러 가지 현상을 수학적으로 관찰하고 해석하는 능력을 기르며, 수학적 문제 상황을 수리·논리적 사고를 통하여 합리적으로 해결하는 능력과 태도를 기르는 교과이다.<ref>교육과학기술부, [http://ncic.kice.re.kr/nation.dwn.ogf.inventoryList.do 2011 수학과 교육과정 해설서] p.4</ref>

<s>원론적인 이야기……. 이딴 얘기 때려치우고!</s>

===수포자에게까지 굳이 수학을 가르치는 이유===

{{인용문|사실 살면서 다시는 근의 공식을 안 쓰거나 미적분은 손도 댈 일이 없는 사람이 대부분이다. 그런데도 굳이 수학을 왜 가르칠까? 수학이 전체 교육과정의 일부인 것은 수학적 지식을 전수하기 위해서라기보다는 논리적 사고력을 키우기 위해서이다.}}

라고들 보통 '''말한다'''.

만약 저 말이 옳다면, 사실…… 수학 안 가르쳐도 될 것 같다. 논리적 사고력은 퍼즐게임이나 프로그래밍<ref>프로그래밍도 결국은 수학의 일종이다.</ref> 같은 식으로도 대부분 대체할 수 있지 않을까? 그렇다면 남는 이유는, 아주 극단적으로 말해서, 수학을 정규 교육과정에서 제외함으로 인해 실업자가 될 수많은 수학 교사의 반발뿐으로, 그들의 밥그릇 때문에 우리가 이 고생을 하고 있다(?)는 대단히 암울한 결론에 이른다. <s>사실 이과 드립을 하기 위해서 필요하다.</s>

하지만 정말 그럴까? ([[독자연구]])<ref>이 문서가 독자연구도 일반적으로 허용되는 집단연구문서인 점을 고려해서 이런 표기가 불필요하다고 생각하는 분이 많으신 경우 제거해 주시면 좋겠습니다.</ref> 결론부터 말하면 그렇지 않다.

* 살면서 다시는 근의 공식을 쓰거나 미적분은 손도 댈 일이 없는 사람이 대부분인가?
*: 평생 치킨을 팔거나 단순 사무직에만 종사한다면 몰라도 조금이라도 공부를 하는 한 수학은 필요하다. 보통 문과 계열로 분류하는 학문 분야, 예를 들어 인문학과 사회학, 경제학, 정치학 등에도 수학적 모형과 과학적 방법론이 도입된 지 오래다.
*: 통계학은 설문조사 결과든 뭐든, 수치로 계량화할 수 있는 자료라면 어디에나 적용할 수 있으므로 빠지는 분야를 찾기 어렵고,
*: 미분은 수학적으로 모형화하면 기본으로 튀어나오는 미분방정식(또는 점화식)을 푸는 데 필요하다.
*: 행렬은 그 수학적 모형에서 변수가 두 개 이상만 되면 튀어나온다.
*: 지수와 로그는 미분방정식 풀 때 기본으로 나오는 지수함수를 해결하려면 알아야 한다.
*: 그것들을 ‘편하게’ 하라고 지금 미분을, 행렬을, 지수와 로그를 배우고 있는 것이다. 나중에 공부하다가 수학적 모형이 나왔을 때 구구단처럼 당연한 것으로 받아들이고 척척 풀 수 있도록 미리 연습해 두는 것이다.
*: "나는 대학 안 가는데요?" 대학 안 가면 평생 공부 안 하고 살 것 같은가? 공부는 평생 하는 것이다.
*: 예를 들어 30대 40대 돼서 이직 자리 구할 일이 없을 것 같은가? 그때 다른 구직자들과의 경쟁에서 살아남기 위해 자격증 하나라도 더 따려고 할 일이 없을 것 같은가? 그때 가서 그 시험과목 중에 수학적 기반을 필요로 하는 것이 있다면 그냥 포기할 건가? 혹은 울며 겨자 먹기로 비싼 학원비 들여가며 "왜 학생 때 수학을 포기했을까?"하고 한탄하고 있을 건가?

* 수학을 가르치는 이유는 논리적 사고력을 기르기 위해서인가?
*: 일단 맞다. 그런데 ‘논리적 사고력’이라는 단어로는 다 전달이 안 되는 뭔가 더 엄청난 것이 있다. 수학적 사고의 기본은 '''‘이 전제하에서라면 답은 하나로 정해지는’ 경우 그 답이 뭔지 미리 알아 놓자'''는 것이다. 다만 그 답이 진짜 정답이 되게 엄청나게 엄밀히 답을 구하고, 그렇게 구한 답이라면 부정하지 말자는 것이다.
*: 답을 미리 알아 놓으면 좋은 일이 많다. 답이 아닌 걸 붙들고 늘어져서 발생하는 손해를 줄일 수 있고, 혹은 나쁜 답이 도출될 전제를 피해갈 수도 있다. 그게 답일지 아닐지, 좋은 답일지 나쁜 답일지, 어떻게 그렇게 확신하느냐고? '''그걸 확실하게 하려고 논리적 사고를 배우는 것이다.'''
*: 교과서에서는 밑도 끝도 없이 논리적 사고력을 기르는 것이 목표라고 하지만, 구체적으로 말하면 '''여러분이 확실하게 아닌 걸 맞다고 헛소리 지껄이는 거랑 확실하게 맞는 걸 아니라고 헛소리 지껄이는 상황을 막아서 여러분이 세상을 좀 더 쉽고 편하게 살게 하는 것'''이 목표이다. 즉 '확실하게 아닌 걸 맞다고 하지 않고, 확실하게 맞는 걸 아니라고 하지 않는 논리적 사고력’을 길러주는 것이 목표란 말이다. 세상에 그렇게 확실한 게 있기는 있느냐고?
*:* 예를 들어 사과 세 개가 있고 배 다섯 개가 있다. 총 몇 개인가? 여덟 개이다. 누가 "왜 여덟 개야?" 라고 물어보면 이렇게 대답할 것이다. “3+5=8이니까.” 여기다 대고 ‘일곱 개’라거나 ‘아홉 개’라고 우기는 사람은 없을 것이다. 왜? '''‘세 개고 다섯 개인 이상 답은 여덟 개로 정해졌기’''' 때문이다. 세어 보면 누구든지 알 수 있는 것이고, 세어 보지 않고도, 눈 감고도 여덟 개임을 안다. 누가 일곱 개임을 전제로 연구를 하거나 아홉 개임을 전제로 강연을 하더라도, 내버려두면 된다. 알아서 망할 것이다. 왜? 여덟 개이니까. 여덟 개인 게 너무 당연해서 다른 생각을 안 하는가? 이미 당신은 수학적 사고에 발을 담그고 있는 것이다.
*:* 이번엔 좀 더 어려운 예를 들어 어떤 사람 甲이 길이가 3, 5, 7인 철강 빔(beam) 세 개를 가지고 무슨 구조물을 만들려고 한다. 근데 안정성을 생각해서 예각삼각형으로 만드는 것이 목표라고 해 보자. 수학 고수 乙이 이렇게 얘기한다. “길이가 3이랑 5인 빔이 만나는 쪽의 각도가 120˚가 돼서 불안정할 텐데?”{{--|이 삼각형 무게중심은 어디를 바닥에 대도 바닥면을 안 벗어나는데? 위에 뭐 안 올리는 한 쓰러질 일은 없다. 바보야 올리려고 만드는 거니까 문제지 직각삼각형으로 만들면 안 되나? 예각삼각형으로 만드는 게 위에다 뭐를 올렸을 때 무게중심이 좌우로 이동하는 게 가장 적다.}} 甲은 말한다. “야 인마 형 믿어. 내가 한두 번 해 봐? 예각삼각형 되게 다 만드는 방법이 있어.” 어떻게 됐을까? 아까 표현대로 써 보면 이렇다. “누가 예각삼각형임을 전제로 구조물을 만들더라도, 내버려두면 된다. 알아서 망할 것이다. 왜? 120˚니까.” 당연히 乙의 말대로 됐고, 甲은 빔값을 날렸다(그리고 공사 기한을 못 맞추게 됐을지도 모르고, 채무불이행으로 손해배상책임을 졌을지도 모른다). 왜 그런가? '''‘삼각형에서 세 변의 길이가 정해져 있다면 세 내각의 크기는 각각 하나로 정해지기’''' 때문이다. 이 경우의 '''수학자들이 미리 알아 놓은 답'''이 바로 '''[[코사인 법칙|제2 코사인법칙]]'''이다. 즉 식으로 쓰면 <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C</math>가 무조건 성립하게 되어 있다. 지금 당장 ''c''=7, ''a''=3, ''b''=5 넣어 보면 cos ''C'' = −1/2이 나올 것이다. 누구라도 직접 삼각형을 만들어 보더라도 항상 120˚임을 알 수 있다. 그러나 수학을 공부했다면 만들어 보지 않고도, 눈 감고도 120˚임을 안다. 아까 3+5=8이니까 여덟 개인 게 너무 당연해서 다른 생각을 안 했다면, 지금도 제2 코사인법칙 때문에 120˚인 게 너무 당연해서 다른 생각을 하면 안 된다. 하지만 수학을 모르면 甲처럼 헛소리를 지껄이게 되고, 수학자들이 구해 놓은 답을 무시하면 甲처럼 망하게 된다.
*: 이처럼 수학은 '''‘이 전제하에서라면 답은 하나로 정해지는’ 경우'''에 여러분이 엇나가지 않게 해 준다. 그렇게 함으로써 여러분의 시간과 노력, 비용을 절약하고, 여러분이 세상을 좀 더 쉽고 편하게 살게 해 준다. 수학을 통해 거기 있는 게 황금인지, 용의 아가리인지 뻔히 알 수 있다. 그건 정해져 있다. 수학을 모르고 눈앞의 황금을 놓치거나 용의 아가리로 돌진할 텐가, 아니면 지금 수학을 공부해 볼 텐가?

===수학이 중요한 이유===
굳이 전 인류가 수학을 배워야 하는가는 넘어가더라도 현대 문명이 발달하는 데 수학이 꼭 필요함은 부정할 수 없다. 수학은 정말 쓰임새가 많은 학문이다. 수학의 쓸모를 설명하기 위해, 많은 수포자들이 가장 눈꼴사납게 보는 것 중 하나인 [[미적분]]의 쓸모를 예로 들어보겠다.

미적분은 미세한 변화를 토대로 현실에 대한 모형을 만드는 학문이다. 즉 방정식 몇 개면 현실을 상당히 정확히 시뮬레이션할 수 있다. 덕분에 현대 문명의 거의 모든 곳에는 미적분을 쓴다. 예를 들면:

* 날씨의 미세한 변화를 공부함으로써 날씨를 예측할 수 있게 해준다. ([[나비에-스톡스 방정식]])
* 전자기장의 미세한 변화를 공부함으로써 전자기장을 정확히 통제할 수 있게 해준다. 이걸 열심히 한 덕분에 컴퓨터, 전구, 전자악기 등 모든 전자장비를 만들 수 있게 되었다. ([[맥스웰 방정식]])
* 화학반응의 미세한 변화를 공부함으로써 화합물을 어떻게 섞어야 가장 효율적인지 알게 되었고, 덕분에 샴푸나 칫솔, 비료 등의 제품을 대량으로 얻을 수 있게 되었다.
* 금융경제의 미세한 변화를 공부함으로써 주식 가격을 예측할 수 있게 해준다. ([[블랙-숄즈 방정식]])

이 밖에도 [[정수론]]이나 [[상대성이론]] 같은 자연의 신비를 연구하는 데에도 미적분을 사용한다.

한편 쓰임새를 다 떠나서, <math>\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots = \frac{\pi^2}6</math>같은 식들을 보라. 제곱수의 역수들을 쭉 더했더니…… 원의 둘레와 지름의 비율이 나왔다! 아무 관련 없는 개념 두 개가 신비롭게 연결되는 것을 목격할 수 있다(그리고 이걸 증명하기도 쉽지는 않다). 수학을 깊게 공부하면 이런 경이로움을 밥 먹듯이 만나기 때문에 재미로만 연구를 계속하는 [[수학자]]들이 존재한다.

== 정말로 기초적인 내용 ==
* 사칙연산은 [[더 이상의 자세한 설명은 생략한다]].
** 곱셈, 나눗셈과 덧셈, 뺄셈이 있으면 곱셈, 나눗셈을 먼저 한다.
** [[0으로 나누기]]는 보통의 수체계에서, 의미있는 결과를 얻고 싶다면, '''정의하지 않는다.'''<ref>보통의 수체계가 아니면 0으로 나누기를 정의하기도 한다. 단, 0으로 나누기를 의미있게 정의하려면 우리가 보통의산술 체계에서 가정하는 것들 중 하나 이상을 버려야 한다. [[실사영직선]]과 [[리만 구]]를 참고.</ref>
* 어떤 수 ''a''를 ''m''번 곱한 것을 ''a''의 ''m''제곱이라 하고, ''a''<sup>''m''</sup>로 표기한다. ''m''이 2이면 그냥 제곱이라 한다.<ref>옛날에는 각각 ''a''의 ''m''승(乘)과 자승(自乘)이라 했는데, 순화 표현이다. 요즘도 나이 많은 선생님은 옛날 식으로 말하는 경우가 있다. 사칙연산도 예전에는 가감승제(加減乘除)라 했는데, 일본식 표현이라 하여 각각 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈으로 순화하였다.</ref> 이때 <math>a</math>를 밑, <math>m</math>을 지수라 한다. <ref>이게 [[잘 정의됨|잘 정의되]]려면, 곱셈에 대한 결합법칙이 성립해야 한다.</ref>
** 거듭제곱과 곱셈, 나눗셈이 있으면 거듭제곱을 먼저 한다.
* 괄호가 있는 식은 '''소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로''', '''괄호 안부터''' 계산한다.<ref>집합 기호와 혼동의 가능성이 있는 중괄호는 잘 사용하지 않기도 한다.</ref>

==문서 목록==
<onlyinclude><includeonly>
{| class="wikitable" style="text-align: center; margin: auto;"
!colspan=5 |[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학|수포자도 쉽게 알 수 있는 수학]]
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|[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/집합과 명제|집합과 명제]]
|[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/수의 체계와 수의 성질|수의 체계와 수의 성질]]
|[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/문자와 식 및 방정식과 부등식|문자와 식 및 방정식과 부등식]]
|[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/함수|함수]]
|[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/수열|수열]]
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|[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/미분과 적분|미분과 적분]]
|[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/확률과 통계|확률과 통계]]
|[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/평면기하학과 공간기하학|평면기하학과 공간기하학]]
|[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/해석기하학|해석기하학]]
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|}</includeonly></onlyinclude>
#[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/집합과 명제|집합과 명제]] : 집합과 명제에 관한 내용 수록.
#[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/수의 체계와 수의 성질|수의 체계와 수의 성질]] : 자연수, 유리수, 실수 등의 수의 체계와 약수와 배수, 소수 및 소인수 분해에 관한 내용 수록.
#[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/문자와 식 및 방정식과 부등식|문자와 식 및 방정식과 부등식]] : 문자와 다항식 및 그의 연산과 일차 방정식·부등식, 이차 방정식·부등식, 고차 방정식·부등식에 관한 내용 수록.
#[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/함수|함수]] : 함수와 함수의 종류, 다항함수, 초월함수 및 함수의 연속과 극한에 관한 내용, 매개변수 수록. 기하와 벡터에서 음함수의 존재를 다루게 되면서 관련 설명 추가.
#[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/수열|수열]] : 등차·등비수열과 계차수열, 점화식과 수학적 귀납법, 수열의 극한에 관한 내용 수록. 여기서 계차수열과 점화식은 고교 교육과정에서 올해부터 빠짐.
#[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/미분과 적분|미분과 적분]] : 다항함수와 초월함수의 미분과 적분에 관한 내용 수록.
#[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/확률과 통계|확률과 통계]] : 경우의 수와 확률 및 통계에 관한 내용 수록.
#[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/평면기하학과 공간기하학|평면기하학과 공간기하학]] : 좌표를 도입하지 않은 기하학에 관한 내용 수록.
#[[시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/해석기하학|해석기하학]] : 좌표를 도입하여 문제를 해결하는 기하학과 벡터에 관한 내용 수록. 단, 음함수와 매개변수로 나타낸 함수는 성질상 함수에 더 가까우므로 함수 파트에서, 이들의 미분은 미분파트에서 설명함.


{{주석}}
{{리브레 시리즈}}
[[분류:수학]]
[[분류:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학| ]]