시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/삼각함수 공식을 외워보자 편집하기

== 외우기 위한 배경지식 ==

모든 것의 기본은 이거다.
* <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math>: [[피타고라스의 정리]]
* <math>\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}</math>: 탄젠트의 정의(라고 생각해 두자).

그리고 [[삼각함수]]의 값이 어떻게 돌아가는지 ‘감’을 잡을 필요가 있다. 예를 들어 이런 질문을 생각해 보자.

<blockquote> 예제 1) <math>\sin x = 3/5</math>이다. <math>\cos x</math>랑 <math>\tan x</math>는 얼마게?</blockquote>

‘감’이 있다는 것은 이런 질문을 보자마자 cos ''x'' = 4/5, tan ''x'' = 3/4라는 답이 나오는 것을 말한다.

이제 이 ‘감’의 내용을 찬찬히 따라가 본다.

#일단 머릿속에 sin ''x'' = 3/5인 직각삼각형 하나를 떠올리는 것이 제일 좋다. 빗변 5, 높이 3인 직각삼각형이면 될 것 같다.
#이제 위 ‘기본’을 쓴다. 앞서의 직각삼각형이 떠오른 채로 쓰면 훨씬 쉽고, 아니어도 별 상관 없다.
#* 우선 피타고라스의 정리를 쓰면 cos ''x''를 알 수 있다. sin ''x''가 3/5니까, cos ''x''는 …… √(5<sup>2</sup>−3<sup>2</sup>) / 5일 것이고, 이는 4/5이다.<br />이런 계산을 몇 번 해 보다 보면 나중에는 “sin ''x''가 5분의 뭐시기니까, cos ''x''도 5분의 뭐시기일 것이다. 그리고 3<sup>2</sup>+4<sup>2</sup>=5<sup>2</sup>이므로 4/5” 정도로 생각하면 된다.
#* 탄젠트의 정의를 쓰면 (분모가 같으므로) 분자만 똑똑 떼 내면 됨을 알 수 있다. 3/4이다.

사실 정확하게는 cos ''x'' = ±4/5이고 따라서 tan ''x'' = ±3/4라고 하여야 한다. ''x''의 범위를 모르면 함부로 +라고 단정할 수 없다. 아마 보통 문제에 ''x''의 범위가 주어져 있을 것이다. 지금은 예각이면 +, 둔각이면 −.

이번엔 이런 질문을 생각해 보자.

<blockquote> 예제 2) <math>\tan x = 4/3</math>이다. <math>\sin x</math>랑 <math>\cos x</math>는 얼마게?</blockquote>

이런 질문도 보자마자 sin ''x'' = 4/5, cos ''x'' = 3/5라는 답이 나와야 한다.
#이번에도 머릿속에 tan ''x'' = 4/3인 직각삼각형 하나를 떠올리는 것이 가장 좋다. 밑변 3, 높이 4인 직각삼각형이면 될 것 같다.
# 일단 탄젠트의 분자와 분모가 각각 사인과 코사인의 분자로 쪼개지는 것은 익숙할 것이다(익숙해야 한다. 탄젠트의 정의 때문이다. 아까 위에서 분자만 똑똑 떼 낸 거랑 똑같은 이치이다).
# 그럼 분모는 뭘까? 답은 3<sup>2</sup>+4<sup>2</sup>=5<sup>2</sup>니까 5이다. 왜냐고? 피타고라스의 정리이다. 그럼 답 나왔다. sin ''x'' = 4/5, cos ''x'' = 3/5이다.

물론 이번에도 정확하게는 sin ''x'' = ±4/5이고 cos ''x'' = ±3/5라고 하여야 한다(둘 다 양이든지 둘 다 음). ''x''가 예각이면 +, ''x''가 180˚ 초과 270˚ 미만이면 −.

== 기본 공식 ==

여기의 mnemonic은 대부분 공지의 것들이다.

=== 합차공식 ===

너무 유명하다.

{| class="wikitable"
|+ 삼각함수의 합차공식
|<math>\sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y</math>||싸코(플)코싸
|-
|<math>\cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y</math>||코코(마)싸싸
|-
|<math>\tan (x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}</math>||일마탄탄 탄플탄
|}

=== 덧셈공식과 곱셈공식 ===

본질적으로 위 합차공식의 변형이긴 한데, 안 외워 두면 좀 불편할 것이다. 덧셈공식과 곱셈공식 둘 중 하나만 외우면 되는데, 개인차가 있지만 덧셈공식이 좀 더 외우기 깔끔하다.

{| class="wikitable"
|+ 삼각함수의 덧셈공식
|<math>\sin x + \sin y = 2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)</math>||신프신 이신코
|-
|<math>\sin x - \sin y = 2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)</math>||신마신 이코신
|-
|<math>\cos x + \cos y = 2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)</math>||코프코 이코코
|-
|<math>\cos x - \cos y = -2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)</math>||코마코 마이신신
|}

<외우는 법>
* 일단 ‘코마코 마이신신’부터 외운다(제일 잘 외워짐).
** 그리고 친구에게 써 주자. “야 이 코마코 마이신신 같은 놈아!” {{ㅊ|“뭐 이 싸싸는 마코마코 반 같은 놈아?!”}}
* 우변이 앞의 합차공식의 싸코코싸 코코싸싸랑 순서가 같은 것을 확인한다(싸코/ 코싸/ 코코/ 싸싸. 즉 외울 게 없다).
* 좌변의 +/−가 바뀌면 우변은 사인/코사인이 바뀐다. 공식이 그런 느낌의 feeling이라고 기억해 두자.
* 밑의 곱셈공식 때문에 우변의 사인코사인 안에 1/2이 들어가는지 안 들어가는지 헷갈릴 수 있다.<br />'''교차검증''': 첫 줄 ‘신프신 이신코’에 ''y''=''x''를 대입해 본다. 2 sin ''x'' = 2 sin ''x''가 나와야 한다.
* 참고로 사인끼리만 더하고 빼고 코사인끼리만 더하고 뺀다. <math>\sin x + \cos y</math> 이런 공식 없다.


{| class="wikitable"
|+ 삼각함수의 곱셈공식
|<math>\sin x \cos y = \frac{1}{2} \left\{ \sin (x+y) + \sin (x-y) \right\}</math>||신코는 신프신 반||상고는 생생
|-
|<math>\cos x \sin y = \frac{1}{2} \left\{ \sin (x+y) - \sin (x-y) \right\}</math>||코신은 신마신 반||고삼은 생고생
|-
|<math>\cos x \cos y = \frac{1}{2} \left\{ \cos (x+y) + \cos (x-y) \right\}</math>||코코는 코프코 반||공고는 코풀고
|-
|<math>\sin x \sin y = -\frac{1}{2} \left\{ \cos (x+y) - \cos (x-y) \right\}</math>||신신은 마코마코 반||상상은 마구마구
|}

<외우는 법>
* 둘째 열은 (하이탑에 있던 것인데) 오지게 안 외워질 것이다. 셋째 열을 추천한다.
** 한편 ‘상고’랑 ‘공고’가 왜 나오는지는 모르겠다. 악감정은 없다. ‘상상’은 성적인 어기가 있는 듯하다.
* 사실 합차공식 더하고 빼고 하면 외울 것도 없긴 한다. ‘마코마코’ 정도만 확인하면 될 듯.
* 위의 덧셈공식 때문에 우변의 사인코사인 안에 1/2이 들어가는지 안 들어가는지 헷갈릴 수 있다.<br />'''교차검증''': 윗줄 두 개 더해서 사인의 합공식이 나와야 한다.

=== 배각공식 ===

합공식에 <math>x = y</math> 대입하면 된다.

{| class="wikitable"
|+ 삼각함수의 배각공식
|<math>\sin 2x = 2 \sin x \cos x</math>
|-
|<math>\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x</math>
|-
|<math>\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}</math>
|}

== 어려운 공식 ==

여기부터의 mnemonic은 일반적으로 알려진 것이 없는 듯하다. 더 괜찮은 것이 있으면 [[수정바람]]

=== 세배각공식 ===

외우지 말자. 정 필요하면 드 무아브르의 공식(De Moivre’s formula) <math>\cos nx + i \sin nx = \left( \cos x + i \sin x \right)^n</math>을 전개해서 쓰자.

{| class="wikitable"
|+ 삼각함수의 세배각공식
|<math>\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x</math>||삼일마사삼
|-
|<math>\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x</math>||사삼마삼일
|-
|<math>\tan 3x = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}</math>||일마삼이 삼일마일삼
|}

곁수와 지수를 외우는 것이다.

사인은 삼일마'''사'''삼인데 탄젠트는 삼일마'''일'''삼인 이유는 피타고라스의 정리이다.

=== 반각공식 ===

왠지 코사인이 나올 것 같은 느낌의 feeling을 가지면 된다.

{| class="wikitable"
|+ 삼각함수의 반각공식
|<math>\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}</math>||마반
|-
|<math>\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}</math>||플반
|-
|<math>\tan^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}</math>||플분의마
|}

<외우는 법>
* 위의 둘은 코사인의 배각공식에다가 <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math>(피타고라스 정리) 가지고 장난질해서 얻는다.
** 즉, <math>\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x</math>.
* 탄젠트는 그냥 탄젠트의 정의!
* [[이 안에 너 있다|좌변에 제곱 있다]]. 까먹지 말자.

=== <math>\tan \tfrac{x}{2} = t</math>로 나타내는 공식 ===

이게 끝판왕이다. 왠지 <math>1 \pm t^2</math>랑 <math>2t</math>가 나올 것 같은 느낌의 feeling을 가지면 된다.

{| class="wikitable"
|+ 삼각함수를 <math>\tan \tfrac{x}{2} = t</math>로 나타내는 공식
|<math>\sin x = \frac{2t}{1+t^2}</math>||일프탄 이탄
|-
|<math>\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math>||일프탄 일마탄
|-
|<math>\tan x = \frac{2t}{1-t^2}</math>||일마탄 이탄
|}

<외우는 법>
* 탄젠트는 사실 배각공식이다.
* 탄젠트의 분자와 분모가 각각 사인과 코사인의 분자로 쪼개지는 건 아까 경험해서 알 것이다.
* 그러면 분모가 문젠데……, 왠지 <math>1-t^2</math>이랑 <math>2t</math>랑 제곱해서 더하면 <math>1+t^2</math>의 제곱이 될 것 같은 느낌을 가지면 된다.
** 이는 사실 <math>(a^2-b^2)^2 + 4a^2b^2 = (a^2+b^2)^2</math>라는 공식이고, <math>(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2</math> 꼴로 쓰면 더 익숙할 것이다. 곱셈공식과 인수분해공식은 이럴 때 쓰려고 배운 것이다.

이 공식은 어디다 쓸까? 나중에 곡선 매개화할 때, 그리고 치환적분할 때 쓸 일이 평생 한 번 정도 있을 것이다.

{{주석}}

[[분류:리브레 시리즈]]
[[분류:외워 보자 시리즈]]