로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''솔로베이-슈트라센 소수판정법'''(Solovay-strassen primality test)은 어떤 자연수의 [[유력 소수]] 여부를 확인하는 소수판정법으로, [[오일러의 규준]]에 기반한다. 1977년 로버트 솔로베이(Robert M. Solovay)와 폴커 슈트라센(Volker Strassen)이 고안하였다. == 판정 기준 == [[오일러의 규준]]에 따르면 홀수 소수 <math>p</math>와 임의의 자연수 <math>a</math>에 대해 합동식 <math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{a}{p} \right) \pmod p</math>가 성립한다. 여기서 우변은 [[르장드르 기호]]이다. 소수 여부를 알고 싶은 자연수 <math>N</math>이 주어져 있고, 이보다 작은 자연수 하나를 불러와서 [[야코비 기호]]를 셈할 수 있다. 그리고 합동식 <math>a^{\frac{N-1}{2}} \equiv \left(\frac{a}{N} \right) \pmod N</math>을 만족하면 이 수는 유력 소수이고, 그렇지 않으면 합성수이다. 해당 자연수가 합성수이면서 위 판정 기준을 통과한다면 이 수를 '오일러-야코비 [[유사소수]]'라 부른다. 알고리즘은 이렇게 정리할 수 있다. * 테스트하려는 자연수를 입력 받고, 이보다 작은 <math>a</math>를 아무거나 지정한다. * <math>\gcd(a, N)>1</math>이면 <math>N</math>은 합성수임을 알게 되고, 여기서 알고리즘을 종료한다. * 두 수가 서로소이면, <math>a^{\frac{N-1}{2}} \mod N</math>과 <math>\left(\frac{a}{N} \right)</math>의 값을 각각 셈한다. * 두 계산 결과가 서로 일치하면 "유력 소수", 그렇지 않으면 "합성수"라 판정한다. == 신뢰도 == 이 판정 기준은 [[페르마의 소정리]]보다 강력하다. 만약 위 합동식이 성립한다고 가정하면 양 변을 제곱해서 <math>a^{N-1} \equiv 1 \pmod N</math>을 이끌어낼 수 있다. 즉 오일러-야코비 유사소수는 페르마 유사소수의 부분집합이며, 달리 말하면 소수 조건을 통과하는 유사소수를 더 줄일 수 있다. 더욱이 페르마의 소정리의 경우, 주어진 자연수와 서로소인 모든 <math>a</math>에 대해 위 합동식을 만족하는 합성수, 즉 [[카마이클 수]]가 존재하기에 이 판정법만으로는 소수라는 보장을 할 수 없다. 하지만 솔로베이-슈트라센 방식은 검사를 여러 번 통과하면 거의 확실히 소수라 판단할 수 있다. <math>N</math>이 합성수이고, 이보다 작으면서 서로소인 자연수들의 집합은 둘로 나눌 수 있다. * <math>\delta(a)=\left(\frac{a}{N} \right)</math> * <math>A=\{a: 0<x<N, \gcd(a, N)=1\}=W \cup L</math> * <math>W=\{a: a^{\frac{N-1}{2}} \not\equiv \delta(a) \pmod p \}</math>: Euler witness, <math>N</math>이 합성수임을 증언하는 <math>a</math>의 집합 * <math>L=\{a: a^{\frac{N-1}{2}} \equiv \delta(a) \pmod p \}=A \setminus W</math>: Euler liar, <math>N</math>이 합성수라는 사실을 감추는 <math>a</math>의 집합 만약 <math>a \in W, b \in L</math>이면 <math>ab \in W</math>이며 이 사실은 아래와 같이 유도한다. 가정에 의해 <math>a^{\frac{N-1}{2}} \not\equiv \delta(a), b^{\frac{N-1}{2}} \equiv \delta(b) \pmod N</math>이므로 <math>(ab)^{\frac{N-1}{2}} \equiv a^{\frac{N-1}{2}}\delta(b) \not\equiv \delta(a)\delta(b) \pmod N</math>이다.<ref><math>a \not\equiv b \pmod N, \gcd(c, N)=1</math>이면 <math>ac \not\equiv bc \pmod N=1</math>임을 이용</ref> 그런데 야코비 기호의 성질에 의해 <math>\left(\frac{a}{N} \right)\left(\frac{b}{N} \right)=\left(\frac{ab}{N} \right)</math>이고, 이에 따라 <math>(ab)^{\frac{N-1}{2}} \not\equiv \delta(ab) \pmod N</math>이다. 따라서 <math>ab \in W</math>를 이끌어낸다. 실제로는 모든 합성수 <math>N</math>에 대해 <math>W \neq \emptyset</math>이므로 <math>\text{#}(W) \geq \text{#}(L)</math>이다.<ref>R. Solovay and V. Strassen, [https://epubs.siam.org/doi/10.1137/0206006 A Fast Monte-Carlo Test for Primality]</ref> 주어진 자연수보다 작은 <math>a \in A</math>를 무작위로 정했을 때, <math>N</math>이 합성수이면서 위 판정 기준을 통과할 확률은 <math>P(a \in L)=\frac{\text{#}(L)}{\text{#}(L)+\text{#}(W)}=\frac{\text{#}(L)}{\text{#}(A)}</math>이다. 그런데 위에서 유도한 부등식으로부터 <math>P(a \in L) \leq \frac{1}{2}</math>임을 알 수 있다. 더 나아가 <math>a</math>를 무작위로 <math>k</math>개 골라서 일일이 합동식을 테스트할 때, 합성수 <math>N</math>이 주어진 테스트를 모두 통과할 확률은 최대 <math>2^{-k}</math>이다.<ref>무작위로 '''서로 다른''' 값을 고른다면 정확히는 <math>\binom{\text{#}(L)}{k} \left/ \binom{\text{#}(A)}{k} \right.</math>이다. 다만 보통 시험하고자 하는 자연수는 보통 '''아주 큰 수'''이기에 <math>\frac{(\text{#}(L))^k}{(\text{#}(A))^k}</math>과 같이 근사하고, 간단히 하면 최대 확률은 2분의 1의 거듭제곱 꼴이 된다.</ref> 이를테면 20번 통과하면 100만분의 1도 안 되는 셈이다. 그러므로 이 판정법을 여러 번 시행하면 유사소수를 거의 완전히 걸러낼 수 있고, 판정 기준을 모두 통과한다면 그 자연수는 소수라고 거의 확신할 수 있다. == 같이 보기 == * [[밀러-라빈 소수판정법]]: 이 문서에서 소개한 방법보다는 과정이 복잡하지만 신뢰도는 더 높은 알고리즘이다. {{각주}} {{수론 알고리즘}} [[분류:알고리즘]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:수론 알고리즘 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)