속도 편집하기



[[분류:속도| ]]

단위 [[시간]]당 [[변위]]의 변화량.

SI 단위계로는 주로 m/s를 사용한다.

== 평균 속도 ==
서로 다른 운동들을 비교하는 보통의 방법은 변위 <math>\Delta \mathbf x</math>를 변위가 일어난 시간 간격 <math>\Delta t</math>로 나누는 것이다. 이 비율을 '''평균 속도'''(average velocity)라고 하며 한 입자의 평균속도 <math>\mathbf v_{\text{avg}}</math>는 입자의 변위 <math>\Delta \mathbf x</math>와 시간 <math>\Delta t</math>의 비로 정의된다.
: <math>\mathbf v_{\text{avg}} \stackrel{\text{def}}{\equiv} \frac{\Delta \mathbf x}{\Delta t}</math>

== 순간 속도 ==
어떤 시간 간격에 대한 평균 속도가 아닌 특정한 순간의 입자의 속도를 알아야 할 때가 있다. 즉, 평균 속도의 시간 간격을 0으로 접근하게 하면 그 순간의 속도를 알 수 있고, 다음을 '''순간 속도'''(instantaneous velocity)라 한다.
: <math>\mathbf v \stackrel{\text{def}}{\equiv} \lim _{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \mathbf x}{\Delta t} = \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}.</math>

== 등속도 운동하는 입자의 분석 ==
입자의 속도가 일정하면, 시간 간격 내 어떤 순간에서의 순간 속도는 이 구간에서의 평균 속도와 같다. 다시 말하면 <math>\forall t, \, \, \mathbf v = \mathbf v_{\text{avg}}</math>이다. 그러므로 <math>{\mathbf v}_\text{avg} = \frac{\Delta \mathbf x}{\Delta t}</math>로부터 다음 식을 얻는다.
: <math> \mathbf v = \frac{\Delta \mathbf x}{\Delta t}</math>

여기서 처음 변위를 <math> {\mathbf x}_{\mathrm i}</math>, 나중 변위를 <math> {\mathbf x}_{\mathrm f} </math>이라 하면

: <math> {\mathbf x}_{\mathrm f} = {\mathbf x}_{\mathrm i} + {\mathbf v} \Delta t</math>

이다. 이 식은 입자의 나중 위치가 처음 위치 <math>\mathbf x _ \mathrm i</math>와 시간 간격 <math>\Delta t</math> 동안에 생긴 변위 v<sub>x</sub><math> \Delta t</math>와의 합(벡터)임을 말해준다. 

== 속도와 변위, 이동 거리, 가속도와의 관계 ==
먼저 속도는 위치의 도함수이므로:
: <math>\mathbf v \stackrel{\text{def}}{\equiv}  \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t},</math>
속도를 시간에 대하여 적분하면 변위가 된다.
: <math>\int_{t_\mathrm i}^{t_\mathrm f} \mathbf v  \, \mathrm d t =\mathbf x (t_\mathrm f) - \mathbf x ( t_\mathrm i ) = \mathbf x_\mathrm f - \mathbf x_\mathrm i= \Delta \mathbf x .</math>

속도가 아닌 [[속력]](속도의 크기)을 시간에 대하여 적분하면 이동 거리가 된다.
: <math> s = \int_{t_\mathrm i}^{t_\mathrm f} |\mathbf v | \, \mathrm d t.</math>

가속도는 속도의 시간에 대한 변화율로 정의된다.
: <math> \mathbf a =  \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}.</math>

== 속도의 합 ==
[[고전역학]]에서 속도의 합은 단순히 벡터의 합으로 정의된다. 속도 <math>\mathbf v_1 , \, \mathbf v_2</math>의 합벡터를 <math>\Sigma \mathbf v</math>로 표기하면,
:<math>\Sigma \mathbf v \stackrel{\text{classical}}{\equiv} \mathbf v_1 + \mathbf v_2</math>
이다. 하지만 [[특수 상대론]]에 의하면, 속도가 빨라지면 그의 [[로렌츠 인자]]가 커지기 때문에 시간과 길이에 변화가 있어 단순히 합산을 하면 계산이 되지 않는다. 특수 상대론에서 (일차원) 속도의 합을 다음과 같이 정의한다.
:<math>\Sigma \mathbf v \stackrel{\text{relativity}}{\equiv} \frac{ \mathbf v_1 + \mathbf v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}.</math>

이에 의하면 [[광속 불변의 원리]]를 보일 수 있다. {{--|물론 광속이 불변하도록 정의를 한 거지만}} <math>\mathbf v_1 = c \mathbf e = \mathbf c</math><ref><math>\mathbf e</math>는 임의의 단위벡터이다.</ref>라 하고, <math>\mathbf v_2 = \mathbf v</math>의 방향이 <math>\mathbf c</math>와 같다고 하자. 이때 속도의 합은 

:<math>\Sigma \mathbf v = \frac{\mathbf c + \mathbf v}{1 + \frac{c v}{c^2}} = c\frac{\mathbf c + \mathbf v}{c+v} = c \frac{(c+v)\mathbf e}{c+v} = c\mathbf e = \mathbf c.</math>

으로 다시 <math>\mathbf c</math>가 된다.

== 신속도 ==
위의 귀찮은 짓을 버리기 위하여, 단순히 합산하여 계산하여도 문제가 없는 '''신속도'''(rapidity)를 다음과 같이 정의한다.
: <math>\phi = \operatorname{artanh}(v/c)</math>.<ref>artanh는 [[쌍곡 탄젠트|tanh]]의 [[역함수]]이다. <math>\operatorname{artanh} z= \frac{1}{2}\operatorname{Log} \frac{1+z}{1-z} \; \; (z \in \mathbb C)</math>.</ref>

즉 <math>v = c\tanh \phi</math>이고, 속도의 합 공식에 대입하면
:<math> \Sigma v = c\tanh \Sigma\phi = \frac{c\tanh \phi_1 + c\tanh \phi_2}{1+\frac{c\tanh \phi_1 \cdot c\tanh \phi_2}{c^2}} = c\frac{\tanh \phi_1 + \tanh \phi_2}{1+\tanh \phi_1 \tanh \phi_2} = c\tanh (\phi_1 + \phi_2)</math>
에서 <math>\Sigma\phi = \phi_1 + \phi_2</math>임을 알 수 있다. 즉, 특수 상대론에서는 속도 대신 신속도를 쓰면 계산이 훨씬 편해진다.
{{주석}}