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{{다른 뜻| | {{다른 뜻|소수 (실수)|정수인 소수|실수의 수열로써의 표기}} | ||
{{학술 관련 정보}} | |||
== 정의 == | == 정의 == | ||
소수(素數, <small>발음: </small>/소쑤/)는 1보다 큰 [[자연수]] 중에서 [[약수]]가 1과 자기 자신뿐인 수를 말한다. 즉, 약수개 두 개인 수. 1은 | 소수(素數, <small>발음: </small>/소쑤/)는 1보다 큰 [[자연수]] 중에서 [[약수]]가 1과 자기 자신뿐인 수를 말한다. 즉, 약수개 두 개인 수. 중요한 것은 1은 소수가 아니라 중성수라 불린다. 1도 소수도 아닌 수는 [[합성수]]라 불린다. | ||
어떤 자연수를 소수인 약수들의 곱으로 나타내는 것을 [[소인수분해]]라 하며, 자연수의 소인수분해는 반드시 | 어떤 자연수를 소수인 약수들의 곱으로 나타내는 것을 [[소인수분해]] 라 하며, 자연수의 소인수분해는 반드시 존재하며, 유일하다. | ||
[[정수]]에서는 ''0이나 ±1이 아닌 | [[정수]]에서는 '''0이나 ±1이 아닌''' 정수 중에서 '''양의 약수'''가 1과 자기 자신뿐인 수로 정의한다. | ||
==찾는 방법== | ==찾는 방법== | ||
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1부터 120까지의 [[자연수]] 중에 소수인 것을 모두 구해보자. | 1부터 120까지의 [[자연수]] 중에 소수인 것을 모두 구해보자. | ||
* 먼저 자연수를 나눌 만한 소수를 찾는다. 이때 소수 ''p''는 <math>p\le \lfloor\sqrt{120}\rfloor</math>을 만족하는 것이면 충분하다.<ref>일반적으로, ''n''이 합성수라면 <math>p\le \lfloor\sqrt{n}\rfloor</math>인 ''n''의 소인수 ''p''가 존재한다. 김응태·박승안. 『정수론』(제8판). 경문사. | * 먼저 자연수를 나눌 만한 소수를 찾는다. 이때 소수 ''p''는 <math>p\le \lfloor\sqrt{120}\rfloor</math>을 만족하는 것이면 충분하다.<ref>일반적으로, ''n''이 합성수라면 <math>p\le \lfloor\sqrt{n}\rfloor</math>인 ''n''의 소인수 ''p''가 존재한다. 김응태·박승안. 『정수론』(제8판). 경문사. ISBN 9788961055956</ref> 이때 부등식을 만족하는 소수는 2, 3, 5, 7이다. | ||
* 1은 소수가 아닌 걸 아니까 소거한다. | * 1은 소수가 아닌 걸 아니까 소거한다. | ||
* 2부터 120까지의 수 중에 2의 배수인 것을 모두 소거한다. | * 2부터 120까지의 수 중에 2의 배수인 것을 모두 소거한다. | ||
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== 소수의 개수 == | == 소수의 개수 == | ||
소수의 개수는 무한함이 알려져 있는데, 이 사실은 [[유클리드]]가 처음 증명했다. 또한 [[디리클레 등차수열 정리]]에 따르면 [[서로소]]인 두 양의 정수 | 소수의 개수는 무한함이 알려져 있는데, 이 사실은 [[유클리드]]가 처음 증명했다. 또한 [[디리클레 등차수열 정리]]에 따르면 [[서로소]]인 두 양의 정수 \(a,b\)에 대해 \(an+b\) (단, \(n\)은 음이 아닌 정수) 꼴의 소수도 무한히 많다. | ||
=== 증명 === | === 증명 === | ||
==== 유클리드의 증명 ==== | ==== 유클리드의 증명 ==== | ||
소수의 개수가 유한하다고 가정하자. 그러면 유한한 소수를 | 소수의 개수가 유한하다고 가정하자. 그러면 유한한 소수를 \(p_1,p_2,\cdots, p_n\)으로 둘 수 있다. 이제 \(N\)을 | ||
: <math>N=p_1p_2\cdots p_n + 1</math> | : <math>N=p_1p_2\cdots p_n + 1</math> | ||
로 정의하자. 그러면 | 로 정의하자. 그러면 \(N \ge 2\)이므로 \(N\)의 소인수 \(p\)가 존재한다. 즉, \(p\mid p_1p_2\cdots p_n+1\)이고 \(p\mid p_1p_2\cdots p_n\)이므로 \(p\mid 1\)이 되어 모순이다. 따라서 소수의 개수는 무한하다. | ||
=== 소수 계량 함수 === | === 소수 계량 함수 === | ||
{{ | {{참조|소수 계량 함수|소수 정리}} | ||
실수 | 실수 \(x>0\)에 대해 \(x\)보다 작거나 같은 소수의 개수를 \(\pi(x)\)라고 하자. 이때 \(\pi: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{N}\)를 소수 계량 함수라고 한다. 이때 다음 식이 성립한다는 것이 알려져 있다. | ||
: <math>\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x}=1</math> | : <math>\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x}=1</math> | ||
==소수의 일반화== | ==소수의 일반화== | ||
소수의 일반화로 [[기약수]]가 있다. | 소수의 일반화로 [[기약수]]가 있다. | ||
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<math>R</math>이 1을 갖는 가환환일 때, <math>p \in R</math>에 대하여 | <math>R</math>이 1을 갖는 가환환일 때, <math>p \in R</math>에 대하여 | ||
*<math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 <math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>ab=p</math>이면 <math>a \in R^*</math> 또는 <math>b \in R^*</math>이면 <math>p</math>는 '''기약수( | *<math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 <math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>ab=p</math>이면 <math>a \in R^*</math> 또는 <math>b \in R^*</math>이면 <math>p</math>는 '''기약수(irreducible element)'''. | ||
*<math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 [<math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>p\mid ab</math>이면 <math>p\mid a</math> 또는 <math>p\mid b</math>]이면 <math>p</math>는 '''소수( | *<math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 [<math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>p\mid ab</math>이면 <math>p\mid a</math> 또는 <math>p\mid b</math>]이면 <math>p</math>는 '''소수(prime element)'''. | ||
정역(Integral domain)에서는 모든 소수는 기약수이다.<ref>증명: <math>ab=p</math>이면 <math>p\mid ab</math>이다. 예를 들어 <math>p\mid a</math>라 하면 어떤 <math>c \in R</math>에 대해 <math>pc=a</math>이고, 첫 식에 대입하여 <math>pcb=ab=p</math>를 얻는다. 양변에서 <math>p</math>를 소거하면 <math>cb=1</math>이므로 <math>b \in R^*</math>.</ref> 그러나 그 역은 일반적으로는 참이 아니며, [[ | 정역(Integral domain)에서는 모든 소수는 기약수이다.<ref>증명: <math>ab=p</math>이면 <math>p\mid ab</math>이다. 예를 들어 <math>p\mid a</math>라 하면 어떤 <math>c \in R</math>에 대해 <math>pc=a</math>이고, 첫 식에 대입하여 <math>pcb=ab=p</math>를 얻는다. 양변에서 <math>p</math>를 소거하면 <math>cb=1</math>이므로 <math>b \in R^*</math>.</ref> 그러나 그 역은 일반적으로는 참이 아니며, [[주 아이디얼 정역]](Principle Ideal Domain)에서는 모든 기약수는 소수임을 증명할 수 있다. | ||
기약수가 항상 소수가 아니라는 사실에서 일반상식을 깨는 수학적 사실을 하나 이끌어 낼 수 있다. | 기약수가 항상 소수가 아니라는 사실에서 일반상식을 깨는 수학적 사실을 하나 이끌어 낼 수 있다. | ||
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:#비슷한 방법으로 <math>3,\,1\pm\sqrt{-5}</math>가 기약수라는 사실을 보일 수 있다. | :#비슷한 방법으로 <math>3,\,1\pm\sqrt{-5}</math>가 기약수라는 사실을 보일 수 있다. | ||
:#이제, <math>2\mid2\cdot3=6=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)</math>이다. 그런데, <math>2\notin R^*</math>이고, <math>1\pm\sqrt{-5}</math>는 기약수이므로, <math>2\nmid1\pm\sqrt{-5}</math>이다. 따라서, '''2는 소수가 아니다.''' {{ㅊ|뭐라고요?????}} | :#이제, <math>2\mid2\cdot3=6=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)</math>이다. 그런데, <math>2\notin R^*</math>이고, <math>1\pm\sqrt{-5}</math>는 기약수이므로, <math>2\nmid1\pm\sqrt{-5}</math>이다. 따라서, '''2는 소수가 아니다.''' {{ㅊ|뭐라고요?????}} | ||
학교에서 2는 짝수인 소수라고 수도 없이 들었을테지만, 위와같이 특정한 [[환 (수학)|환]]에서는 2가 소수가 아닐 수도 있다.<ref><math>\mathbb{ | 학교에서 2는 짝수인 소수라고 수도 없이 들었을테지만, 위와같이 특정한 [[환 (수학)|환]]에서는 2가 소수가 아닐 수도 있다. 이는 다른 소수들도 마찬가지라 소수가 소수가 아닌(...) 경우가 존재한다. 물론, 우리가 흔히 사용하는 실수 체계에서는 2가 소수이므로 걱정하지 말자.<ref>이는 <math>\mathbb{R}</math>이 [[주 아이디얼 정역]]이기 때문이다. 좀 더 범위를 좁히면, 실수는 [[유클리드 정역]]이다.</ref> | ||
소수의 또 다른 일반화로 소아이디얼이 있다. | 소수의 또 다른 일반화로 소아이디얼이 있다. | ||
74번째 줄: | 74번째 줄: | ||
==유명한 소수== | ==유명한 소수== | ||
* [[2]]: 짝수인 유일한 소수. | * [[2]]: 짝수인 유일한 소수. | ||
* 691: | * 691: 베르누이 수와 관련되어 있다는 지표가 된다. | ||
* 65537 = 2<sup>16</sup>+1 = 2<sup>2<sup>4</sup></sup>+1: 현재까지 알려진 가장 큰 [[페르마 소수]]로서, [[컴퓨터]]에서 65537제곱을 하기가 쉽다는 특성 때문에 암호론 등에서 자주 등장한다. | * 65537 = 2<sup>16</sup>+1 = 2<sup>2<sup>4</sup></sup>+1: 현재까지 알려진 가장 큰 [[페르마 소수]]로서, [[컴퓨터]]에서 65537제곱을 하기가 쉽다는 특성 때문에 암호론 등에서 자주 등장한다. | ||
* [[메르센 소수]]: <math>2^p-1</math> 꼴의 소수. 이때 | * [[메르센 소수]]: <math>2^p-1</math> 꼴의 소수. 이때 \(p\)는 소수다. 2015년 11월 현재 48개가 알려져 있으며, 가장 큰 메르센 소수는 2013년에 발견된 \(2^{57885161}-1\)이다. | ||
* [[쌍둥이소수]]: 소수 | * [[쌍둥이소수]]: 소수 \(p\)에 대해 <math>p+2</math>가 소수이면 \(p\)와 \(p+2\)를 쌍둥이소수라고 한다. | ||
* [[제르멩 소수]]: 소수 | * [[제르멩 소수]]: 소수 \(p\)에 대해 <math>2p+1</math>이 소수이면 \(p\)를 제르멩 소수라고 한다. | ||
{{각주}} | {{각주}} | ||
[[분류:수]] | [[분류:수]] |