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{{다른 뜻| | {{다른 뜻|소수 (실수)|정수인 소수|실수의 수열로써의 표기}} | ||
{{학술 관련 정보}} | |||
== 정의 == | == 정의 == | ||
소수(素數, <small>발음: </small>/소쑤/)는 1보다 큰 [[자연수]] 중에서 [[약수]]가 1과 자기 자신뿐인 수를 말한다. 즉, 약수개 두 개인 수. 1은 | 소수(素數, <small>발음: </small>/소쑤/)는 1보다 큰 [[자연수]] 중에서 [[약수]]가 1과 자기 자신뿐인 수를 말한다. 즉, 약수개 두 개인 수. 중요한 것은 1은 소수가 아니라 중성수라 불린다. 1도 소수도 아닌 수는 [[합성수]]라 불린다. | ||
어떤 자연수를 소수인 약수들의 곱으로 나타내는 것을 [[소인수분해]]라 하며, 자연수의 소인수분해는 반드시 | 어떤 자연수를 소수인 약수들의 곱으로 나타내는 것을 [[소인수분해]] 라 하며, 자연수의 소인수분해는 반드시 존재하며, 유일하다. | ||
[[정수]]에서는 ''0이나 ±1이 아닌 | [[정수]]에서는 '''0이나 ±1이 아닌''' 정수 중에서 '''양의 약수'''가 1과 자기 자신뿐인 수로 정의한다. | ||
==찾는 방법== | ==찾는 방법== | ||
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1부터 120까지의 [[자연수]] 중에 소수인 것을 모두 구해보자. | 1부터 120까지의 [[자연수]] 중에 소수인 것을 모두 구해보자. | ||
* 먼저 자연수를 나눌 만한 소수를 찾는다. 이때 소수 ''p''는 <math>p\le \lfloor\sqrt{120}\rfloor</math>을 만족하는 것이면 충분하다.<ref>일반적으로, ''n''이 합성수라면 <math>p\le \lfloor\sqrt{n}\rfloor</math>인 ''n''의 소인수 ''p''가 존재한다. 김응태·박승안. 『정수론』(제8판). 경문사. | * 먼저 자연수를 나눌 만한 소수를 찾는다. 이때 소수 ''p''는 <math>p\le \lfloor\sqrt{120}\rfloor</math>을 만족하는 것이면 충분하다.<ref>일반적으로, ''n''이 합성수라면 <math>p\le \lfloor\sqrt{n}\rfloor</math>인 ''n''의 소인수 ''p''가 존재한다. 김응태·박승안. 『정수론』(제8판). 경문사. ISBN 9788961055956</ref> 이때 부등식을 만족하는 소수는 2, 3, 5, 7이다. | ||
* 1은 소수가 아닌 걸 아니까 소거한다. | * 1은 소수가 아닌 걸 아니까 소거한다. | ||
* 2부터 120까지의 수 중에 2의 배수인 것을 모두 소거한다. | * 2부터 120까지의 수 중에 2의 배수인 것을 모두 소거한다. | ||
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== 소수의 개수 == | == 소수의 개수 == | ||
소수의 개수는 무한함이 알려져 있는데, 이 사실은 [[유클리드]]가 처음 증명했다. 또한 [[디리클레 등차수열 정리]]에 따르면 [[서로소]]인 두 양의 정수 | 소수의 개수는 무한함이 알려져 있는데, 이 사실은 [[유클리드]]가 처음 증명했다. 또한 [[디리클레 등차수열 정리]]에 따르면 [[서로소]]인 두 양의 정수 \(a,b\)에 대해 \(an+b\) (단, \(n\)은 음이 아닌 정수) 꼴의 소수도 무한히 많다. | ||
=== 증명 === | === 증명 === | ||
==== 유클리드의 증명 ==== | ==== 유클리드의 증명 ==== | ||
소수의 개수가 유한하다고 가정하자. 그러면 유한한 소수를 | 소수의 개수가 유한하다고 가정하자. 그러면 유한한 소수를 \(p_1,p_2,\cdots, p_n\)으로 둘 수 있다. 이제 \(N\)을 | ||
: <math>N=p_1p_2\cdots p_n + 1</math> | : <math>N=p_1p_2\cdots p_n + 1</math> | ||
로 정의하자. 그러면 | 로 정의하자. 그러면 \(N \ge 2\)이므로 \(N\)의 소인수 \(p\)가 존재한다. 즉, \(p\mid p_1p_2\cdots p_n+1\)이고 \(p\mid p_1p_2\cdots p_n\)이므로 \(p\mid 1\)이 되어 모순이다. 따라서 소수의 개수는 무한하다. | ||
=== 소수 계량 함수 === | === 소수 계량 함수 === | ||
{{ | {{참조|소수 계량 함수|소수 정리}} | ||
실수 | 실수 \(x>0\)에 대해 \(x\)보다 작거나 같은 소수의 개수를 \(\pi(x)\)라고 하자. 이때 \(\pi: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{N}\)를 소수 계량 함수라고 한다. 이때 다음 식이 성립한다는 것이 알려져 있다. | ||
: <math>\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x}=1</math> | : <math>\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x}=1</math> | ||
==소수의 일반화== | ==소수의 일반화== | ||
소수의 일반화로 기약수가 있다. | |||
소수의 일반화로 | |||
앞서 자연수 영역에서의 소수를 ‘1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자신뿐인 수’로 정의하였으나, 사실은 다음 두 정의가 혼용되고 있었다. | 앞서 자연수 영역에서의 소수를 ‘1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자신뿐인 수’로 정의하였으나, 사실은 다음 두 정의가 혼용되고 있었다. | ||
*<math>p>1</math>이고 <math>ab=p</math>이면 <math>a=1</math> 또는 <math>b=1</math>. | * <math>p>1</math>이고 <math>ab=p</math>이면 <math>a=1</math> 또는 <math>b=1</math>. | ||
*<math>p>1</math>이고 <math>p\mid ab</math>이면 <math>p\mid a</math> 또는 <math>p\mid b</math>. | * <math>p>1</math>이고 <math>p\mid ab</math>이면 <math>p\mid a</math> 또는 <math>p\mid b</math>. | ||
:(<math>a\mid b</math>는 <math>b</math>가 <math>a</math>로 나누어 떨어진다는 뜻.) | :(<math>a\mid b</math>는 <math>b</math>가 <math>a</math>로 나누어 떨어진다는 뜻.) | ||
이 두 정의는 자연수의 | 이 두 정의는 자연수의 소인수분해를 생각하면 동치임이 명백하다. 그러나 다항식에서 비슷한 역할을 하는 기약다항식 등을 연구하면서, 수학자들은 두 정의가 일반적으로는 동치가 아님을 알게 되었다. 따라서 다음과 같이 구분하게 되었다. | ||
<math>R</math>이 1을 갖는 가환환일 때, <math>p \in R</math>에 대하여 | <math>R</math>이 1을 갖는 가환환일 때, <math>p \in R</math>에 대하여 | ||
*<math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 <math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>ab=p</math>이면 <math>a \in R^*</math> 또는 <math>b \in R^*</math>이면 <math>p</math>는 '''기약수( | * <math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 <math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>ab=p</math>이면 <math>a \in R^*</math> 또는 <math>b \in R^*</math>이면 <math>p</math>는 '''기약수(irreducible element)'''. | ||
*<math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 [<math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>p\mid ab</math>이면 <math>p\mid a</math> 또는 <math>p\mid b</math>]이면 <math>p</math>는 '''소수( | * <math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 [<math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>p\mid ab</math>이면 <math>p\mid a</math> 또는 <math>p\mid b</math>]이면 <math>p</math>는 '''소수(prime element)'''. | ||
정역(Integral domain)에서는 모든 소수는 기약수이다.<ref>증명: <math>ab=p</math>이면 <math>p\mid ab</math>이다. 예를 들어 <math>p\mid a</math>라 하면 어떤 <math>c \in R</math>에 대해 <math>pc=a</math>이고, 첫 식에 대입하여 <math>pcb=ab=p</math>를 얻는다. 양변에서 <math>p</math>를 소거하면 <math>cb=1</math>이므로 <math>b \in R^*</math>.</ref> 그러나 그 역은 일반적으로는 참이 아니며, 유일 인수분해 정역(Unique factorization domain)에서는 모든 기약수는 소수임을 증명할 수 있다. | |||
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소수의 또 다른 일반화로 소아이디얼이 있다. | 소수의 또 다른 일반화로 소아이디얼이 있다. | ||
<math>R</math>이 1을 갖는 가환환일 때, <math>R</math>의 | <math>R</math>이 1을 갖는 가환환일 때, <math>R</math>의 아이디얼(ideal) <math>I</math>에 대하여 <math>I \neq R</math>이고 [<math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>ab \in I</math>이면 <math>a \in I</math> 또는 <math>b \in I</math>]이면 <math>I</math>는 '''소아이디얼(prime ideal)'''이라 한다. 약수와 배수 관계가 아이디얼의 포함관계에 대응된다는 점을 생각하면 위 정의가 소수에 관한 앞서의 정의와 상통함을 알 수 있다. 따라서 <math> p \neq 0 </math>일 때 <math>p</math>가 소수인 것과 <math>p</math>가 생성하는 아이디얼 <math>(p)</math>이 소 아이디얼인 것이 동치임은 자명하다. | ||
주의할 점은 <math>R</math> 자신은 소아이디얼이라고 부르지 않는다는 것이다. 이는 1이 소수가 아닌 것과 마찬가지이다. 즉, 소 아이디얼의 정의에서 <math>I \neq R</math>이라는 조건은 <math>p</math>가 non-unit이라는 조건에 대응된다. 그러나 또 주의할 점은 <math>I</math>가 non-zero일 것은 요하지 않으므로, 영 아이디얼 0도 소아이디얼일 수 있다는 것이다. 따라서 앞서의 명제에서 <math>p \neq 0</math>이라는 조건을 빼먹으면 곤란하다. | 주의할 점은 <math>R</math> 자신은 소아이디얼이라고 부르지 않는다는 것이다. 이는 1이 소수가 아닌 것과 마찬가지이다. 즉, 소 아이디얼의 정의에서 <math>I \neq R</math>이라는 조건은 <math>p</math>가 non-unit이라는 조건에 대응된다. 그러나 또 주의할 점은 <math>I</math>가 non-zero일 것은 요하지 않으므로, 영 아이디얼 0도 소아이디얼일 수 있다는 것이다. 따라서 앞서의 명제에서 <math>p \neq 0</math>이라는 조건을 빼먹으면 곤란하다. | ||
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==유명한 소수== | ==유명한 소수== | ||
* [[2]]: 짝수인 유일한 소수. | * [[2]]: 짝수인 유일한 소수. | ||
* 691: | * 691: 베르누이 수와 관련되어 있다는 지표가 된다. | ||
* 65537 = 2<sup>16</sup>+1 = 2<sup>2<sup>4</sup></sup>+1: 현재까지 알려진 가장 큰 [[페르마 소수]]로서, [[컴퓨터]]에서 65537제곱을 하기가 쉽다는 특성 때문에 암호론 등에서 자주 등장한다. | * 65537 = 2<sup>16</sup>+1 = 2<sup>2<sup>4</sup></sup>+1: 현재까지 알려진 가장 큰 [[페르마 소수]]로서, [[컴퓨터]]에서 65537제곱을 하기가 쉽다는 특성 때문에 암호론 등에서 자주 등장한다. | ||
{{각주}} | {{각주}} | ||
[[분류:수]] | [[분류:수]] |