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[[분류:집합론]] | <!--{{학술}}[[분류:집합론]]--> | ||
{{인용문| | {{인용문|No one will drive us from the '''paradise''' which Cantor created for us.|David Hilbert (1926)}} | ||
'''선택 공리'''((the) '''A'''xiom of '''C'''hoice, '''AC''')는 임의의 집합족의 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 모아 만든 새로운 집합을 구성할 수 있음을 주장하는 공리이다. 수학의 전 분야, 특히 집합론과 해석학에서 그 형식화에 많은 도움을 주는 공리이다. 임의의 집합의 [[기수]]의 존재성<ref>선택 공리와 동치</ref>, 임의의 [[벡터공간]]의 [[기저]]의 존재성<ref>선택 공리와의 함의 관계가 일반적으로 밝혀지지 않았다. 하단 참조.</ref> 등 여러 분야에서 쓰이는 개념을 [[잘 정의됨|잘 정의할]] 수 있게 해준다. 물론 이보다 약한 [[가산 선택 공리]]나 [[의존 선택 공리]]와 같은 것만을 이용하여 증명할 수 있는 것들도 일부 있지만, AC가 꼭 필요한 명제들도 있기에 집합론과 해석학에서는 보통 선택 공리를 인정하는 편이다. 하지만 이를 가정하는 데에 조심스러운 수학자가 많다. | '''선택 공리'''((the) '''A'''xiom of '''C'''hoice, '''AC''')는 임의의 집합족의 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 모아 만든 새로운 집합을 구성할 수 있음을 주장하는 공리이다. 수학의 전 분야, 특히 집합론과 해석학에서 그 형식화에 많은 도움을 주는 공리이다. 임의의 집합의 [[기수]]의 존재성<ref>선택 공리와 동치</ref>, 임의의 [[벡터공간]]의 [[기저]]의 존재성<ref>선택 공리와의 함의 관계가 일반적으로 밝혀지지 않았다. 하단 참조.</ref> 등 여러 분야에서 쓰이는 개념을 [[잘 정의됨|잘 정의할]] 수 있게 해준다. 물론 이보다 약한 [[가산 선택 공리]]나 [[의존 선택 공리]]와 같은 것만을 이용하여 증명할 수 있는 것들도 일부 있지만, AC가 꼭 필요한 명제들도 있기에 집합론과 해석학에서는 보통 선택 공리를 인정하는 편이다. 하지만 이를 가정하는 데에 조심스러운 수학자가 많다. | ||
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큰 상자 안에 작은 상자가 여러 개 있고, 그 각각의 작은 상자에 동전이 한 개 이상씩 들어 있는 상황을 생각해 보자. 각각의 상자에서 동전을 '''하나씩''' 골라 주머니 안에 넣을 수 있을까? | 큰 상자 안에 작은 상자가 여러 개 있고, 그 각각의 작은 상자에 동전이 한 개 이상씩 들어 있는 상황을 생각해 보자. 각각의 상자에서 동전을 '''하나씩''' 골라 주머니 안에 넣을 수 있을까? | ||
... 당연하다. 그냥 뽑으면 되지 않는가! 뭐라고 설명해야 할지는 모르겠지만, '''뽑아보면 안다.''' 하지만, 이것은 작은 상자가 ''유한''할 때에만 적용될 수 있는 논리이다. 만약 그 작은 상자가 무한 개(?) 있다면, 우리는 그 동전들을 골라 주머니에 넣을 수 있는가? (사실 현실의 상황으로 생각하는 것은 nonsense이다. 상자가 [[유한론|무한 개 있을 리가 없다!]]) | ... 당연하다. 그냥 뽑으면 되지 않는가! 뭐라고 설명해야 할지는 모르겠지만, '''뽑아보면 안다.''' 하지만, 이것은 작은 상자가 ''유한''할 때에만 적용될 수 있는 논리이다. 만약 그 작은 상자가 무한 개(?) 있다면, 우리는 그 동전들을 골라 주머니에 넣을 수 있는가? (사실 현실의 상황으로 생각하는 것은 nonsense이다. 상자가 [[유한론|무한 개 있을 리가 없다!]] (?)) | ||
==진술== | ==진술== | ||
다음 동치인 명제 중 하나를 '''선택 공리'''('''AC | 다음 동치인 명제 중 하나를 '''선택 공리'''('''AC''')라고 한다: | ||
* <math>\mathcal A</math>를 mutually disjoint한 공이 아닌 집합들의 족이라 하자. 그렇다면 <math>\mathcal A</math>의 각각의 집합으로부터 하나의 원소-씩으로 구성된 집합이 존재한다. | * <math>\mathcal A</math>를 mutually disjoint한 공이 아닌 집합들의 족이라 하자. 그렇다면 <math>\mathcal A</math>의 각각의 집합으로부터 하나의 원소-씩으로 구성된 집합이 존재한다. | ||
* <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, <math>\prod_{i \in I} A_i \ne \emptyset</math>이다. | * <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, <math>\prod_{i \in I} A_i \ne \emptyset</math>이다. | ||
* <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, 어떤 집합 <math>C</math>가 존재하여 <math>\forall i \in I [C \cap A_i \text{ is a singleton}]</math>이다 | * <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, 어떤 집합 <math>C</math>가 존재하여 <math>\forall i \in I [C \cap A_i \text{ is a singleton}]</math>이다. | ||
* '''선택함수'''(choice function)가 존재한다. 더욱 명시적으로, 주어진 집합 <math>A</math>에 대하여, 함수 <math>F:\mathcal P(A) \to A</math>가 존재하여 <math>\forall X \subseteq A[X\ne \emptyset \Rightarrow F(X) \in X]</math>이다. | * '''선택함수'''(choice function)가 존재한다. 더욱 명시적으로, 주어진 집합 <math>A</math>에 대하여, 함수 <math>F:\mathcal P(A) \to A</math>가 존재하여 <math>\forall X \subseteq A[X\ne \emptyset \Rightarrow F(X) \in X]</math>이다. | ||
* 선택함수가 존재한다. 임의의 집합족 <math>\mathcal A</math>에 대하여, <math>\emptyset \notin \mathcal A\implies \exists f\colon \mathcal A\rightarrow \bigcup \mathcal A\left[\forall X\in \mathcal A\,(f(X)\in X)\right]</math>이다. | * 선택함수가 존재한다. 임의의 집합족 <math>\mathcal A</math>에 대하여, <math>\emptyset \notin \mathcal A\implies \exists f\colon \mathcal A\rightarrow \bigcup \mathcal A\left[\forall X\in \mathcal A\,(f(X)\in X)\right]</math>이다. | ||
==선택 공리의 직관적/반직관적인 결과== | ==선택 공리의 직관적/반직관적인 결과== | ||
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The first uncountable ordinal \omega_1 can be singular. | The first uncountable ordinal \omega_1 can be singular. | ||
More generally, it can be that every uncountable \aleph_\alpha is singular. Hence, there are no infinite regular uncountable well-ordered cardinals. | More generally, it can be that every uncountable \aleph_\alpha is singular. Hence, there are no infinite regular uncountable well-ordered cardinals. | ||
하지만 선택공리를 가정하게 되면, 실수 <math>\mathbb R</math>의 르벡 비가측인 집합이 생기게 | 하지만 선택공리를 가정하게 되면, 실수 <math>\mathbb R</math>의 르벡 비가측인 집합이 생기게 | ||
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There can be graphs all of whose cycles have even length and whose chromatic number is greater than two. In fact, let GG be the graph whose vertices are the real numbers, with xx and yy adjacent if |x−y|=2–√+r|x−y|=2+r, where rr is rational. Then GG has only even length cycles. Assuming that every subset of RR is measurable (which is consistent with ZF), then the chromatic number of GG is uncountable. This is a result of Shelah and Soifer. If we assume the Axiom of Choice, then the chromatic number of GG is two. | There can be graphs all of whose cycles have even length and whose chromatic number is greater than two. In fact, let GG be the graph whose vertices are the real numbers, with xx and yy adjacent if |x−y|=2–√+r|x−y|=2+r, where rr is rational. Then GG has only even length cycles. Assuming that every subset of RR is measurable (which is consistent with ZF), then the chromatic number of GG is uncountable. This is a result of Shelah and Soifer. If we assume the Axiom of Choice, then the chromatic number of GG is two. | ||
-----------이하 AC일 때의 문제 | -----------이하 AC일 때의 문제 | ||
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My feeling about the axiom of choice is pragmatic; it is useful and doesn't seem to get us in trouble so I have no qualms using it (even though I don't believe in it fully). I have also a picture of sets which could be used to justify this contradictory (I am not trying to formalise it so it should not be considered a competing model of mathematics). To me all elements of a set are not on equal footing. Taking my cue from algebraic geometry, there are closed points which are "real" elements but also non-closed points. Hence, the set of embeddings of the pp-adic numbers in CC is under the axiom of choice a non-empty set but in my opinion it does not contain any closed points. (In fact all its elements are probably generic, i.e., their closure is the whole set.) As long as you only deal with "concrete" objects (which should be closed in any set in which they are contained but maybe should be something more) the conclusions about them that are obtained by using the axiom of choice should be OK. | My feeling about the axiom of choice is pragmatic; it is useful and doesn't seem to get us in trouble so I have no qualms using it (even though I don't believe in it fully). I have also a picture of sets which could be used to justify this contradictory (I am not trying to formalise it so it should not be considered a competing model of mathematics). To me all elements of a set are not on equal footing. Taking my cue from algebraic geometry, there are closed points which are "real" elements but also non-closed points. Hence, the set of embeddings of the pp-adic numbers in CC is under the axiom of choice a non-empty set but in my opinion it does not contain any closed points. (In fact all its elements are probably generic, i.e., their closure is the whole set.) As long as you only deal with "concrete" objects (which should be closed in any set in which they are contained but maybe should be something more) the conclusions about them that are obtained by using the axiom of choice should be OK. | ||
The Axiom of Determinacy (AD) fails. | The Axiom of Determinacy (AD) fails. | ||
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There are apparently many set theorists that agree with this assessment, since they try to rescue AD as relativized to L(R). That the relative consistency strength of this statement is equivalent to that of large cardinals is considered good evidence that those large cardinals are, in fact, consistent. More precisely, ZF + AD is consistent iff ZFC + "there are infinitely many Woodin cardinals" is consistent, and ADL(R) is outright provable in ZFC + "there is a measurable cardinal which is greater than infinitely many Woodin cardinals". | There are apparently many set theorists that agree with this assessment, since they try to rescue AD as relativized to L(R). That the relative consistency strength of this statement is equivalent to that of large cardinals is considered good evidence that those large cardinals are, in fact, consistent. More precisely, ZF + AD is consistent iff ZFC + "there are infinitely many Woodin cardinals" is consistent, and ADL(R) is outright provable in ZFC + "there is a measurable cardinal which is greater than infinitely many Woodin cardinals". | ||
공사중 | 공사중 | ||
--> | --> | ||
==선택 공리와 동치인 유명한 명제들== | ==선택 공리와 동치인 유명한 명제들== | ||
누가 뭐래도, 제일 중요한 것은 [[초른의 보조정리|'''Zorn's Lemma''']]와 '''[[정렬 원리]]'''이다. 이와 함께, 다음과 같은 동치인 명제들이 알려져 있다. | 누가 뭐래도, 제일 중요한 것은 [[초른의 보조정리|'''Zorn's Lemma''']]와 '''[[정렬 원리]]'''이다. 이와 함께, 다음과 같은 동치인 명제들이 알려져 있다. | ||
* [[집합론]] | * [[집합론]] | ||
**[[정렬 원리]]: 모든 집합은 정렬될(well-ordered) 수 있다. | **[[정렬 원리]]: 모든 집합은 정렬될(well-ordered) 수 있다. | ||
**[[타르스키의 선택 정리]]: 임의의 무한집합 <math>A</math>에 대해서, <math>A</math>와 <math>A\times A</math> 사이에 [[전단사]] 함수가 존재한다. 즉 둘은 대등(equipotent)하고, 둘의 [[기수]](cardinality)는 같다. 따라서 다음 명제와 AC가 동치이다: finite <math>\lambda < \kappa := |A|</math>에 대하여, <math>|A| = \kappa = \kappa^\lambda = |A|^\lambda</math>이다. | **[[타르스키의 선택 정리]]: 임의의 무한집합 <math>A</math>에 대해서, <math>A</math>와 <math>A\times A</math> 사이에 [[전단사]] 함수가 존재한다. 즉 둘은 대등(equipotent)하고, 둘의 [[기수]](cardinality)는 같다. 따라서 다음 명제와 AC가 동치이다: finite <math>\lambda < \kappa := |A|</math>에 대하여, <math>|A| = \kappa = \kappa^\lambda = |A|^\lambda</math>이다. | ||
**[[기수]]의 [[삼분성질]]: 기수 사이의 순서 관계는 linear ordering이다. 즉, 임의의 두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>가 있으면, <math>|A| < |B|</math>, <math>|A| = |B|</math>, <math>|A| >|B|</math> 중 하나이다. | **[[기수]]의 [[삼분성질]]: 기수 사이의 순서 관계는 linear ordering이다. 즉, 임의의 두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>가 있으면, <math>|A| < |B|</math>, <math>|A| = |B|</math>, <math>|A| >|B|</math> 중 하나이다. | ||
** 공집합이 아닌 집합들의 카테시언 곱은 공집합이 아니다. (당연해 보이지만 선택 공리와 동치이다!) | |||
** [[쾨니그 정리 (집합론)|쾨니그 정리]]: 작은 것들의 합은 큰 것들의 곱보다 작다. 즉, <math>\kappa_i < \lambda_i</math>이면 <math>\sum_i \kappa_i < \prod_i \lambda_i</math>이다. | ** [[쾨니그 정리 (집합론)|쾨니그 정리]]: 작은 것들의 합은 큰 것들의 곱보다 작다. 즉, <math>\kappa_i < \lambda_i</math>이면 <math>\sum_i \kappa_i < \prod_i \lambda_i</math>이다. | ||
** 모든 전사 함수는 우역원을 가진다. | ** 모든 전사 함수는 우역원을 가진다. | ||
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**[[초른의 보조정리]]: 모든 사슬(전순서인 부분집합)이 상한을 가지는 poset(반순서집합)은 극대원을 갖는다. | **[[초른의 보조정리]]: 모든 사슬(전순서인 부분집합)이 상한을 가지는 poset(반순서집합)은 극대원을 갖는다. | ||
**[[하우스도르프 극대 원리]]: 모든 poset에 대하여, 극대의 전순서 부분집합이 존재하여 모든 전순서 부분집합이 극대 전순서 부분집합에 포함된다. 극대 전순서 부분집합의 존재성만을 진술한 것은 ZF 위에서 AC와 동치이다. | **[[하우스도르프 극대 원리]]: 모든 poset에 대하여, 극대의 전순서 부분집합이 존재하여 모든 전순서 부분집합이 극대 전순서 부분집합에 포함된다. 극대 전순서 부분집합의 존재성만을 진술한 것은 ZF 위에서 AC와 동치이다. | ||
**[[투키-타이히뮐러 보조정리]](Tukey-Teichmüller lemma, 또는 Tukey's lemma): | **[[투키-타이히뮐러 보조정리]](Tukey-Teichmüller lemma, 또는 Tukey's lemma): <!--Every non-empty collection of finite character has a maximal element with respect to inclusion.--> | ||
**[[반사슬 원리]]: 모든 poset은 극대 반사슬을 갖는다. | **[[반사슬 원리]]: 모든 poset은 극대 반사슬을 갖는다. | ||
*[[대수학]] | *[[대수학]] |