삼각함수의 덧셈정리 편집하기

<math>\sin75^\circ</math>의 값은 뭘까? 만약 [[삼각함수]]가 선형 함수라면 <math>\sin75^\circ=\sin45^\circ+\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}</math>일 것이다. 하지만 실제 값은 <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>로, 좀 많이 다르다. 삼각함수의 덧셈정리는 이런 문제를 풀기 위해 만들어진 공식으로, 안그래도 많고 복잡한 삼각함수의 공식을 두 배로 불려주는 역할을 담당한다.

== 덧셈정리 ==
전부 복부호동순이다.
*<math>\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta</math>
*<math>\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta</math>
*<math>\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}</math>

=== 증명 ===
여러가지 증명 방법이 있지만 [[벡터]]를 사용하는 것이 가장 일반적이다. 일반각에 대해 증명이 가능하기 때문.

두 벡터 <math>\vec{OB}, \vec{OC}</math>의 내적을 구하면, <math>\vec{OC}\cdot\vec{OB}=\left|\vec{OC}\right|\cdot\left|\vec{OB}\right|\cos\left(\angle COB\right)=1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right)</math>. 한편 두 벡터의 내적을 성분으로 나타내면, <math>\vec{OC}\cdot\vec{OB}=\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)\cdot\left(\cos\beta, \sin\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math>. 따라서 <math>\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math>.

벡터를 모르더라도 단위원과 [[코사인 법칙]]을 사용하여 증명이 가능하다.

[[파일:삼각함수의 덧셈정리 증명.png]]

단위원의 중심을 O, 양의 x축을 시초선으로하고 각의 크기가 각각 <math>\beta, \alpha</math>인 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 <math>B, C</math>라고 하자 (즉, <math>\angle AOB=\beta, \angle AOC=\alpha</math>). 그럼 두 점의 좌표는 <math>B\left(\cos\beta, \sin\beta\right), C\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)</math>이다. 두 점 사이의 거리를 구하는 공식으로 부터, <math>\overline{BC}^2=\left(\cos\beta-\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\beta-\sin\alpha\right)^2=\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)+\left(\cos^2\beta+\sin^2\beta\right)-2\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right)=</math><br /><math>2-\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right)</math>. 한편, 코사인법칙으로부터, <math>\overline{BC}^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right)</math>이다. 따라서, <math>\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math>.

위 두 증명에서는 공통적으로 코사인에 대한 덧셈정리만을 증명했는데, 나머지 부분의 증명은 다음과 같다.

<math>\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math>의 <math>\beta</math>에 <math>-\beta</math>를 대입하면 <math>\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math>.

한편, <math>\sin\left(\alpha+\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha+\beta\right)\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)=</math><br /><math>\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math>. 여기서 <math>\beta</math>에 <math>-\beta</math>를 대입하면 <math>\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta</math>.

마지막으로, <math>\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\cos\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}</math>. 여기서 분자, 분모를 <math>\cos\alpha\cos\beta</math>로 나누면 <math>\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}</math>. 여기서 <math>\beta</math>에 <math>-\beta</math>를 대입하면 <math>\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}</math>.

== 삼각함수의 합성 ==
삼각함수의 덧셈정리를 응용해서 <math>a\sin\theta+b\cos\theta</math>형태로 나타난 삼각함수를 아래와 같이 하나로 합칠 수 있다.
#<math>a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta+\alpha\right),\, \left(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)</math>
#<math>a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\theta-\beta\right), \, \left(\cos\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)</math>
#최댓값: <math>\sqrt{a^2+b^2}</math>, 최솟값: <math>-\sqrt{a^2+b^2}</math>, 주기: <math>2\pi</math>

증명은 그림을 그려서 각 <math>\alpha</math>나 <math>\beta</math>를 찾아서 합성하거나, 아니면 우변에 있는 합성된 삼각함수를 덧셈정리로 풀어서 정리하면 된다.

== 배각, 반각 공식 ==
삼각함수의 덧셈정리에서 두 각을 같게 놔두면 2배각의 공식을 만들 수 있다.
#<math>\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha</math>
#<math>\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha</math>
#<math>\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}</math>
특히 코사인의 2배각 공식은 세 가지 형태가 있는데, <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math>를 이용해서 변형한 것이다.

덧셈정리에서 두각을 <math>\alpha, 2\alpha</math>로 놔두면 3배각의 공식을 만들 수 있다.
#<math>\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha</math>
#<math>\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha</math>
증명은 덧셈정리를 이용해서 쭉 풀어나가면 된다.

또한, 코사인의 2배각 공식에서 반각 공식을 유도할 수 있다.<math>\alpha</math>대신 <math>\alpha/2</math>를 대입하면 된다.
#<math>\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}</math>
#<math>\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}</math>
#<math>\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}</math>

== 삼각함수의 합차공식 ==
삼각함수의 덧셈정리에서 유도되는 공식들. {{ㅊ|으아아아 제발 그만}} 다 외워도 상관은 없지만 유도 방법을 안 뒤, 필요할 때마다 유도하는 것이 좋다. 사실 덧셈정리와 어느 정도 유사성이 있기 때문에 통째로 외우는 것이 그렇게 어려운 것은 아니다.

증명의 편의를 위해 덧셈정리에 번호를 매기도록 하겠다.
#<math>\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math>
#<math>\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta</math>
#<math>\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math>
#<math>\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math>

=== 곱을 합차로 바꾸는 공식 ===
1번식과 2번식을 더한뒤 2로 나누면, <math>\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)</math>.

1번식에서 2번식을 뺀뒤 2로 나누면, <math>\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)</math>.

3번식과 4번식을 더한뒤 2로 나누면, <math>\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right)</math>.

3번식에서 4번식을 뺀뒤 2로 나누면, <math>\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right)</math>.

=== 합차를 곱으로 바꾸는 공식 ===
바로 윗문단의 공식에서 유도되는 또 다른 공식. <math>\alpha+\beta=A, \alpha-\beta=B</math>로 치환한뒤 <math>\alpha, \beta</math>에 관해서 풀면, <math>\alpha=\frac{A+B}{2}, \beta=\frac{A-B}{2}</math>이고, 이 값을 식에 대입한 뒤 좌변과 우변을 바꾸면 아래 공식을 얻는다.
#<math>\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}</math>
#<math>\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}</math>
#<math>\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}</math>
#<math>\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}</math>

== 정리 ==
덧셈정리에서 유도되는 수많은 공식들을 표로 정리하면 다음과 같다.

{|class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" width="100%"
|-style=text-align:center
!분류
!공식
|-
|rowspan=3 style=text-align:center|덧셈정리
|<math>\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta</math>
|-
|<math>\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta</math>
|-
|<math>\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}</math>
|-
|rowspan=2 style=text-align:center|합성
|<math>\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta+\alpha\right),\, \left(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)</math>
|-
|<math>\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\theta-\beta\right), \, \left(\cos\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)</math>
|-
|rowspan=3 style=text-align:center|2배각
|<math>\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha</math>
|-
|<math>\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha</math>
|-
|<math>\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}</math>
|-
|rowspan=2 style=text-align:center|3배각
|<math>\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha</math>
|-
|<math>\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha</math>
|-
|rowspan=3 style=text-align:center|반각
|<math>\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}</math>
|-
|<math>\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}</math>
|-
|<math>\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}</math>
|-
|rowspan=4 style=text-align:center|곱을 합차로
|<math>\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)</math>
|-
|<math>\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)</math>
|-
|<math>\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right)</math>
|-
|<math>\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right)</math>
|-
|rowspan=4 style=text-align:center|합차를 곱으로
|<math>\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}</math>
|-
|<math>\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}</math>
|-
|<math>\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}</math>
|-
|<math>\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}</math>
|}
{{ㅊ|뭐가 이렇게 많아}}

== 외우는 요령 ==
{{ㅊ|그런거 없다}}

사실 모든 공식을 외우는 것 보다는 모든 공식을 유도할 수 있는 것이 더 중요하다. 하지만 제한된 시간 안에 문제를 풀어야 하는 학교 시험 같은 상황에서는 필요할 때마다 일일이 유도할 수 없는 노릇이니 어느 정도 암기가 필요하다. 아래는 위 수많은 공식의 암기 방법 중 하나. 만약 아래 방법이 자신에게 맞지 않는다면 자신만의 방법을 찾아보자.
*덧셈 정리: 기본 중의 기본. 덧셈 정리를 못 외우면 유도되는 공식들을 전부 못 외운다 봐도 무방하다. 외울 때는 '''사코코사''', '''코코마사사''', '''일마타타타플타'''으로 외우는 방법이 있다. 보면 알겠지만, 사는 사인, 코는 코사인, 타는 탄젠트, 마는 마이너스, 플은 플러스를 뜻한다.
*배각 공식: 사인은 '''두사코''', 코사인은 '''코제마사제'''로 바꾸면 된다. 여기서 제는 당연히 제곱을 뜻한다. 코사인의 배각 공식의 경우는 총 세 가지가 있는데, "코제마사제"에서 아주 간단하게 유도되니 따로 외워 줄 필요는 없다. 만약 외우고 싶다면, 사인은 마이너스와, 코사인은 플러스와 연관되어 있다고만 생각해주자.<ref><math>\cos2\theta=1-2\sin^2\theta</math>에서 사인 제곱의 부호는 마이너스이므로 마이너스와 연관되어 있다고 말한 것이다. 코사인도 동일.</ref>
*3배각 공식: 사인은 '''343''', 코사인은 '''433'''. 뭔 소리인가 하면, 4 뒤의 3은 세제곱을, 나머지 숫자는 계수를 말한다. 여기서도 사인은 마이너스와, 코사인은 플러스와 연관되어 있다.<ref><math>\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta</math>에서 사인 세제곱의 부호는 마이너스라 사인이 마이너스와 연관되어 있다는 소리. 코사인도 동일.</ref>
*반각 공식: 간단하기 때문에 큰 문제는 없다. 부호가 헷갈린다면 사인은 마이너스, 코사인은 플러스와 관련 있다고 생각해주자.
*곱을 합차로: 믿기 힘들겠지만, 공식 4개를 통째로 외우는 것이 쉽다. 등호 좌변을 읽어 보면 '''사코코사코코사사'''인데, 이는 덧셈 정리의 그것과 형태가 같다. 등호 우변은 '''사사사사코코코코'''라 외우기 더 쉽다. 중간의 부호는 플마플마, 계수는 1/2. 마지막 줄은 마이너스를 앞에 곱해야 하는데, 좌변의 '''코코마사사'''에서 마가 오른쪽으로 옮겨 갔다 생각하자. 각도는 합차 공식이므로 합차가 번갈아 나온다고 생각하자.
*합차를 곱으로: 이것 역시 공식 4개를 통째로 외우는 것이 쉽다. 등호 좌변은 '''사사사사코코코코''', 우변은 '''사코코사코코사사''', 좌변의 중간 부호는 플마플마, 우변의 계수는 2. 마지막 줄 역시 마이너스를 앞에 곱해야 하는데, 이 역시 '''코코마사사'''에서 마가 옮겨 갔다 생각하면 된다. 각도의 경우는 합차가 번갈아 나오는데, 절반으로 나눠줘야 한다. 식 앞에 계수 2가 있기 때문에 절반으로 나눈다 생각하면 된다.
*합성: 그냥 유도하자. 시험에 잘 안나온다.

== 같이 보기 ==
*[[삼각함수]]

{{각주}}
[[분류:함수]]
[[분류:수학 정리]]