로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! == 개요 == [[절대 기하학]]에 있어서 매우 중요한 정리. 지오반니 사케리와 아드리앵마리 르장드르가 증명했기 때문에 두 사람의 이름이 붙었다. 정리의 내용은 임의의 [[절대 기하학]] [[모델 (기하학)|모델]]에서의 [[삼각형]]의 내각의 합과 관련되어 있으며, [[타원 기하학]]과 [[절대 기하학]]의 근본적인 차이점을 직관적으로 보여주게 된다. 자세한 것은 후술. == 정리 == 먼저 보조 정리가 몇 개 필요하다. === 보조 정리 1 === {{^|진술}} 임의의 [[삼각형]] <math>\triangle{ABC}</math>에 대해, 삼각형 <math>\triangle{AEC}</math>가 존재하여 두 삼각형의 내각의 합은 같고, <math>\triangle{AEC}</math>의 한 내각은 <math>\triangle{ABC}</math>의 한 내각의 절반보다 작거나 같다. {{^|증명}} 변 <math>\overline{BC}</math>의 중점을 <math>D</math>라 하자. <math>\overleftrightarrow{AD}</math>위에 <math>AD=DE</math>가 되게 점 <math>E</math>를 잡는다. 그럼, <math>BD=DC,\,AD=DE,\,\angle{BDA}=\angle{CDE}</math>([[맞꼭지각]])이므로 <math>\triangle{ADB}\cong\triangle{EDC}</math>(SAS)이다. 먼저, <math>\triangle{ABC}</math>의 내각의 합은, :<math>\begin{align*} \angle{BAC}+\angle{ABC}+\angle{BCA}&=\angle{BAD}+\angle{DAC}+\angle{ABD}+\angle{DCA}\\&=\angle{DEC}+\angle{DAC}+\angle{DCE}+\angle{DCA}\\&=\angle{AEC}+\angle{EAC}+\angle{ACE}\end{align*}</math> 이므로, <math>\triangle{AEC}</math>의 내각의 합과 같다. 한편, <math>\angle{BAD}</math>는 <math>\angle{BAC}</math>의 절반보다 작거나 같거나, 큰 두 가지 경우만이 존재한다. #<math>\angle{BAD}\leq\tfrac{1}{2}\angle{BAC}</math> #:<math>\angle{BAD}=\angle{AEC}</math>이므로, <math>\angle{AEC}\leq\tfrac{1}{2}\angle{BAC}</math> #<math>\angle{BAD}>\tfrac{1}{2}\angle{BAC}</math> #:그러면, <math>\angle{EAC}=\angle{BAC}-\angle{BAD}<\angle{BAC}-\tfrac{1}{2}\angle{BAC}=\tfrac{1}{2}\angle{BAC}</math> 어느 경우든, <math>\triangle{AEC}</math>의 한 내각은 <math>\triangle{ABC}</math>의 한 내각의 절반보다 작거나 같다. === 보조 정리 2 === {{^|진술}} 임의의 삼각형 <math>\triangle{ABC}</math>에서, <math>\angle{CAB}+\angle{ABC}<180</math>이다. {{^|증명}} <math>\overrightarrow{AB}\setminus\overline{AB}</math>위에 임의의 점 <math>D</math>를 잡자. [[평각 정리]]에 의해, <math>\angle{ABC}+\angle{CBD}=180</math>이다. 또한, 외각 정리에 의해 <math>\angle{CBD}>\angle{CAB}</math>이다. 따라서, <math>\angle{CAB}+\angle{ABC}<\angle{ABC}+\angle{CBD}=180</math>. === 보조 정리 3 === {{^|진술 (아르키메데스 성질)}} 임의의 <math>x,\,y\in\mathbb{R}^+</math>에 대해, 적당한 [[자연수]] <math>N</math>이 존재하여 <math>\tfrac{x}{N}< y</math>이다. 증명은 [[아르키메데스 성질]]을 참조하자. === 사케리-르장드르 정리 === {{^|진술}} 임의의 [[절대 기하학]] [[모델 (기하학)|모델]]에서, 삼각형의 세 내각의 합은 180보다 작거나 같다. {{^|증명}} [[귀류법]]을 사용한다. <math>\triangle{ABC}</math>의 세 내각을 <math>\alpha,\,\beta,\,\gamma</math>라 하고, 세 내각의 합이 180보다 크다고 가정하자. 그럼, 적당한 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>\alpha+\beta+\gamma=180+\varepsilon</math>이다. 보조 정리 1에 의해, 세 내각이 각각 <math>\alpha_1,\,\beta_1,\,\gamma_1</math>이고, <math>\alpha_1+\beta_1+\gamma_1=\alpha+\beta+\gamma</math>이며, <math>\alpha_1<\tfrac{1}{2}\alpha</math>인 새로운 삼각형 <math>\triangle{A_1B_1C_1}</math>를 얻을 수 있다. 보조 정리 1을 계속 반복하면, [[삼각형]]의 수열 <math>\left\{\triangle{A_nB_nC_n}\right\}</math>을 얻을 수 있다. 즉, <math>\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=\alpha+\beta+\gamma</math>이지만, <math>\alpha_n<\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\alpha</math>이다. 한편, 보조 정리 3에 의해, 적당한 자연수 <math>N</math>이 존재하여 <math>\alpha_N<\varepsilon</math>이다. 그런데, <math>\alpha_N+\beta_N+\gamma_N=180+\varepsilon</math>이므로, <math>\beta_N+\gamma_N>180</math>이어야 한다. 이는 보조 정리 2에 모순이고, 따라서 <math>\triangle{ABC}</math>의 세 내각의 합은 180보다 작거나 같다. == 의의 == [[사케리 사각형]]에 나와있는 정리를 응용하면, [[절대 기하학]]은 모든 삼각형의 내각의 합이 180보다 작은 기하학과, 정확하게 180인 기하학의 두 분류가 존재함을 알 수 있다. 여기서 전자를 준 쌍곡 기하학 (Semi-hyperbolic Geometry), 후자를 준 유클리드 기하학 (Semi-Euclid Geometry)라 부른다. "준"자가 붙은 이유는, 평행선에 대한 성질이 정의되지 않았기 때문. 주어진 한 점을 지나며 주어진 다른 직선에 평행한 직선이 유일하다고 가정하면 (=평행선 공준을 받아들이면) [[유클리드 기하학]]이 되고, 여러 개 존재할 수 있다고 가정하면 [[쌍곡 기하학]]이 된다. 한편, [[타원 기하학]]은 삼각형의 내각의 합이 180보다 크므로, [[절대 기하학]]이 아니게 된다. 보통 타원 기하학은 [[결합 기하학]]의 공리를 만족하지 않기 때문에 절대 기하학이 아니다고 배울텐데, 사케리-르장드르 정리를 이용하면 훨씬 더 직관적으로 이해할 수 있다. 평행선의 관점에서 살펴보면, 타원 기하학에선 평행선이라는 것이 존재하지 않는다. [[절대 기하학]]에서 수선을 두 번 작도하는 것으로 평행선이 반드시 존재함을 보일 수 있다는 것과는 대조되는 사실. [[분류:절대 기하학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:^ (편집)