로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요![[분류:정수론]] '''브룬 정리'''(Brun's theorem), 또는 '''브룬 추측'''(Brun's conjecture)은 쌍둥이 소수의 역수의 합들을 모두 더한 것이 수렴한다는 정리이다. 이 수렴값은 '''브룬 상수'''(Brun's constant)로 불리우며 보통 <math>B_2</math>로 표기한다. == 진술 == <math>p_1, p_2, \cdots </math>를 쌍둥이 소수 중 작은 수라 하자. 즉 <math>p_i\in\mathbb P \wedge (p_i+2)\in\mathbb P</math>를 만족한다고 하자. 그렇다면 다음 [[급수]]가 수렴한다: <div align=center><math>\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_i + 2}\right) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) +\cdots < \infty</math></div> == 증명 == 이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 <math>\pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P)</math>로 정의한다. ===Lemma 1. === ([[아벨 합 공식{{!}}Abel's summation formula]]) <math>a_n \;\; (n\in \mathbb N)</math>이 [[복소수{{!}}복소]] [[수열]]이고 <math>\varphi(x)</math>가 [[일급 함수]]일 때, <math> A(x) := \sum_{0 < n\le x} a_n</math>이라고 하면 <div align=center><math>\sum_{y < n\le x} a_n \varphi(n) \, =\, A(x) \varphi(x) -A(y) \varphi(y) - \int_y^x A(u)\varphi ' (u) \, \mathrm d u</math></div>이다. <hr/> ''Proof.'' 먼저 정의에서 <math>A(\lfloor x \rfloor ) = A(x)</math>임을 안다. 따라서 <div align=center><math>\begin{aligned}\sum_{y < n \le x} a_n \varphi(n) & = \sum_{n = \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor} (A(n) - A(n-1)) \varphi(n) \\ &= \sum_{n = \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor} A(n) \varphi(n) - \sum_{n = \lfloor y \rfloor }^{\lfloor x \rfloor - 1} A(n) \varphi(n+1) \\ &= A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) + \sum_{n= \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor - 1} A(n) (\varphi(n) - \varphi(n+1)) - A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &= \sum_{n= \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor - 1} A(n) \left( - \int_n^{n+1} \varphi ' (u) \,\mathrm d u \right) + A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) - A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &= - \int_ { \lfloor y \rfloor + 1}^{\lfloor x \rfloor } A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u + A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) - A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &= -\int_y ^x A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u +\int_y^{\lfloor y \rfloor + 1} A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u + \int_{\lfloor x \rfloor}^x A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u+ A(\lfloor x \rfloor) \varphi(\lfloor x \rfloor) - A(\lfloor y \rfloor) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\ &= -\int_y ^x A(u) \varphi ' (u) \, \mathrm d u +A(y)\int_y^{\lfloor y \rfloor + 1} \varphi ' (u) \, \mathrm d u +A(x) \int_{\lfloor x \rfloor}^x\varphi ' (u) \, \mathrm d u+ A(x) \varphi(\lfloor x \rfloor) - A(y) \varphi(\lfloor y \rfloor + 1) \\&= \, A(x) \varphi(x) -A(y) \varphi(y) - \int_y^x A(u)\varphi ' (u) \, \mathrm d u. \end{aligned}</math> </div></div> ===Lemma 2.=== ([[메르텐스 정리|Mertens' third theorem]]보다 약한 명제) <math>\prod_{p\le x} \left( 1- \frac 1 p \right) \,=\, O\left(\frac{1}{\log x}\right)</math>. <hr/> ''Proof.'' <math>\log (1-x)</math>의 [[테일러 급수|Taylor expansion]]은 <math>\sum_{k \ge 1} \frac{x^k}{k}</math>로 주어지므로, <div align=center><math>\begin{aligned}\log \prod_{p \le x}\left( 1- \frac 1 p \right) &= \sum_{p \le x} \log \left( 1- \frac 1 p \right) \\ &= - \sum_{p \le x} \sum_{k \ge 1} \frac{1}{kp^k} \\ &= -\sum_{p\le x} \frac 1 p - \sum_{k \ge 2}\left( \sum_p \frac{1}{kp^k} - \sum_{p > x}\frac{1}{kp^k}\right) \\ &= -\sum_{p\le x} \frac 1 p - \sum_p \sum_{k \ge 2}\frac{1}{kp^k} - \sum_{p > x} \sum_{k \ge 2}\frac{1}{kp^k} \end{aligned}</math></div> 이다. 이때 처음의 항은 [[메르텐스 정리|Mertens' second theorem]]에 의하여 <math>\sum_{p \le x} \frac 1 p = \log \log x + O\left(\frac 1 {\log x}\right) + C_0</math> for some constant <math>C_0</math>이고, <math>k \ge 2</math>일 때 <math>\frac{1}{kp^k} \le \frac {1}{2 p^k}</math>이므로 <math> \sum_p \sum_{k \ge 2}\frac{1}{kp^k} \le \sum_p \sum_{k \ge 2}\frac{1}{2p^k} = \sum_p \frac{1}{2(p^2 - p)} \le \sum_p p^{-2} <\infty </math>이고 이를 <math>C_1</math>이라 하자. 마지막으로 <math> \sum_{p > x} \sum_{k \ge 2}\frac{1}{kp^k} \le \sum_{p > x} \sum_{k \ge 2}\frac{1}{2p^k} = \sum_{p > x}\frac{1}{2(p^2 - p)} \le \sum_{p > x} p^{-2} </math>이므로 <math> \sum_{p > x} \sum_{k \ge 2}\frac{1}{kp^k}=O\left( \sum_{p > x} p^{-2} \right)=O\left( \frac 1 {\log x}\right)</math>이다. 따라서 <div align=center><math>\begin{aligned}\log \prod_{p \le x}\left( 1- \frac 1 p \right) &= - \log \log x +O\left(\frac 1 {\log x}\right)- C_0 - C_1 \end{aligned}</math></div> 이고, 양변에 exp를 취하면 증명이 끝난다. === Lemma 3. === 실-유한수열 <math>\{a_i \} \in [0,1]^n</math>을 생각하자. <math>\sigma_k =\sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n} a_{i _1}\cdots a_{i _k}</math>를 <math>k</math>-번째 [[대칭 합|symmetric sum]]이라고 하자. 그러면 모든 홀수 <math>k</math>와 짝수 <math>l</math>에 대하여 다음이 성립한다: <div align = center><math> 1-\sigma _1 + \sigma _2 - \cdots - \sigma_k \le \prod_{j=1}^n (1-a_j) \le 1-\sigma _1 + \sigma _2 - \cdots + \sigma_l</math></div> <hr/> ''Proof.'' <math>n</math>에 대하여 귀납법을 사용한다. <math>n=1</math>이면 <math>1-\sigma_1 = 1-a_1 \le 1</math>이므로 OK. <math>n=m</math>일 때 참이라 가정하자. <math>n=m</math>일 때의 symmetric sum을 <math>\sigma_k</math>, <math>n=m+1</math>일 때의 symmetric sum을 <math>\sigma_k^*</math>로 표기하면 정의에 의하여 <div align=center> <math>\begin{aligned}\sigma_k^* &= \sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k \le m+1} a_{i _1}\cdots a_{i _k} \\ &= \sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k < m+1} a_{i _1}\cdots a_{i _k} + \sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k = m+1} a_{i _1}\cdots a_{i _k} \\ &= \sigma_k + a_{m+1}\sigma_{k-1} \qquad (\sigma_0 = 1, \, \sigma_{m+1} = 0)\end{aligned}</math></div> 이다. 따라서 <div align=center><math>\begin{aligned}& 1-\sigma_1^* + \sigma_2^* - \cdots - \sigma_k^* \\ \qquad & = \sigma_0 -(a_{m+1}\sigma_0 + \sigma_1) -(a_{m+1}\sigma_1 + \sigma_2)+\cdots-(\sigma_k +a_{m+1}\sigma_{k-1}) \\ \qquad &= (1- a_{m+1})(\sigma_0 - \sigma_1 +\sigma_2- \cdots + \sigma_{k-1}) - \sigma_k \\ \qquad &\le (1- a_{m+1})(\sigma_0 - \sigma_1 +\sigma_2- \cdots + \sigma_{k-1} - \sigma_k) \\ \qquad & \le \prod_{j=1}^{m+1} (1-a_j) \\ \qquad & \le (1- a_{m+1})(\sigma_0 - \sigma_1 +\sigma_2- \cdots - \sigma_{l-1}+ \sigma_l) \\ \qquad &\le (1- a_{m+1})(\sigma_0 - \sigma_1 +\sigma_2- \cdots - \sigma_{l-1})+ \sigma_l \\ \qquad &= \sigma_0 -(a_{m+1}\sigma_0 + \sigma_1) -(a_{m+1}\sigma_1 + \sigma_2)+\cdots+(\sigma_l +a_{m+1}\sigma_{l-1}) \\ \qquad &=1-\sigma_1^* + \sigma_2^* - \cdots+\sigma_l^* . \end{aligned} </math></div> ===Lemma 4. === <div align=center><math>\pi_2 (x) = O\left( \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\right)</math>.</div> <hr/> ''Proof.'' '''Brun's simple pure sieve'''를 이용한다. 일단 충분히 큰 <math>x</math>를 잡고 <math>y\le x</math>는 어떤 고정된(fixed) 수로 나중에 고르기로 하자. (즉, 어떠한 <math>y \le x</math>가 존재한다-식의 argument인 것이다.) 모든 <math>y</math> 이하의 홀수 소수 <math>p\le y</math>에 대하여 다음 집합을 정의하자: <div align=center><math>A_p = \{ n\le x: \; p|n \vee p|(n+2)\}.</math></div> <math>n> y</math>이고 <math>\exists p\le y: \; n\in A_p</math>이면 <math>n</math>이나 <math>n+2</math> 중 하나가 합성수임은 당연하다. 즉 <math>q\le x</math>이고 <math>q\in\mathbb P \wedge (q+2)\in \mathbb P</math>인 <math>q</math>는 <math>A_p</math>의 원소가 아니거나, 그 원소이더라도 <math>q</math> 자체가 <math>p</math>이면 된다. 전자의 경우의 수는 <math>x-\left| \bigcup_{p\le y} A_p \right|</math>를 넘지 못하고, 후자의 경우의 수는 <math>y</math>를 넘지 못하므로, 가능한 <math>q</math>의 수는 <math>x+y-\left| \bigcup_{p\le y} A_p \right|</math>를 넘지 못함을 알 수 있다. [[포함-배제 원리]]에 의하여, 모든 짝수 <math>l</math>에 대하여 다음이 성립한다: <div align=center><math>\left| \bigcup_{p\le y} A_p \right| \ge \sum_{p\le y} |A_p| - \sum_{p_1 < p_2 \le y}|A_{p_1} \cap A_{p_2}| + \cdots - \sum_{p_1 <\cdots < p_l \le y}\left| \bigcap_{i=1}^l A_{p_i} \right|.</math></div> 이제 <math>\left| \bigcap_{i=1}^j A_{p_i} \right|</math>을 계산해보자. [[중국인의 나머지 정리]]에 의하여, <math>p_1 p_2 \cdots p_j</math> 개의 연속된 수 안에는 정확히 <math>2^j</math> 개의 <math>n\in \bigcap_{i=1}^j A_{p_i}</math>가 있으므로(<math>n \equiv 0\mbox{ or }-2\mbox{ mod }p_i</math>) <div align=center><math>\left| \bigcap_{i=1}^j A_{p_i} \right|=2^j \cdot \frac{x}{p_1p_2 \cdots p_j} + \varepsilon(p_1, \cdots, p_j) = x \prod_{i=1}^j \frac{2}{p_i}+ \varepsilon(p_1, \cdots, p_j),</math></div> 여기에서 <math>|\varepsilon(p_1, \cdots, p_j) \le 2^j|</math>이다. 따라서, <math>\sigma_k</math>를 집합 <math>\left\{ \frac 2 p : \; p\le y\right\}</math>의 <math>k</math>-th symmetric sum이라고 하면, <div align=center><math>x- \left| \bigcup_{p\le y} A_p \right| \le x(1-\sigma_1 + \cdots + \sigma_l) + \sum \varepsilon</math></div> 이다. 여기서 오차항(error term) <math>\varepsilon</math>의 수는 <math>(y/2)^l</math> 개보다 적으므로, <math>\sum\varepsilon \le y^l</math>이다. Lemma 3.에 의하여, <div align=center><math>\begin{aligned} & x((1-\sigma_1 + \cdots - \sigma_{l-1}) + \sigma_l) + \sum \varepsilon \\& \le x\left( \prod_{p \le y} \left(1-\frac 2 p \right) + \sigma_l\right) + y^l \\&\le x\left( \prod_{p \le y} \left(1-\frac 1 p \right)^2 + \sigma_l\right) + y^l \end{aligned}</math></div> 이다. 이때 <div align=center><math>\sigma_l \le \frac 1 {l!} \left( \sum_{p\le y} \frac 2 p \right)^l \le \frac 1 {l!} (2e \log \log y)^l \le \left( \frac{2e^2 \log log x}{l}\right)^l</math></div> 이고, 또한 Lemma 2., 또는 {{ㅊ|거창하게}} Mertens' third theorem에 의하여, <div align=center><math> \pi_2 (x) \le y+x \left( \frac C {(\log y)^2} + \left(\frac{2e^2 \log \log x}{l}\right)^l \right) + y^l</math></div> 을 얻는다. 이때 <math>l \approx 4e^2 \log\log x</math>, <math>y=x^{1/(100 \log \log x)}</math>으로 잡으면 조건을 만족하며, <div align=center><math> \pi_2 (x) = O \left( \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2} \right)</math></div> 이다. === Brun's Theorem의 증명 === ''Proof of Brun's Theorem.'' <math>\pi_2 (x) < C_0 \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}< C \frac{x}{(\log x)^{3/2}}</math> for all <math>x\ge 2</math>이므로 <math>n = \pi_2(p_n) < C \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le C \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이다. 따라서 <math>\frac 1 {p_n} < \frac C {n(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이고, <div align=center><math>\sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) < C\left(\frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n}\right )< C\left(\frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}\right)<\infty</math></div> 으로 증명이 완료된다. == 브룬 상수의 값 == Brun 상수의 정확한 값은 '''알려진 바가 없다.''' 2002 년에 Pascal Sebah와 Patrick Demichel이 10<sup>16</sup> 정도까지의 소수의 역수의 합을 구하여 [[외삽법]]을 이용하여 추정한 Brun 상수의 값은 약 1.902160583104이다. Dominic Klyve은 [[확장된 리만 가설]]을 이용하여 <math>B_2 < 2.1754</math>임을 증명하였다. == 쌍둥이 소수 추측과의 관계 == 비록 Brun의 정리가 놀라운 결과이기는 하지만, 안타깝게도 쌍둥이 추측에는 '''거의 영향을 주지 못한다.''' 물론 쌍둥이 소수의 빈도가 갈수록 작아진다는 것을 보여주기는 하지만, 이것이 쌍둥이 소수 추측을 증명하거나 반증할 수 없다. {{--|수해라 일학자!}} == 참고문헌 == * Allison Berke. ''An Introduction to The Twin Prime Conjecture'' (2006). http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-104-seminar-in-analysis-applications-to-number-theory-fall-2006/projects/berke.pdf 에서 2016.01.19.에 확인. * [https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Brun's_constant Art of Problem Solving] * [http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html Wolfram MathWorld] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:-- (원본 보기) (준보호됨)틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)