분수계 미적분학 편집하기

'''분수계 미적분학'''(Fractional calculus) 또는 '''분수차 미적분학'''은 [[미적분학]]의 한 분야로, [[미분|미]][[적분]] 연산자의 [[자연수]], [[정수]]가 아닌 [[복소수]]-계(階) (또는 [[실수]]-계) 연산을 연구한다.

== 개요 ==
미분 연산자
<div align="center"><math>D_x=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math><ref>이 미분 연산자 표기는 [[오일러]]가 처음 쓴 것이다.</ref></div>
와 적분 연산자
<div align="center"><math>J_x=\int_0^x \cdot \; \mathrm dx</math><ref>D와 J는 각각 derivative (또는 differential), integration의 첫 글자이다. 단지 J는 I를 대신하여 쓰였으며, 이는 I가 주로 항등사상 (또는 연산; identity mapping)을 나타내기 때문이다. 이 이하로는 변수를 밝힐 필요가 없는 이상 첨자 x를 생략하기로 한다. </ref></div>
를 정의하고, 이하 <math>D\circ D=D^2</math>과 같이 나타내자.

=== 다항함수의 분수계 미분 ===
<math>f(x)=x^\alpha \; (\alpha\in\mathbb C)</math>를 분수계 미분해보자. 먼저 <math>\alpha, n</math>이 자연수일 때를 생각하면
<div align="center"><math>f=x^\alpha </math><br /><math> Df=\alpha x^{\alpha-1} </math><br /><math> D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} </math><br /><math> \vdots </math><br /><math> D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} </math></div>
임을 알 수 있다. 하지만 [[계승]](factorial)은 자연수와 0에서만 정의되므로, 이를 일반화할 필요가 있다. 일반적으로 계승을 일반화하는 함수는 [[감마 함수]](gamma function)이다. 보통 감마 함수의 정의로 오일러 적분을 사용하므로, 감마 함수 안에 들어가는 수는 실수부가 0보다 커야 한다. <math>n!=\Gamma(n+1) \; (n \in \mathbb N _0)</math><ref>N_0는 0을 포함한 자연수 집합이다.</ref>이므로 정리하면
<div align="center"><math> D^nf=\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha -n + 1)} x^{\alpha-n}\; (\alpha, n \in \mathbb C) </math> </div>
이 된다. <s>여러분은 이제 다항함수의 분수계 미분을 마쳤습니다!</s> 일례로 <math>f=x</math>의 1/2-계 도함수를 구해보자. 위에서 <math>\alpha=1, \; n=1/2</math>를 대입하면
<div align="center"><math> D^{1/2}x=\frac{\mathrm d^{1/2}x}{\mathrm dx^{1/2}}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(3/2)} x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2}</math></div>
이 된다. 이를 다시 수행하면 1이 될 것이다. 실제로 해 보면
<div align="center"><math>(D^{1/2})^2x=\frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}}\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)} x^{1/2-1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\sqrt \pi}{2!}x^{0}=1</math></div>
으로 예상이 맞음을 알 수 있다.

=== 함수의 분수계 적분 ===
<div align="center"><math> Jf(x)=\int_0 ^x f\;\mathrm dx </math><br /><math> J^2f(x)=\int_0 ^x \left(\int_0 ^t f(t)\;\mathrm dt\right)\mathrm dx </math><br /><math> \vdots </math><br /><math>{J^n}{f(x)}=\int_0 ^x {\left( \int_0 ^{x_1} {\left( \cdots {\left( \int_0 ^{x_{n-1}} f(x_{n-1}) \; {\mathrm d}{x_{n-1}} \right)} \cdots \right)} {\mathrm d}{x_1} \right)} \mathrm dx </math></div>
위와 같은 방법으로 이렇게 진행할 수 있다. 이때 [[코시의 반복 적분 공식]](Cauchy formula for repeated integration)을 쓰면 
<div align="center"><math> J^nf = \frac{1}{(n-1)!}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt </math></div>
임을 이끌어낼 수 있다. 여기서 <math>n</math>을 복소수 범위로 확장하면 
<div align="center"><math> J^nf = \frac{1}{\Gamma(n)}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt </math></div>
이고, 이는 다음을 보면 잘 정의되어 있다(well-defined)는 것을 알 수 있다:

<blockquote class="toccolours" style="float:none; padding: 10px 15px 10px 15px; display:table; width:100%">'''Theorem.''' <math> J^\alpha J^\beta f= J^\beta J^\alpha f= J^{(\alpha + \beta)}f</math> (<math>\operatorname{Re}(\alpha), \operatorname{Re}(\beta)>0</math>) <br/>&nbsp;<br/> ''Proof.'' <br/> 
<div align="center"><math>\begin{align}
J^\alpha J^\beta f &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}(J^\beta f)(t)\;\mathrm dt \\ 
 &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{t=0}^{t=x} \int_{s=0} ^{s=t} (x-t)^{\alpha-1}(t-s)^{\beta-1}f(s)\; \mathrm ds\;\mathrm dt  \\ 
 &=  \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{s=0}^{s=x} f(s)\int_{t=s} ^{t=x} (x-t)^{\alpha-1}(t-s)^{\beta-1}\; \mathrm dt\;\mathrm ds 
\end{align}</math><ref>두 번째 식과 세 번째 식의 적분 구간을 유심히 볼 것. t∈[0, x]일 때 s∈[0, t]라 하면 s∈[0, x]이면 s≤t≤x에서 t∈[s, x]이다.</ref></div><br/> <math>u=\frac{t-s}{x-s}</math>라 하면 <div align="center"><math>J^\alpha J^\beta f=  \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{s=0}^{s=x} f(s) (x-s)^{\alpha+\beta - 1} \left(\int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du\right)\mathrm ds </math></div>이고, 중간 적분을 계산하면<div align="center"><math>\int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du = B(\alpha, \beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}</math></div>이다. ([[베타 함수]]) 따라서 증명이 완료된다. □ </blockquote>

=== 라플라스 변환 ===
{{빈 문단}}

{{각주}}
[[분류:미적분학]]