로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''분수계 미적분학'''(Fractional calculus) 또는 '''분수차 미적분학'''은 [[미적분학]]의 한 분야로, [[미분|미]][[적분]] 연산자의 [[자연수]], [[정수]]가 아닌 [[복소수]]-계(階) (또는 [[실수]]-계) 연산을 연구한다. == 개요 == 미분 연산자 <div align="center"><math>D_x=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math><ref>이 미분 연산자 표기는 [[오일러]]가 처음 쓴 것이다.</ref></div> 와 적분 연산자 <div align="center"><math>J_x=\int_0^x \cdot \; \mathrm dx</math><ref>D와 J는 각각 derivative (또는 differential), integration의 첫 글자이다. 단지 J는 I를 대신하여 쓰였으며, 이는 I가 주로 항등사상 (또는 연산; identity mapping)을 나타내기 때문이다. 이 이하로는 변수를 밝힐 필요가 없는 이상 첨자 x를 생략하기로 한다. </ref></div> 를 정의하고, 이하 <math>D\circ D=D^2</math>과 같이 나타내자. === 다항함수의 분수계 미분 === <math>f(x)=x^\alpha \; (\alpha\in\mathbb C)</math>를 분수계 미분해보자. 먼저 <math>\alpha, n</math>이 자연수일 때를 생각하면 <div align="center"><math>f=x^\alpha </math><br /><math> Df=\alpha x^{\alpha-1} </math><br /><math> D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} </math><br /><math> \vdots </math><br /><math> D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} </math></div> 임을 알 수 있다. 하지만 [[계승]](factorial)은 자연수와 0에서만 정의되므로, 이를 일반화할 필요가 있다. 일반적으로 계승을 일반화하는 함수는 [[감마 함수]](gamma function)이다. 보통 감마 함수의 정의로 오일러 적분을 사용하므로, 감마 함수 안에 들어가는 수는 실수부가 0보다 커야 한다. <math>n!=\Gamma(n+1) \; (n \in \mathbb N _0)</math><ref>N_0는 0을 포함한 자연수 집합이다.</ref>이므로 정리하면 <div align="center"><math> D^nf=\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha -n + 1)} x^{\alpha-n}\; (\alpha, n \in \mathbb C) </math> </div> 이 된다. <s>여러분은 이제 다항함수의 분수계 미분을 마쳤습니다!</s> 일례로 <math>f=x</math>의 1/2-계 도함수를 구해보자. 위에서 <math>\alpha=1, \; n=1/2</math>를 대입하면 <div align="center"><math> D^{1/2}x=\frac{\mathrm d^{1/2}x}{\mathrm dx^{1/2}}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(3/2)} x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2}</math></div> 이 된다. 이를 다시 수행하면 1이 될 것이다. 실제로 해 보면 <div align="center"><math>(D^{1/2})^2x=\frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}}\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)} x^{1/2-1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\sqrt \pi}{2!}x^{0}=1</math></div> 으로 예상이 맞음을 알 수 있다. === 함수의 분수계 적분 === <div align="center"><math> Jf(x)=\int_0 ^x f\;\mathrm dx </math><br /><math> J^2f(x)=\int_0 ^x \left(\int_0 ^t f(t)\;\mathrm dt\right)\mathrm dx </math><br /><math> \vdots </math><br /><math>{J^n}{f(x)}=\int_0 ^x {\left( \int_0 ^{x_1} {\left( \cdots {\left( \int_0 ^{x_{n-1}} f(x_{n-1}) \; {\mathrm d}{x_{n-1}} \right)} \cdots \right)} {\mathrm d}{x_1} \right)} \mathrm dx </math></div> 위와 같은 방법으로 이렇게 진행할 수 있다. 이때 [[코시의 반복 적분 공식]](Cauchy formula for repeated integration)을 쓰면 <div align="center"><math> J^nf = \frac{1}{(n-1)!}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt </math></div> 임을 이끌어낼 수 있다. 여기서 <math>n</math>을 복소수 범위로 확장하면 <div align="center"><math> J^nf = \frac{1}{\Gamma(n)}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt </math></div> 이고, 이는 다음을 보면 잘 정의되어 있다(well-defined)는 것을 알 수 있다: <blockquote class="toccolours" style="float:none; padding: 10px 15px 10px 15px; display:table; width:100%">'''Theorem.''' <math> J^\alpha J^\beta f= J^\beta J^\alpha f= J^{(\alpha + \beta)}f</math> (<math>\operatorname{Re}(\alpha), \operatorname{Re}(\beta)>0</math>) <br /> <br /> ''Proof.'' <br /> <div align="center"><math>\begin{align} J^\alpha J^\beta f &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}(J^\beta f)(t)\;\mathrm dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{t=0}^{t=x} \int_{s=0} ^{s=t} (x-t)^{\alpha-1}(t-s)^{\beta-1}f(s)\; \mathrm ds\;\mathrm dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{s=0}^{s=x} f(s)\int_{t=s} ^{t=x} (x-t)^{\alpha-1}(t-s)^{\beta-1}\; \mathrm dt\;\mathrm ds \end{align}</math><ref>두 번째 식과 세 번째 식의 적분 구간을 유심히 볼 것. t∈[0, x]일 때 s∈[0, t]라 하면 s∈[0, x]이면 s≤t≤x에서 t∈[s, x]이다.</ref></div><br /> <math>u=\frac{t-s}{x-s}</math>라 하면 <div align="center"><math>J^\alpha J^\beta f= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{s=0}^{s=x} f(s) (x-s)^{\alpha+\beta - 1} \left(\int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du\right)\mathrm ds </math></div>이고, 중간 적분을 계산하면<div align="center"><math>\int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du = B(\alpha, \beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}</math></div>이다. ([[베타 함수]]) 따라서 증명이 완료된다. □ </blockquote> === 라플라스 변환 === {{빈 문단}} {{각주}} [[분류:미적분학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:빈 문단 (원본 보기) (준보호됨)