편집을 취소할 수 있습니다. 이 편집을 되돌리려면 아래의 바뀐 내용을 확인한 후 게시해주세요.
| 최신판 | 당신의 편집 | ||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
{{학술 관련 정보}} | |||
[[선형대수학]]의 주인공. | [[선형대수학]]의 주인공. | ||
== | ==소개== | ||
(3차원 벡터공간에 대한 설명을 기반으로 한 직관의 설명 [[추가바람]]) | |||
고등학교때 배웠던 [[벡터]]의 정의가 확장된 것이다. | |||
[[어떤 마술의 금서목록]]의 등장인물인 엑셀러레이터의 초능력이 이 벡터공간의 원소인 벡터를 마음대로 다루는 것이다. | |||
== 정의 == | == 정의 == | ||
| 16번째 줄: | 16번째 줄: | ||
정의를 완전히 풀어 쓰면 다음과 같다. | 정의를 완전히 풀어 쓰면 다음과 같다. | ||
# ''V''는 덧셈에 대해 닫혀 있을 것. 즉, 모든 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 '''v'''+'''w'''∈''V''. | # ''V''는 덧셈에 대해 닫혀 있을 것. 즉, 모든 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 '''v'''+'''w'''∈''V''. | ||
# ''V''는 ''K''상수곱에 대해 닫혀 있을 것. 모든 '''v'''∈''V''와 ''a''∈''K''에 대해 ''a'''''v'''∈''V''.<ref>사실 1번 및 2번 공리는 “''V'' '''위에''' 정의되어 있다”는 말에 포함되는데, 이런 추상적인 정의를 처음 배우는 점을 고려하여 공리에 포함하는 책이 많다. 덕분에 공리가 10개나 되어 더 압박스러운 점이 문제라면 문제.</ref> | # ''V''는 ''K''상수곱에 대해 닫혀 있을 것. 모든 '''v'''∈''V''와 ''a''∈''K''에 대해 ''a'''''v'''∈''V''.<ref>사실 1번 및 2번 공리는 “''V'' '''위에''' 정의되어 있다”는 말에 포함되는데, 이런 추상적인 정의를 처음 배우는 점을 고려하여 공리에 포함하는 책이 많다. 덕분에 공리가 10개나 되어 더 압박스러운 점이 문제라면 문제.</ref> | ||
| 26번째 줄: | 27번째 줄: | ||
# (벡터의 덧셈에 대한 상수곱의 [[분배법칙]]) 모든 ''a''∈''K''와 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 ''a''('''v'''+'''w''')=''a'''''v'''+''a'''''w'''. | # (벡터의 덧셈에 대한 상수곱의 [[분배법칙]]) 모든 ''a''∈''K''와 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 ''a''('''v'''+'''w''')=''a'''''v'''+''a'''''w'''. | ||
# (스칼라의 덧셈에 대한 상수곱의 분배법칙) 모든 ''a'', ''b''∈''K''와 '''v'''∈''V''에 대해 (''a''+''b'')'''v'''=''a'''''v'''+''b'''''v'''. | # (스칼라의 덧셈에 대한 상수곱의 분배법칙) 모든 ''a'', ''b''∈''K''와 '''v'''∈''V''에 대해 (''a''+''b'')'''v'''=''a'''''v'''+''b'''''v'''. | ||
# (스칼라의 곱셈과 상수곱의 compatibility) 모든 ''a'', ''b''∈''K''와 '''v'''∈''V''에 대해 (''ab'')'''v'''=''a''(''b'''''v'''). | # (스칼라의 곱셈과 상수곱의 compatibility) 모든 ''a'', ''b''∈''K''와 '''v'''∈''V''에 대해 (''ab'')'''v'''=''a''(''b'''''v'''). | ||
# (항등원의 곱셈) ''K''의 곱셈의 항등원 1과 모든 '''v'''∈''V''에 대해 1'''v'''='''v'''.<ref>“모든 '''v'''∈''V''에 대해 1'''v'''='''v'''인 1이 ''K''에 존재한다.”라고 착각하는 사람이 간혹 있는데, 전혀 다른 의미이다. 그런 조건이 아니다. | # (항등원의 곱셈) ''K''의 곱셈의 항등원 1과 모든 '''v'''∈''V''에 대해 1'''v'''='''v'''.<ref>“모든 '''v'''∈''V''에 대해 1'''v'''='''v'''인 1이 ''K''에 존재한다.”라고 착각하는 사람이 간혹 있는데, 전혀 다른 의미이다. 그런 조건이 아니다. 큰일난다.</ref> | ||
직관적으로 말해, 원소들 간의 덧셈·뺄셈과 원소의 | 직관적으로 말해, 원소들 간의 덧셈·뺄셈과 원소의 확대·축소가 가능한 집합을 말한다. | ||
[[대수학]]을 좀 더 배우면 위의 열 줄이 ‘벡터공간은 [[체]](field) 위의 [[가군]](module)’이라는 말 한 마디로 끝난다.<ref>Hungerford 대수학 등에서는 [[환 (수학)|나눗셈환(division ring)]] 위의 가군을 벡터공간이라고 하기도 한다. 즉, 스칼라 ''a'', ''b''에 대해 ''ab''=''ba''일 필요는 없다고 생각한다.</ref> 벡터공간은 free ''K''가군이다. | [[대수학]]을 좀 더 배우면 위의 열 줄이 ‘벡터공간은 [[체]](field) 위의 [[가군]](module)’이라는 말 한 마디로 끝난다.<ref>Hungerford 대수학 등에서는 [[환 (수학)|나눗셈환(division ring)]] 위의 가군을 벡터공간이라고 하기도 한다. 즉, 스칼라 ''a'', ''b''에 대해 ''ab''=''ba''일 필요는 없다고 생각한다.</ref> 벡터공간은 free ''K''가군이다. | ||
| 41번째 줄: | 41번째 줄: | ||
그 밖에 다음과 같은 것도 벡터공간이다. | 그 밖에 다음과 같은 것도 벡터공간이다. | ||
* 체 ''K'' 위의 ''m''×''n'' [[행렬]]의 집합 ''M''<sub>''m'',''n''</sub>(''K'')는 ''K''벡터공간. | * 체 ''K'' 위의 ''m''×''n'' [[행렬 (수학)|행렬(matrix)]]의 집합 ''M''<sub>''m'',''n''</sub>(''K'')는 ''K''벡터공간. | ||
* 체 ''K'' 위의 일변수 ''n''차 [[다항식]]의 집합 '''P'''<sub>''n''</sub>(''K'')[''t'']는 ''K''벡터공간. | * 체 ''K'' 위의 일변수 ''n''차 [[다항식|다항식(polynomial)]]의 집합 '''P'''<sub>''n''</sub>(''K'')[''t'']는 ''K''벡터공간. | ||
* 체 ''K'' 위의 일변수 다항식의 집합 ''K''[''t'']는 ''K''벡터공간. | * 체 ''K'' 위의 일변수 다항식의 집합 ''K''[''t'']는 ''K''벡터공간. | ||
* [[실수]]에서 [[실수]]로 가는 모든 함수(혹은 모든 연속함수, 모든 미분가능함수, 모든 일급함수, …)의 집합은 <math>\mathbb R</math>벡터공간. | * [[실수]]에서 [[실수]]로 가는 모든 함수(혹은 모든 연속함수, 모든 미분가능함수, 모든 일급함수, …)의 집합은 <math>\mathbb R</math>벡터공간. | ||
| 54번째 줄: | 54번째 줄: | ||
== 성질 == | == 성질 == | ||
* 0∈''K''와 모든 '''v'''∈''V''에 대해 0'''v'''='''0'''이다.<ref>이렇게 스칼라 0∈''K''와 구분하려고 영벡터 '''0'''은 굵은 글꼴로 적은 것이다. 물론 영공간(zero space) 0={'''0'''}도 있고, 대수학을 배우다 보면 훨씬 더 많은 0이 나오므로 이들을 매번 글꼴로 구분하려면 글꼴이 남아나지 않고, 앞서 보았듯 ''V''의 원소 외에도 선형사상 등 많은 것을 벡터로 취급할 수 있으므로 스칼라와 벡터의 구분이 항상 명확한 것도 아니다. 그래서 심각한 책에서는 그냥 0으로 적는 경우가 많으나, 이 항목에서는 벡터공간이 대수학의 가장 기초적인 내용임을 고려해 스칼라와 벡터를 구분해 혼동의 여지를 최소화했다.</ref> | * 0∈''K''와 모든 '''v'''∈''V''에 대해 0'''v'''='''0'''이다.<ref>이렇게 스칼라 0∈''K''와 구분하려고 영벡터 '''0'''은 굵은 글꼴로 적은 것이다. 물론 영공간(zero space) 0={'''0'''}도 있고, 대수학을 배우다 보면 훨씬 더 많은 0이 나오므로 이들을 매번 글꼴로 구분하려면 글꼴이 남아나지 않고, 앞서 보았듯 ''V''의 원소 외에도 선형사상 등 많은 것을 벡터로 취급할 수 있으므로 스칼라와 벡터의 구분이 항상 명확한 것도 아니다. 그래서 심각한 책에서는 그냥 0으로 적는 경우가 많으나, 이 항목에서는 벡터공간이 대수학의 가장 기초적인 내용임을 고려해 스칼라와 벡터를 구분해 혼동의 여지를 최소화했다.</ref> | ||
* ''a'', ''b''∈''K''이고 '''v''', '''w'''∈''V''일 때, ''a'''''v'''+''b'''''w'''∈''V''이다. | * ''a'', ''b''∈''K''이고 '''v''', '''w'''∈''V''일 때, ''a'''''v'''+''b'''''w'''∈''V''이다. | ||
: 따라서 수학적 귀납법에 의해, ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub>∈''K''이고 '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>∈''V''에 대해 <math>\sum_{i=1}^n a_i \mathbf v_i \in V</math>임을 알 수 있다. 이런 꼴을 '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>의 '''일차결합(linear combination)'''이라고 한다. | : 따라서 수학적 귀납법에 의해, ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub>∈''K''이고 '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>∈''V''에 대해 <math>\sum_{i=1}^n a_i \mathbf v_i \in V</math>임을 알 수 있다. 이런 꼴을 '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>의 '''일차결합(linear combination)'''이라고 한다. | ||
== 부분공간 == | == 부분공간(Subspace) == | ||
''K''벡터공간 ''V''의 부분집합 ''W''가 ''V''로부터 물려받은 연산에 관하여 다시 ''K''벡터공간이 되면, ''W''를 ''V''의 '''부분공간(subspace)'''이라 하고, <math>W \leq V</math>라 적는다. 혼동의 여지가 있으면 '''''K''부분공간(''K''‐subspace)'''이라 하기도 하고, <math>W \leq_K V</math>로 적기도 한다. | ''K''벡터공간 ''V''의 부분집합 ''W''가 ''V''로부터 물려받은 연산에 관하여 다시 ''K''벡터공간이 되면, ''W''를 ''V''의 '''부분공간(subspace)'''이라 하고, <math>W \leq V</math>라 적는다. 혼동의 여지가 있으면 '''''K''부분공간(''K''‐subspace)'''이라 하기도 하고, <math>W \leq_K V</math>로 적기도 한다. | ||
| 69번째 줄: | 71번째 줄: | ||
위 부분공간의 정의는 ''W''가 덧셈과 상수곱에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다.<ref>'''0'''∈''W''인지 확인할 필요는 없다. 이걸 동치조건에 넣고 있는 책은 수준이 의심스럽다.</ref> 아예 처음부터 이 동치조건을 이용해 부분공간을 정의하기도 한다. | 위 부분공간의 정의는 ''W''가 덧셈과 상수곱에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다.<ref>'''0'''∈''W''인지 확인할 필요는 없다. 이걸 동치조건에 넣고 있는 책은 수준이 의심스럽다.</ref> 아예 처음부터 이 동치조건을 이용해 부분공간을 정의하기도 한다. | ||
''S''가 ''V''의 부분집합일 때, ''S''를 포함하는 ''V''의 가장 작은(최소의, smallest) 부분공간을 '''''S''가 생성하는 부분공간(subspace generated by ''S'')'''이라 하고, <math>\langle S \rangle</math>로 적는다. 최소(Smallest)가 아니고 극소(minimal)로 정의하기도 하는데, 최소로 정의하면 존재성이, 극소로 정의하면 유일성이 | |||
''S''가 ''V''의 부분집합일 때, ''S''를 포함하는 ''V''의 가장 작은(최소의, smallest) 부분공간을 '''''S''가 생성하는 부분공간(subspace generated by ''S'')'''이라 하고, <math>\langle S \rangle</math>로 적는다. 최소(Smallest)가 아니고 극소(minimal)로 정의하기도 하는데, 최소로 정의하면 존재성이, 극소로 정의하면 유일성이 문제되나…… | |||
이러한 부분공간 <math>\langle S \rangle</math>의 존재성과 유일성은 <math>\langle S \rangle = \bigcap_{S \subseteq W \leq V} W</math>를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분공간의 교집합이 다시 부분공간인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. | 이러한 부분공간 <math>\langle S \rangle</math>의 존재성과 유일성은 <math>\langle S \rangle = \bigcap_{S \subseteq W \leq V} W</math>를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분공간의 교집합이 다시 부분공간인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. | ||
| 75번째 줄: | 78번째 줄: | ||
실제로 <math>\langle S \rangle</math>를 계산하려면 <math>\langle S \rangle = \{</math>''S''의 모든 원소의 일차결합<math>\}</math>임을 증명하여야 한다. 이는 ''S''⊆''W''≤''V''일 때마다 ''W''에는 ''S''의 모든 원소의 일차결합이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분공간 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다. | 실제로 <math>\langle S \rangle</math>를 계산하려면 <math>\langle S \rangle = \{</math>''S''의 모든 원소의 일차결합<math>\}</math>임을 증명하여야 한다. 이는 ''S''⊆''W''≤''V''일 때마다 ''W''에는 ''S''의 모든 원소의 일차결합이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분공간 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다. | ||
아예 처음부터 위 정리를 이용하여 <math>\langle S \rangle</math>는 ''S''의 모든 원소의 일차결합을 모아 놓은 집합이라고 정의하는 책도 있다. 이렇게 정의한 뒤 그 결과가 부분공간이 됨을 보이는 것은 | 아예 처음부터 위 정리를 이용하여 <math>\langle S \rangle</math>는 ''S''의 모든 원소의 일차결합을 모아 놓은 집합이라고 정의하는 책도 있다. 이렇게 정의한 뒤 그 결과가 부분공간이 됨을 보이는 것은 매우매우 쉽기 때문이다. | ||
== | == [[기저|기저(Basis)]]와 차원(Dimension) == | ||
== 선형사상(Linear transformation) == | |||
== | |||
== 고윳값과 고유공간분해 == | == 고윳값과 고유공간분해 == | ||
| 90번째 줄: | 89번째 줄: | ||
== 몫공간 == | == 몫공간 == | ||
{{주석}} | {{주석}} | ||
[[분류:선형대수학]] | [[분류:선형대수학]] | ||
[[분류:추상대수학]] | [[분류:추상대수학]] | ||