벡터공간 편집하기




[[선형대수학]]의 주인공.

== 개요 ==
<!-- 3차원 벡터공간에 대한 설명을 기반으로 한 직관의 설명 [[추가바람]] -->


고등학교 때 배웠던 [[벡터]]의 정의 - 크기와 방향을 가진 개체<ref>물론 크기를 정의하려면 [[내적]] 연산이 필요하다. [[벡터공간#내적공간|아래]] 참조.</ref> - 를 확장한 것이라 생각해도 좋다.

{{--|[[어떤 마술의 금서목록]]의 등장인물인 [[엑셀러레이터]]의 초능력이 이 벡터공간의 원소인 벡터를 마음대로 다루는 것이다.}}

== 정의 ==
''K''가 체(field)일 때, 집합 ''V'' 위에 두 연산 덧셈 +와 ''K''상수곱(''K''스칼라곱)이 정의되어 있어서 다음 10가지 공리를 만족하면,<br /> (''V'', +, ''K''상수곱)의 triple을 '''''K''벡터공간(''K''‐vector space)''' 혹은 혼동의 여지가 없으면 그냥 벡터공간이라고 한다.

정의를 완전히 풀어 쓰면 다음과 같다.

# ''V''는 덧셈에 대해 닫혀 있을 것. 즉, 모든 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 '''v'''+'''w'''∈''V''.
# ''V''는 ''K''상수곱에 대해 닫혀 있을 것. 모든 '''v'''∈''V''와 ''a''∈''K''에 대해 ''a'''''v'''∈''V''.<ref>사실 1번 및 2번 공리는 “''V'' '''위에''' 정의되어 있다”는 말에 포함되는데, 이런 추상적인 정의를 처음 배우는 점을 고려하여 공리에 포함하는 책이 많다. 덕분에 공리가 10개나 되어 더 압박스러운 점이 문제라면 문제.</ref>
# (덧셈의 [[결합법칙]]) 모든 '''u''', '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 ('''u'''+'''v''')+'''w'''='''u'''+('''v'''+'''w''').
# (덧셈의 [[항등원]]) 적당한 '''0'''∈''V''가 있어서 모든 '''v'''∈''V''에 대해 '''v'''+'''0'''='''0'''+'''v'''='''v'''.<ref>어차피 [[교환법칙]]이 성립하므로 한쪽만 있으면 되긴 하는데, 즉 '''v'''+'''0'''='''v'''만 남겨도 되긴 하는데, 교환법칙은 없어도 항등원은 있는 경우는 엄청 많으므로(사실 결합법칙조차 없어도 된다. [[항등원]] 항목 참조) 심각한 책에서는 꼭 이렇게 적는다.</ref>
#* 항등원은 존재하면 유일하므로<ref>'''0'''′도 덧셈의 항등원이면 '''0''' = '''0'''+'''0'''′ = '''0'''′이므로 유일하다. 왼쪽 등호는 항등원 '''0'''′의 정의, 오른쪽 등호는 항등원 '''0'''의 정의이다.</ref>, 이 원소를 그냥 '''0'''으로 적고, '''영벡터(zero vector)'''라 부른다. 혼동의 여지가 있을 때는 '''0'''<sub>''V''</sub>로 적기도 한다.
# (덧셈의 [[역원]]) 모든 '''v'''∈''V''에 대해 적당한 '''w'''∈''V''가 있어서 '''v'''+'''w'''='''w'''+'''v'''=0.<ref>앞의 항등원 공리와 비교하여 ‘모든’과 ‘적당한’의 순서가 바뀌었음을 확인해야 한다. 이거 헷갈리기 시작하면 다 망한다.</ref>
#* 역원은 존재하면 유일하므로 <ref>'''u'''도 '''v'''의 역원이면 '''u''' = '''u'''+'''0''' = '''u'''+('''v'''+'''w''') = ('''u'''+'''v''')+'''w''' = '''0'''+'''w''' = '''w'''이므로 유일하다. 가운데 등호는 결합법칙이고, 나머지는 항등원과 역원의 정의이다.</ref> 이 원소를 그냥 −'''v'''로 적는다.
# (덧셈의 [[교환법칙]]) 모든 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 '''v'''+'''w'''='''w'''+'''v'''.
# (벡터의 덧셈에 대한 상수곱의 [[분배법칙]]) 모든 ''a''∈''K''와 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 ''a''('''v'''+'''w''')=''a'''''v'''+''a'''''w'''.
# (스칼라의 덧셈에 대한 상수곱의 분배법칙) 모든 ''a'', ''b''∈''K''와 '''v'''∈''V''에 대해 (''a''+''b'')'''v'''=''a'''''v'''+''b'''''v'''.
#* 7, 8을 합쳐 (''a''+''b'')('''u'''+'''v''')=''a'''''u'''+''b'''''u'''+''a'''''v'''+''b'''''v'''라 하기도 한다.

# (스칼라의 곱셈과 상수곱의 compatibility) 모든 ''a'', ''b''∈''K''와 '''v'''∈''V''에 대해 (''ab'')'''v'''=''a''(''b'''''v''').
# (항등원의 곱셈) ''K''의 곱셈의 항등원 1과 모든 '''v'''∈''V''에 대해 1'''v'''='''v'''.<ref>“모든 '''v'''∈''V''에 대해 1'''v'''='''v'''인 1이 ''K''에 존재한다.”라고 착각하는 사람이 간혹 있는데, 전혀 다른 의미이다. 그런 조건이 아니다. '''큰일난다.'''</ref>

직관적으로 말해, 원소들 간의 덧셈·뺄셈과 원소의 확대·축소(상수배)가 가능한 집합을 말한다.

[[대수학]]을 좀 더 배우면 위의 열 줄이 ‘벡터공간은 [[체]](field) 위의 [[가군]](module)’이라는 말 한 마디로 끝난다.<ref>Hungerford 대수학 등에서는 [[환 (수학)|나눗셈환(division ring)]] 위의 가군을 벡터공간이라고 하기도 한다. 즉, 스칼라 ''a'', ''b''에 대해 ''ab''=''ba''일 필요는 없다고 생각한다.</ref> 벡터공간은 free ''K''가군이다.

벡터공간의 원소는 '''[[벡터 (수학)|벡터(vector)]]'''라고 한다.

== 예시 ==
가장 직관적인 예시는 순서쌍의 집합일 것이다. 즉,
* 체 ''K''의 ''n''‐tuple의 집합 ''K''<sup>''n''</sup>은 ''K''벡터공간. ''n''이 1이면 체 ''K'' 자체가 된다.

그 밖에 다음과 같은 것도 벡터공간이다.
* 체 ''K'' 위의 ''m''×''n'' [[행렬]]의 집합 ''M''<sub>''m'',''n''</sub>(''K'')는 ''K''벡터공간.
* 체 ''K'' 위의 일변수 ''n''차 [[다항식]]의 집합 '''P'''<sub>''n''</sub>(''K'')[''t'']는 ''K''벡터공간.
* 체 ''K'' 위의 일변수 다항식의 집합 ''K''[''t'']는 ''K''벡터공간.
* [[실수]]에서 [[실수]]로 가는 모든 함수(혹은 모든 연속함수, 모든 미분가능함수, 모든 일급함수, …)의 집합은 <math>\mathbb R</math>벡터공간.
* [[복소수|복소수체]] <math>\mathbb C</math>는 <math>\mathbb C</math>벡터공간이기도 하고, <math>\mathbb R</math>벡터공간이기도 하다.

선형대수학을 공부하다 보면 다음 예들도 만나게 되나, 지금 수준에선 전혀 이해할 수 없는 것들이다. 가끔 이 예시들을 벡터공간의 정의 바로 다음에 연습문제로 넣는 책이 있는데, 그런 책은 아주 나쁜 책이다.
* ''V''와 ''W''가 ''K''벡터공간일 때, ''V''에서 ''W''로 가는 선형사상(linear transformation)들의 집합 ''L''(''V'',''W'')은 ''K''벡터공간.
* ''V''가 ''K''벡터공간일 때, ''V''에서 ''K''로 가는 ''K''선형형식들의 집합 ''V''<sup>∗</sup>은 ''K''벡터공간. 이를 '''쌍대공간(dual space)'''이라 한다. 사실 앞의 선형사상공간의 한 예에 불과하다고 볼 수도 있으나, 매우 중요하다.
* ''V''가 ''K''벡터공간이고 ''W''가 ''V''의 부분공간(subspace)일 때, 잉여공간(coset space) ''V''/''W''는 ''K''벡터공간. 이를 '''몫공간(quotient space)'''이라 한다.

== 성질 ==
* 0∈''K''와 모든 '''v'''∈''V''에 대해 0'''v'''='''0'''이다.<ref>이렇게 스칼라 0∈''K''와 구분하려고 영벡터 '''0'''은 굵은 글꼴로 적은 것이다. 물론 영공간(zero space) 0={'''0'''}도 있고, 대수학을 배우다 보면 훨씬 더 많은 0이 나오므로 이들을 매번 글꼴로 구분하려면 글꼴이 남아나지 않고, 앞서 보았듯 ''V''의 원소 외에도 선형사상 등 많은 것을 벡터로 취급할 수 있으므로 스칼라와 벡터의 구분이 항상 명확한 것도 아니다. 그래서 심각한 책에서는 그냥 0으로 적는 경우가 많으나, 이 항목에서는 벡터공간이 대수학의 가장 기초적인 내용임을 고려해 스칼라와 벡터를 구분해 혼동의 여지를 최소화했다.</ref>
* ''a'', ''b''∈''K''이고 '''v''', '''w'''∈''V''일 때, ''a'''''v'''+''b'''''w'''∈''V''이다.
: 따라서 수학적 귀납법에 의해, ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub>∈''K''이고 '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>∈''V''에 대해 <math>\sum_{i=1}^n a_i \mathbf v_i \in V</math>임을 알 수 있다. 이런 꼴을 '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>의 '''일차결합(linear combination)'''이라고 한다.

== 부분공간 ==
''K''벡터공간 ''V''의 부분집합 ''W''가 ''V''로부터 물려받은 연산에 관하여 다시 ''K''벡터공간이 되면, ''W''를 ''V''의 '''부분공간(subspace)'''이라 하고, <math>W \leq V</math>라 적는다. 혼동의 여지가 있으면 '''''K''부분공간(''K''‐subspace)'''이라 하기도 하고, <math>W \leq_K V</math>로 적기도 한다.

부분공간의 예는 다음과 같다.
* ''K''벡터공간 ''K''<sup>''n''</sup>의 (연립)일차방정식의 해공간(solution space).
* <math>\mathbf P_n (K) [t] \leq K[t]</math>
* <math>\mathbb R \leq_\mathbb R \mathbb C</math>
* 부분공간의 부분공간은 부분공간이다. 즉, ''W''≤''V''이고 ''U''≤''W''이면 ''U''≤''V''(정의에 의해 자명하다).
* 부분공간의 교집합은 부분공간이다. 즉, ''U'', ''W''≤''V''이면 ''U''∩''W''≤''V''(이것도 정의에 의해 자명하다).

위 부분공간의 정의는 ''W''가 덧셈과 상수곱에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다.<ref>'''0'''∈''W''인지 확인할 필요는 없다. 이걸 동치조건에 넣고 있는 책은 수준이 의심스럽다.</ref> 아예 처음부터 이 동치조건을 이용해 부분공간을 정의하기도 한다.

''S''가 ''V''의 부분집합일 때, ''S''를 포함하는 ''V''의 가장 작은(최소의, smallest) 부분공간을 '''''S''가 생성하는 부분공간(subspace generated by ''S'')'''이라 하고, <math>\langle S \rangle</math>로 적는다. 최소(Smallest)가 아니고 극소(minimal)로 정의하기도 하는데, 최소로 정의하면 존재성이, 극소로 정의하면 유일성이 문제 되나……

이러한 부분공간 <math>\langle S \rangle</math>의 존재성과 유일성은 <math>\langle S \rangle = \bigcap_{S \subseteq W \leq V} W</math>를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분공간의 교집합이 다시 부분공간인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다.

실제로 <math>\langle S \rangle</math>를 계산하려면 <math>\langle S \rangle = \{</math>''S''의 모든 원소의 일차결합<math>\}</math>임을 증명하여야 한다. 이는 ''S''⊆''W''≤''V''일 때마다 ''W''에는 ''S''의 모든 원소의 일차결합이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분공간 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다.

아예 처음부터 위 정리를 이용하여 <math>\langle S \rangle</math>는 ''S''의 모든 원소의 일차결합을 모아 놓은 집합이라고 정의하는 책도 있다. 이렇게 정의한 뒤 그 결과가 부분공간이 됨을 보이는 것은 매우 매우 쉽기 때문이다.

== 기저와 차원 ==
만약 <math>V</math>를 생성하는 집합이 [[일차독립]](linear independent)이면, 이 집합을 <math>V</math>의 [[기저]](basis) <math>\mathfrak B</math>라고 한다. 벡터 공간의 기저가 유일하지는 않지만, (만약 존재한다면) 기저의 원소의 수는 항상 같다. 이를 벡터 공간의 [[차원 (선형대수학)|차원]](dimension) <math>\operatorname{dim}V=|\mathfrak B| (\in \operatorname{Card})</math>이라고 한다. [[선택 공리]]를 가정하지 않으면 모든 벡터 공간에 대하여 차원을 정의할 수 없기 때문에 잘 정의되지 않는다. 즉, 차원이 잘 정의되려면 선택 공리를 가정해야 한다.<ref>선택 공리와 동치인 명제 중 "모든 벡터 공간은 기저를 가진다."가 있다.</ref>

선택 공리를 가정하면 차원이 주어졌을 때, 모든 벡터 공간을 분류할 수 있다. Linear extension theorem에 의하면 차원이 같은 두 벡터 공간에 대하여 둘 사이의 isomorphism이 존재한다. 즉, 모든 <math>K</math>-벡터 공간 <math>V</math>은 <math>\oplus_{i=1}^{\operatorname{dim}V} K</math>와 같다. 즉 체 <math>K</math>를 그 차원만큼 [[직합]](direct sum)하면 그 벡터 공간과 isomorphic한 벡터 공간이 나온다. 이제 차원으로써 벡터 공간을 분류할 수 있음을 안다.

== 선형 사상 ==
체 <math>K</math>와 <math>K</math>-벡터 공간 <math>V, W</math>에 대하여, 합과 스칼라곱을 보존하는 사상 <math>L:V\to W</math>을 [[선형 사상]](선형 변환, linear map)이라 한다. 선형 사상들의 집합 <math>\mathfrak{L}(V, W)</math>은 벡터 공간을 이룬다.만약 <math>V, W</math>가 유한 차원 벡터 공간이며 기저가 주어져 있으면 선형 변환을 [[행렬]]로써 나타낼 수 있다. [[선형대수학의 기본 정리]]에 의하여 선형 변환은 행렬과 같은 것으로 취급할 수 있기 때문이다.

== 고윳값과 고유공간분해 ==

== 내적공간 ==

== 몫공간 ==

{{주석}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:추상대수학]]