벡터곱 편집하기

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[[분류:미적분학]]
'''벡터곱'''(vector product), '''크로스곱'''(cross product), 또는 '''벡터의 외적'''은 0, 1, 3, 7차원에서만 정의되는 벡터간의 이항연산이다. 벡터곱은 [[분배법칙]]이 성립하고 [[반대칭적]]이며, [[결합법칙]]이 성립하지 않는다. 기하학적으로 외적의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이를 뜻하며, 이를 강조하기 위하여 '''유향면적곱'''(directed area product)이라고도 한다.

[[방향 (벡터 공간)|방향이 정해진]] [[벡터 공간]]에서, 두 [[벡터]] <math>\mathbf u, \; \mathbf v</math>의 벡터곱은 <math>\mathbf u \times \mathbf v = \|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| \sin \theta \; \hat{\mathbf n} = \sqrt{\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\|  - \left< \mathbf u, \mathbf v\right>^2} \; \hat{\mathbf n}  </math>으로 정의된다. 이때, <math>\theta</math>는 두 벡터 사이의 각이고, <math>\hat{\mathbf n} </math>는 <math>\mathbf u, \; \mathbf v</math>에 수직인 [[단위벡터]] 중 [[오른손 법칙]]을 따르도록 결정된 것이다.

== 3차원에서의 벡터곱 ==
3차원 유클리드 공간에서, 두 벡터 '''u''', '''v'''의 '''벡터곱'''은 다음과 같다:
:<math>\mathbf u \times \mathbf v = \left|\begin{matrix}\mathbf e_1 &\mathbf e_2 &\mathbf e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{matrix} \right| =\left({\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}, \; {\begin{vmatrix}u_{3}&u_{1}\\v_{3}&v_{1}\end{vmatrix}}, \; {\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\right). </math>
증명은 단순 계산이므로 생략. 이에 따르면, 3차원 유클리드 공간의 [[표준기저]]의 벡터곱은
:<math>\mathbf e_1 \times \mathbf e_2 = -\mathbf e_2 \times \mathbf e_1 = \mathbf e_3,</math>
:<math>\mathbf e_2 \times \mathbf e_3 = -\mathbf e_3 \times \mathbf e_2 = \mathbf e_1,</math>
:<math>\mathbf e_3 \times \mathbf e_1 = -\mathbf e_1 \times \mathbf e_3 = \mathbf e_2</math>
가 된다.

=== 성질 ===
==== 기본적인 성질 ====
* [[반대칭적]](anti-symmetric, skew-symmetric): <math>\mathbf u \times \mathbf v = -\mathbf v \times \mathbf u.</math>
* [[교대성]](alternating): <math>\mathbf u \times \mathbf u = 0.</math> 특별한 경우(e.g., <math>\mathbb F_2</math>)가 아닌 이상, 교대성과 반대칭성은 같은 의미이다.
* [[분배법칙]]: <math>\mathbf u \times (\mathbf v+\mathbf w) =\mathbf u \times \mathbf v+\mathbf u \times \mathbf w.</math>
* [[스칼라곱]]과의 호환성: <math>(r\mathbf u) \times \mathbf v =r(\mathbf u \times \mathbf v)=\mathbf u\times(r \mathbf v)=r\mathbf u \times \mathbf v. </math>
* [[야코비 항등식]]: <math>\sum_{\text{cyc}}\mathbf u \times (\mathbf v \times \mathbf w) = \mathbf u \times (\mathbf v \times \mathbf w) +\mathbf v \times (\mathbf w \times \mathbf u)  + \mathbf w \times (\mathbf u \times \mathbf v)  = \mathbf 0.</math>
* [[결합법칙]]이 성립하지 '''않는다.'''
* [[소거법칙]](cancellation law)이 성립하지 '''않는다.''' 즉 <math>\mathbf u \times (\mathbf v - \mathbf w) = 0, \; \mathbf u \ne \mathbf 0</math>이라고 해도 <math>\mathbf v = \mathbf w</math>인 것이 아니다. 단지 <math>\mathbf u</math>와 <math>\mathbf{ v-w}</math>가 평행, 즉 <math>\exists t \in \mathbb R, \;\mathbf w = \mathbf v + t \mathbf u</math>를 말한다. 하지만 <math>\mathbf u \cdot (\mathbf v - \mathbf w) = 0</math>라는 조건이 더 주어지면 <math>\mathbf v = \mathbf w</math>이다.

==== 벡터곱의 크기: 평행사변형의 넓이 ====
벡터곱의 크기  <math>\|\mathbf u \times \mathbf v \| = \|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| \sin \theta</math>는 두 벡터의 시점을 일치시켰을 때 만들어지는 평행사변형(또는 선분)의 넓이를 의미한다. 비슷하게, 두 벡터가 만드는 삼각형의 넓이는 이의 절반인  <math>\frac 1 2 \|\mathbf u \times \mathbf v \|</math>가 된다. 이는 [[신발끈 정리]]와 같다. 단지 2차원 공간에서는 벡터곱이 정의되지 않으므로, <math>\mathbb R^2</math>를 <math>\mathbb R^3 </math>으로 embedding하여 넓이를 구한다. 임의의 다각형에 대해서는, 그 모두를 삼각형으로 쪼개어 구한다.

==== 스칼라 삼중적: 평행육면체의 넓이 ====
세 벡터 '''스칼라 삼중적'''(scalar triple product)은 다음과 같이 정의된다:
<math>  [\mathbf {uvw}] := \mathbf u \cdot \mathbf v \times \mathbf w = \mathbf u \cdot (\mathbf v \times \mathbf w) = \left|\begin{matrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{matrix} \right|  = | \mathbf u \; \mathbf v \; \mathbf w |=*({\mathbf  {a}}\wedge {\mathbf  {b}}\wedge {\mathbf  {c}}). </math>
이때, 첫 번째 식을 '''그라스만 기호'''(Graßmann symbol)라고 한다. 두 번째 식이 잘 정의되는 이유는, 연산 순서가 명확하기 때문이다. (앞의 스칼라곱을 먼저 계산하면 나머지 벡터곱을 계산할 수 없다.) 네 번째 식은 세 열벡터로 이루어진 행렬의 행렬식이며, 마지막 식은 세 벡터의 [[쐐기곱]]의 [[호지 별]](Hodge star)이다. 네 번째 식에서 알 수 있듯이, 이는 세 벡터가 이루는 [[평행육면체]]의 [[부피]]를 말한다.

==== 벡터곱과 일차변환 ====
3차 [[정방행렬]] <math>M</math>에 대하여, 다음이 성립한다:
:<math>(M\mathbf a)\times(M\mathbf b) = \operatorname{cof}\;M (\mathbf a \times \mathbf b) = |M| (M^{-1})^{\mathsf T} (\mathbf a \times \mathbf b).</math>
이때 cof는 [[여인자 행렬]]을 말한다. 특히, <math>M=R_\theta \in \mathbf {SO} (\mathbb R^3)</math>이면, determinant가 1이고 inverse의 transpose가 그 자신이므로 
:<math>(R_\theta\mathbf a)\times (R_\theta\mathbf b) = R_\theta(\mathbf a \times \mathbf b)</math>
이 성립한다.

==== 벡터곱과 영공간 ====
<math> \begin{pmatrix} \mathbf a ^ \mathsf T \\ \mathbf b ^ \mathsf T \end{pmatrix} (\mathbf a \times \mathbf b) = \begin{pmatrix} \mathbf a \cdot  (\mathbf a \times \mathbf b) \\ \mathbf b \cdot  (\mathbf a \times \mathbf b) \end{pmatrix} = \mathbf 0 </math>이므로,
:<math>\mathbf a \times \mathbf b \in \operatorname{ker}  \begin{pmatrix} \mathbf a ^ \mathsf T \\ \mathbf b ^ \mathsf T \end{pmatrix} </math>
이다.

== 7차원에서의 벡터곱 ==

우리는 3차원에서의 벡터곱이 [[사원수]]의 허수부의 곱셈과 관계가 깊다는 것을 알 수 있다. 편의상 사원수의 밑수(Basis)가 되는 환을 실수환 <math>\mathbb{R}</math>로 놓고 사원수 ''a'', ''b''를 다음과 같이 정의한다.

<math>a=a_0 + a_1 \mathbb{i} + a_2 \mathbb{j}+a_3\mathbb{k}, b=b_0+b_1\mathbb{i}+b_2\mathbb{j}+b_3\mathbb{k} </math>

여기서 사원수의 특정한 공식 <math>\mathbb{i}^2=\mathbb{j}^2 = \mathbb{k}^2 =-1, \mathbb{i}\mathbb{j}=-\mathbb{j}\mathbb{i}=\mathbb{k}, \mathbb{j}\mathbb{k}=-\mathbb{k}\mathbb{j}=\mathbb{i}, \mathbb{k}\mathbb{i}=-\mathbb{i}\mathbb{k}=\mathbb{j}</math>를 이용할 경우 

<math>ab =(a_0+a_1 \mathbb{i} + a_2 \mathbb{j} + a_3 \mathbb{k})(b_0+b_1 \mathbb{i}+b_2 \mathbb{j}+b_3\mathbb{k}) =a_0 b_0-(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)+(a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3-a_3b_2)\mathbb{i}</math><br /><math> +(a_0 b_2 +a_2 b_0+a_3 b_1 -a_1 b_3 )\mathbb{j}+ (a_0 b_3 + a_3 b_0 +a_1 b_2 -a_2 b_1)\mathbb{k} )</math>. 여기서 <math>a=a_0 + \mathbb{a} , b = b_0 + \mathbb{b}</math>로 허수부를 <math>\mathbb{i}, \mathbb{j}, \mathbb{k}</math>를 기저로 가지는 3차원 벡터 공간으로 간주해서 계산할 경우 <math>ab=(a_0 b_0-\mathbb{a}\cdot \mathbb{b})+ (a_0 \mathbb{b}+b_0 \mathbb{a}+a \times b)</math>로 표현된다.

마찬가지로 7차원의 벡터곱은 [[팔원수]]를 이용해서 유도할 수 있다. 일단 [[팔원수]]는 사원수에서 허수부를 4개 더 확장한 것으로 [[실수]]에서 복소수를 허수부 i를 이용해서 확장하는 연산 방식인 [[위키백과:케일리-딕슨 구성|케일리 딕슨 구성(Caylay-Dickson Construction)]]을 이용해서 얻을 수 있다. 구체적으로 얻는 방식은 아래를 참조하자.

{{숨김 시작|title=팔원수의 연산 방법}}

[[팔원수]]의 허수부의 곱셈표를를 이용하면 아래와 같다. 얼핏 보면 규칙이 복잡해보이지만, ''e''<sub>''i''</sub>들이 아래와 같은 조건을 만족한다는 것을 확인할 수 있다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
|+ 팔원수 곱셈표 <br />''ab'' =
|-
! '' a''╲''b'' || e<sub>1</sub> || e<sub>2</sub> || e<sub>3</sub> || e<sub>4</sub> || e<sub>5</sub> || e<sub>6</sub> || e<sub>7</sub>
|-
! e<sub>1</sub>
| −1 || +e<sub>4</sub> || +e<sub>7</sub> || −e<sub>2</sub> || +e<sub>6</sub> || −e<sub>5</sub> || −e<sub>3</sub>
|-
! e<sub>2</sub>
| −e<sub>4</sub> || −1 || +e<sub>5</sub> || +e<sub>1</sub> || −e<sub>3</sub> || +e<sub>7</sub> || −e<sub>6</sub>
|-
!  e<sub>3</sub>
| −e<sub>7</sub> || −e<sub>5</sub> || −1 || +e<sub>6</sub> || +e<sub>2</sub> || −e<sub>4</sub> || +e<sub>1</sub>
|-
! e<sub>4</sub>
| +e<sub>2</sub> || −e<sub>1</sub> || −e<sub>6</sub> || −1 || +e<sub>7</sub> || +e<sub>3</sub> || −e<sub>5</sub>
|-
! e<sub>5</sub>
| −e<sub>6</sub> || +e<sub>3</sub> || −e<sub>2</sub> || −e<sub>7</sub> || −1 || +e<sub>1</sub> || +e<sub>4</sub>
|-
! e<sub>6</sub>
| +e<sub>5</sub> || −e<sub>7</sub> || +e<sub>4</sub> || −e<sub>3</sub> || −e<sub>1</sub> || −1 || +e<sub>2</sub>
|-
! e<sub>7</sub>
| +e<sub>3</sub> || +e<sub>6</sub> || −e<sub>1</sub> || +e<sub>5</sub> || −e<sub>4</sub> || −e<sub>2</sub> || −1
|}

* ([[사원수]] 부분 대수() 만약 <math>e_ie_j=e_k</math>라면, <math>\{\pm1,\pm e_i,\pm e_j,\pm e_k\}</math>는 [[사원수군]]을 이룬다. 즉, <math>e_je_k=e_i</math>이며 <math>e_ke_i=e_j</math>이다.
* (첨자의 순환성) 만약 <math>e_ie_j=\pm e_k</math>라면, <math>e_{i+1}e_{j+1}=\pm e_{k+1}</math>
* (첨자 2배 항등식) 만약 <math>e_ie_j=\pm e_k</math>라면, <math>e_{2i}e_{2j}=\pm e_{2k}</math>

이제 차근차근 공식을 살펴보면 <math>e_1 e_2 =e_j</math>라고 놓을 때 <math>\{\pm 1, \pm e_1 , \pm e_2 ,\pm e_j \}</math>가 사원수 조건을 만족하면서 <math>e_2 e_4 =e_{2j}</math>를 만족해야 할 것이고, j=4인 경우 뿐이라는 것을 알 수 있다. 이제 첨자를 유한군 <math>\mathbb{Z}_7</math>의 원소처럼 생각하고, 순환성 성질을 이용하면 {i,j,k}가 {1,2,4}, {2,3,5}, {3,4,6}, {4,5,7}, {5,6,1}, {6,7,2}, {7,1,3}일 때 <math>\{\pm 1, \pm e_1 , \pm e_2 ,\pm e_j \}</math>가 사원수 조건을 만족한다고 유도할 수 있으며, 결과적으로 위와 같은 곱셈공식이 유도된다.

<ref>참조 : [[위키백과:팔원수]] 문서</ref>
{{숨김 끝}}

여하튼 위와 같이 곱셈이 정의될 때 팔원수 <math>a=a_0 + \mathbb{a} , b=b_0 + \mathbb{b}</math>, 여기서 <math>\mathbb{a}=\sum_{i=1}^{7} a_i e_i, \mathbb{b}=\sum_{i=1}^{7} b_i e_i</math>를 각각 7차원 벡터로 표현가능한 ''a''와 ''b''의 허수부로 묘사하면 <math>ab=(a_0 b_0 - \mathbb{a} \cdot \mathbb{b} ) + (a_0 \mathbb{b} + b_0 \mathbb{a} + \mathbb{a} \times \mathbb{b})</math>를 만족하게 하는 벡터연산 <math>\mathbb{a} \times \mathbb{b}</math>를 7차원 벡터의 벡터곱으로 정의한다.

일례로 <math>\mathbb{a} \times \mathbb{b}</math>의 ''e''<sub>1</sub> 부분만 계산해도 앞의 게수가 <math>a_2 b_4 + a_3 b_7 - a_4 b_2 + a_5 b_6 -a_6 b_5 -a_7 b_3</math>라는 6개의 항으로 이루어진 다소 복잡한 식이 나오며, 나머지 계수도 위의 팔원수 곱공식을 이용해서 유도할 수 있다.

7차원 벡터의 벡터곱의 경우 아래와 같은 성질들을 3차원 벡터의 벡터곱과 성질을 공유한다.
* 다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다.
:: '''x'''×(''a'' '''y''' + ''b'' '''z''') = ''a'' '''x''' × '''y''' + ''b'' '''x''' × '''z''' and (''a'' '''y''' + ''b'' '''z''') × '''x''' = ''a'' '''y''' × '''x''' + ''b'' '''z''' × '''x'''
* 반가환성 (anti-commutative)
:: '''x'''×'''y''' + '''y'''×'''x''' = 0
* '''x'''와 '''y''' 모두에 수직
:: '''x'''·('''x'''×'''y''') = '''y'''·('''x'''×'''y''') = 0
* 야코비 항등식이 성립한다.
::'''x'''×('''y'''×'''z''') + '''y'''×('''z'''×'''x''') + '''z'''×('''x'''×'''y''') = '''0'''
* ||'''x'''×'''y'''||<sup>2</sup> = ||'''x'''||<sup>2</sup>||'''y'''||<sup>2</sup>-('''x'''·'''y''')<sup>2</sup>


다만 다음과 같은 공식들은 7차원 벡터곱에서는 일반적으로 성립하지 않는다.
* 스칼라 [[삼중곱]] : <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=
\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})</math>

* 벡터 [[삼중곱]] 또는 [[라그랑주 공식]]: '''a'''×('''b'''×'''c''') = '''b'''('''a'''∙'''c''')-'''c'''('''a'''∙'''b''')

== 왜 0, 1, 3, 7차원에서만? ==
0, 1, 3, 7. 무슨 공통점이 있을까? 한번 <s>속는 셈 치고</s> 1을 더해보면, 1, 2, 4, 8이 된다. 어디서 본 익숙한 수들. 앞에서부터 차례대로, [[실수]], [[복소수]], [[사원수]], [[팔원수]]의 실수에 대한 index이다. 잘 알고 있듯이, ''n''-원수의 표준기저를 <math>1=e_0, e_1, \cdots, e_{n-1}</math>로 쓰면, <math>\mathbf e_i \times \mathbf e_j = e_{i-1}e_{j-1}</math>가 된다. 그런데 이게 과연 저 대수들과 무슨 관계가 있을까?

== 참고문헌 ==
* [http://math.stackexchange.com/questions/706011/why-is-cross-product-only-defined-in-3-and-7-dimensions Why is cross product only defined in 3 and 7 dimensions? - math.SE]

{{각주}}