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<math>\mathbf{x} \in \operatorname{int} A</math> 및 영이 아닌<ref>후술하듯 단위벡터로만 제한하는 책도 있다.</ref> <math>\mathbf{u}\in \mathbb{R}^m</math>에 대하여 다음 극한 : <math>\lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x})}{t}</math> 이 존재하면, 이를 '''<math>\mathbf{x}</math>에서의 <math>\mathbf{u}</math>에 대한 <math>f</math>의 방향도함수(directional derivative of <math>f</math> at <math>\mathbf{x}</math> along the vector <math>\mathbf{u}</math>)'''라고 하고, <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{u})</math>, <math>D_\mathbf{u}f(\mathbf{x})</math>, <math>\nabla_\mathbf{u}f(\mathbf{x})</math>, <math>\partial_\mathbf{u}f(\mathbf{x})</math> 등으로 표기한다. 이러한 정의는 일변수함수의 미분을 이용한 다음 정의 : <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{u}) = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(\mathbf{x}+t\mathbf{u}) \right|_{t=0}</math> 와 동치임을 쉽게 확인할 수 있다. 예를 들어 우리가 산을 오른다고 하면, 우리는 걸어감에 따라 높이 변화를 경험하게 된다. 이때 우리가 겪는 높이 변화는 우리가 어떤 방향으로 가느냐에 따라 다를 것이다. 이렇게 특정한 방향으로 갈 때의 높이 변화를 식으로 나타낸 것이 바로 방향도함수이다. 즉, <math>\mathbf{x}</math>에서 <math>\mathbf{u}</math> 방향으로 갈 때의 함숫값의 순간변화율이 바로 방향도함수 <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{u})</math>이다. 다른 정의로 함수 <math>f</math>의 정의역이 노름공간(normed space)인 경우에는 위 벡터 <math>\mathbf{u}</math>의 크기, 즉 특정한 방향으로 가는 ‘속력’을 생각할 수 있다. 다시 산을 오르는 예를 들면, 우리가 빨리 가면 빨리 갈수록 높이의 변화도 비례해서 커질 것이다. 만약 우리가 정말로 특정한 ‘방향’으로 갈 때의 높이 변화만을 측정하고 싶다면 속력에 따른 변화를 상쇄하기 위해 속력으로 나누어 주어야 할 것이다. 따라서 방향도함수를 다음과 같이 정의하기도 한다. : <math>\frac{1}{\|\mathbf{u}\|} \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x})}{t}</math> 혹은 아예 <math>\mathbf{u}\in \mathbb{R}^m</math>를 크기가 1인 것 즉 단위벡터만으로 제한하기도 한다. 방향도함수를 이렇게 정의할 경우 특별히 <math>\mathbf{x}</math>에서의 <math>\mathbf{u}</math> <u>방향의</u> <math>f</math>의 방향도함수(directional derivative of <math>f</math> at <math>\mathbf{x}</math> <u>in the direction</u> <math>\mathbf{u}</math>)라고 일컫기도 한다. 두 정의가 다 의미는 있으나, 후자는 무엇보다 먼저 정의역이 노름공간이어야 한다는 전제가 있다. 따라서 좀 더 일반적으로 확장이 가능한 정의는 전자라고 하겠다. == 방향도함수의 성질 == 만약 <math>f</math>가 <math>\mathbf{x}</math>에서 미분가능하면 <math>\mathbf{x}</math>에서 <math>f</math>의 모든 방향도함수가 존재하고 : <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{u})=Df(\mathbf{x})\cdot \mathbf{u}</math> 이다. 그 역은 성립하지 않는다. 편도함수의 정의에 의해 <math>\partial_i f(\mathbf{x}) = \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_i} = f'(\mathbf{x};\mathbf{e}_i) = \partial_{\mathbf{e}_i} f(\mathbf{x})</math>이다. 즉, 방향도함수는 편도함수의 일반화로 이해할 수 있다. 만약 <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{u})</math>가 존재하고 <math>\mathbf{v} = k\mathbf{u}</math>(단, <math>k \neq 0</math>이면 <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{v})</math>도 존재하고,<ref>증명: <math>kt=t'</math>으로 두면 <math>\lim_{t\to 0}\tfrac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{v})-f(\mathbf{x})}{t} = \lim_{t\to 0}\tfrac{f(\mathbf{x}+tk\mathbf{u})-f(\mathbf{x})}{t} = \lim_{t\to 0}k \tfrac{f(\mathbf{x}+tk\mathbf{u})-f(\mathbf{x})}{tk} = k\lim_{t'\to 0}\tfrac{f(\mathbf{x}+t'\mathbf{u})-f(\mathbf{x})}{t'}</math></ref> : <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{v})=kf'(\mathbf{x};\mathbf{u})</math> (다른 정의에 의할 경우 <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{v})=f'(\mathbf{x};\mathbf{u})</math>) 이다. === 오개념 === 어떤 점에서 함수의 모든 방향도함수가 존재한다고 그 함수가 미분가능한 것은 아니다. <math>f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math>를 : <math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0) \end{cases}</math> 로 정의하고, <math>\mathbf{u}=(u_1,u_2)\ne \mathbf{0}</math>라고 할 때 : <math>\begin{align} f'(\mathbf{0};\mathbf{u})&=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\mathbf{u})-f(\mathbf{0})}{t}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{t^3u_1^3-t^3u_2^3}{t(t^2u_1^2+t^2u_2^2)}\\ &=\frac{u_1^3-u_2^3}{u_1^2+u_2^2} \end{align}</math> 이므로 <math>\mathbf{0}</math>에서 모든 방향의 방향도함수가 존재한다. 그런데 <math>f</math>가 <math>\mathbf{0}</math>에서 미분가능하다면 <math>Df(\mathbf{0})</math>은 1×2 행렬이므로 이를 <math>\begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}</math>라 하면 : <math>f'(\mathbf{0};\mathbf{u})=Df(\mathbf{0})\cdot\mathbf{u}=au_1+bu_2</math> 인데 이러면 앞에서 구한 방향도함수 식이 선형이 아니므로 모순이다. 그러므로 <math>f</math>는 <math>\mathbf{0}</math>에서 미분가능하지 않다. == 이름에 대하여 == 이름에 대해 의문을 가질 수 있는데, 우리가 일변수함수 <math>f:A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>가 ''x''에서 미분가능할 때 <math>\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t)-f(x)}{t}</math>는 도함수라기보다 '''미분계수'''라고 했고, 각 ''x''에 대해 그 점에서의 미분계수를 대응시키는 함수라야 '''도함수'''라고 하였기 때문이다. 즉 여기서도 방향도함수라기보다 방향미분계수라고 하여야 하는 것이 아니냐는 것이다. 아마도 일변수함수에서는 ''x'' 근방에서의 함숫값을 가지고 평균변화율의 극한을 구해 보아야 그건 한 점에서의 미분'''계수'''의 값일 뿐으로서 그 점이 아닌 점에서의 극한에는 아무 영향이 없다는 점을 강조하고, 각 점마다 그 점에 대해 그러한 극한값을 생각하여야 비로소 도'''함수'''라는 함수를 상정할 수 있다는 점을 강조하기 위해 (특별히 고등학교) 교육과정에서는 이처럼 다른 이름을 가르쳐 주는 듯하나, 결국 미분계수라는 게 그 점에서의 도함수의 함숫값과 같게 되는 점, 일변수함수에서의 많은 경험을 한 이제 와서는 그냥 ‘도함수’라는 이름을 혼용해도 별 혼동은 없을 것이라는 점, 특히 영어에서는 어떤 함수의 이름을 그 함수 자체로도 또 함숫값으로도 쓰는 것이 전혀 어색하지 않다는 점에서 그냥 방향도함수(directional derivative)라고 뭉뚱그려 일컫는 듯하다. == 같이 보기 == * [[도함수]] {{주석}} [[분류:함수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · 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ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:주석 (편집)