마방진 편집하기

'''마방진'''(魔方陣, Magic Square)은 각 원소가 n<sup>2</sup>의 수로 이루어져 있고, 각 행의 원소의 합과 각 열의 원소의 합, 그리고 주대각선에서의 n개의 원소의 합이 모두 같은 n×n [[정사각행렬]]을 의미한다. 원소의 조건은 n<sup>2</sup>의 연속된 숫자를 의미하는 경우가 많으나 상황에 따라 다른 것을 의미할 수도 있다.

== 마방진의 개수 ==
1차 마방진은 1 하나의 원소로 된 마방진이며, 2차 마방진은 존재하지 않는다. 3차 마방진은 회전과 대칭이동에 의한 변환을 동일한 것으로 취급할 때 아래에서 언급하는 중국의 로슈방진(Lo Shu Square) 하나뿐이다. 4차 마방진은 회전/대칭이동의 변환에 대해 880가지의 서로 다른 배열이 있다. 5차 마방진은 275,305,224가지 배열이 있으며, 6차 마방진은 정확한 숫자는 알려져 있지 않으나 1.8 × 10<sup>19</sup>개가 있다고 추정된다.<ref name=Loly>Loly, Peter. "The invariance of the moment of inertia of magic squares", ''[[Mathematical Gazette]]'' 88, March 2004, 151–153.</ref> 

== 역사 ==
마방진은 중국에서 적어도 기원전 7세기부터 알려져 있었고, AD 570년에 처음으로 기록이 남겨져 있다. 또한 5차 마방진과 6차 마방진은 10세기경 이슬람권에서 존재가 알려져 있다.

가장 유명한 마방진은 바로 3*3마방진인 로슈 사각형(Lo Shu Square, [[wikipedia:Lo Shu Square]])이다. 아래와 같은 배열로 구성되어 있다.

{|class="wikitable"
|-
| 2 || 9 || 4 
|-
| 7 || 5 || 3
|-
|  6 || 1 || 8
|}

=== 유럽 ===
1300년경 비잔틴 제국의 수학자 [[wikipedia:Manuel Moschopoulos|마누엘 모스코푸로스(Manuel Moschopoulos)]]가 마방진에 대해서 언급하였다.

1514년 알브레히트 뒤러([[wikipedia:Albrecht Dürer]])의 작품 멜랑꼴리아(''[[wikipedia:Melencolia I|Melencolia I]].'')에 4차 마방진이 새겨져 있는데 절묘하게도 아랫줄 가운데 두 숫자 15,14가 작품의 제작년도를 나타낸다.

[[1510년]] 신비주의 작가인 하인리히 코넬리우스 아그리파([[wikipedia:Heinrich Cornelius Agrippa]])는 그의 저서 ''De Occulta Philosophia''에서 은둔자와 [[wikipedia:Marsilio Ficino|Marsilio Ficino]]와 [[wikipedia:Pico della Mirandola|Pico della Mirandola]]의 경이로운 일에 대해 서술하였다. 1531년 개정판에서는 당시에 알려진 행성과 3*3에서 9*9까지의 마방진을 다음과 같이 연계해서 묘사하였다. 참고로 행성의 순서는 프톨레마이오스의 천동설 기준으로 행성의 배열 순서(먼 행성에서 가까운 행성으로)과 일치한다.
{{숨김 시작|title=아그리파가 작성한 마방진}}
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| 4 || 9 || 2
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| 3 || 5 || 7
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| 8 || 1 || 6
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|-
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| 4 || 14 || 15 || 1
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|}

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|-
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|-
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|-
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|}

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|-
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| 6 || 32 || 3 || 34 || 35 || 1
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| 7 || 11 || 27 || 28 || 8 || 30
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| 19 || 14 || 16 || 15 || 23 || 24
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| 18 || 20 || 22 || 21 || 17 || 13
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| 25 || 29 || 10 || 9 || 26 || 12
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| 36 || 5 || 33 || 4 || 2 || 31
|}

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| 22 || 47 || 16 || 41 || 10 || 35 || 4
|-
| 5 || 23 || 48 || 17 || 42 || 11 || 29
|-
| 30 || 6 || 24 || 49 || 18 || 36 || 12
|-
| 13 || 31 || 7 || 25 || 43 || 19 || 37
|-
| 38 || 14 || 32 || 1 || 26 || 44 || 20
|-
| 21 || 39 || 8 || 33 || 2 || 27 || 45
|-
| 46 || 15 || 40 || 9 || 34 || 3 || 28
|}

{| class="wikitable" 
|-
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|-
| 8 || 58 || 59 || 5 || 4 || 62 || 63 || 1
|-
| 49 || 15 || 14 || 52 || 53 || 11 || 10 || 56
|-
| 41 || 23 || 22 || 44 || 45 || 19 || 18 || 48
|-
| 32 || 34 || 35 || 29 || 28 || 38 || 39 || 25
|-
| 40 || 26 || 27 || 37 || 36 || 30 || 31 || 33
|-
| 17 || 47 || 46 || 20 || 21 || 43 || 42 || 24
|-
| 9 || 55 || 54 || 12 || 13 || 51 || 50 || 16
|-
| 64 || 2 || 3 || 61 || 60 || 6 || 7 || 57
|}

{| class="wikitable" 
|-
! colspan="9" | [[달]]=369
|-
| 37 || 78 || 29 || 70 || 21 || 62 || 13 || 54 || 5
|-
| 6 || 38 || 79 || 30 || 71 || 22 || 63 || 14 || 46
|-
| 47 || 7 || 39 || 80 || 31 || 72 || 23 || 55 || 15
|-
| 16 || 48 || 8 || 40 || 81 || 32 || 64 || 24 || 56
|-
| 57 || 17 || 49 || 9 || 41 || 73 || 33 || 65 || 25
|-
| 26 || 58 || 18 || 50 || 1 || 42 || 74 || 34 || 66
|-
| 67 || 27 || 59 || 10 || 51 || 2 || 43 || 75 || 35
|-
| 36 || 68 || 19 || 60 || 11 || 52 || 3 || 44 || 76
|-
| 77 || 28 || 69 || 20 || 61 || 12 || 53 || 4 || 45
|}
마방진 모음
{{숨김 끝}}

== 마방진의 종류 ==
[[파일:4x4 magic square hierarchy.svg|thumb|upright|4×4방진의 서열]]

보통 마방진은 행, 열, 그리고 주대각선(main diagonal)에 있는 n개의 원소의 합이 일정한 행렬을 의미한다. 우선 1부터 n<sup>2</sup>까지의 원소의 합은 n<sup>2</sup>(n<sup>2</sup> +1)/2이고, 따라서 각 행/열의 합은 n(n<sup>2</sup> +1)/2가 성립한다.

1부터 ''n<sup>2</sup>''까지 숫자를 가진 n×n 방진 중에서 각 행과 열의 합이 동일하기만 하면 준마방진(semimagic square)라고 부르며, 주대각선 n개의 원소의 합이 동일할 때 일반적인 마방진이 된다.

마방진 중에서 좀 더 강력하게 주대각선이 아닌 끊긴 대각선의 원소들의 합 <math>\{a_{i,c+i}:i=1,\cdot\cdot\cdot n\}, \{a_{i,n+c-i}: i=1,\cdot\cdot\cdot ,n\}</math>(여기서 c는 0 이상의 상수, i+c>n 또는 n+c-i>n이면 n을 빼준다.)까지도 모두 같으면 완전대각방진(Panmagic Square 혹은 Diabolic Magic square)이라고 부른다. 특이하게도 n=3이거나 n=4k+2꼴일 때에는 완전대각방진이 존재하지 않은 것으로 알려져 있다. (참조 : [[Wikipedia:Panmagic square]])

완전마방진 중에서도 임의의 상수 c,d에 대해 2x2 부분행렬 <math>\begin{pmatrix} a_ij & a_{i,j+c} \\ a_{i+d,j} & a_{i+d, j+c} \end{pmatrix}</math>의 원소의 합이 2n<sup>2</sup>+2까지 만족하는 마방진을 Most-perfect Magic square(해석하면 가장 완벽한 마방진)이라고 부른다. (참조: [[Wikipedia:Most-perfect magic squre]])

마방진 중에서도 2 이상의 자연수 p에 대해서 각 원소를 p제곱한 원소들을 모아도 마방진을 이룰 경우 p-제곱 마방진(p-multimagic square)라고 부른다.

다른 조건으로 각 행의 원소의 합, 각 열의 원소의 합, 그리고 두 대각선의 원소의 합을 나열할 때 서로 다른 2n+2개의 연속된 자연수로 나열되는 경우를 [[반마방진]](Antimagic Square)이라고 부른다. (참조 : [[Wikipedia:Antimagic square]])

== 마방진을 만드는 방법 ==
=== 홀수 방진 ===

n*n 마방진을 만드는 가장 간단한 방법은 다음과 같다. 이 방법은 아래에서 설명하는 방법의 특수한 경우라 할 수 있다.
# 우선 맨 윗줄 가운데에 1을 적는다.
# 그 다음 오른쪽 칸의 맨 아랫줄에 2를 적는다.
# 그 다음에 2의 오른쪽/위쪽 1칸 대각선 방향에 3을 적는다. 마찬가지로 4~n까지 숫자가 1개씩 커질 때마다 오른쪽/위쪽 1칸 대각선 방향으로 적는다. 만일 k가 맨 오른쪽 칸에 있을 경우 k+1은 한 줄 위의 맨 왼쪽 칸으로 이동한다.
# 대각선 방향으로 계속 가면 n+1의 위치는 1과 겹친다. 이 때 n+1은 n의 한 칸 아래칸에 적는다.
# 1~3번과 같은 방법으로 n+1~2n까지 숫자들은 1씩 커질 때마다 오른쪽/위쪽 1칸 대각선씩 옮겨서 적는다. 역시 k가 맨 윗줄의 숫자인 경우 다음 숫자는 맨 아랫줄의 오른쪽 1칸으로, 맨 오른쪽의 숫자의 경우 다음 숫자는 1줄 위의 맨 왼쪽 칸으로 옮겨서 적는다.
# 2n+1 역시 n+1과 마찬가지로 2n 한 칸 아래에 적는다. 5번처럼 2n+1~3n의 숫자들을 대각선 ↗방향으로 1칸씩 옮겨가면서 적는다. 마찬가지로 3n+1도 3n의 한 칸 아래에 적고, 3n+1~4n도 마찬가지 방법으로 대각선 방향으로 옮겨가면서 적는다.
# 6의 과정을 모든 n<sup>2</sup>개의 칸이 채워질 때까지 적는다.

위와 같은 방법으로 5×5 마방진을 만들 수 있다. 편의상 (k-1)n+1에서 kn까지의 숫자들은 모두 같은 색으로 칠한다.
{|class="wikitable"
|+ 5×5 마방진 
|-
| style="background:#7f7"|17 || style="background:#77f"|24 || 1 ||style="background:#BBB"|8 || style="background:#f77"|15
|-
| style="background:#77f"|23 || 5 ||style="background:#BBB"|7 || style="background:#f77"|14 || style="background:#7f7"|16 
|-
| 4 || style="background:#BBB"|6 || style="background:#f77"|13 || style="background:#7f7"|20 || style="background:#77f"|22
|-
| style="background:#BBB"|10 || style="background:#f77"|12 || style="background:#7f7"|19 || style="background:#77f"|21 || 3 
|-
| style="background:#f77"|11 || style="background:#7f7"|18 || style="background:#77f"|25 || 2 || style="background:#BBB"|9
|}

==== 일반화된 방법과 완전대각방진 만들기 ====
{{본문|완전대각방진#한 변의 개수가 6n±1개인 경우}}

원소를 증가시키는 방법을 대각선/아랫칸 내리기를 이용하지 않고 다른 간격으로 움직이게 할 수 있다. 여기서 중요한 것은 어떠한 경우에도 중간값이 정중앙에 오게 해야 한다는 것이다. 특히 한 변의 칸의 개수가 6n±1개라면 이것을 이용해서 완전대각방진을 만들 수 있다. 위의 문서를 참조할 것. 여기서는 결과물만 제시한다.

{|class="wikitable"
|+ 5×5 완전대각방진
|-
| 25 || 3 || 6 || 14 || 17
|-
| 11 || 19 || 22 || 5 || 8
|-
| 2 || 10 || 13 || 16 || 24
|-
| 18 || 21 || 4 || 7 || 15
|-
| 9 || 12 || 20 || 23 || 1
|}

{|class="wikitable"
|+ 7×7 완전대각방진
|-
| 49 || 23 || 4 || 34 || 8 || 38 || 19
|-
| 11 || 41 || 15 || 45 || 26 || 7 || 30
|-
| 22 || 3 || 33 || 14 || 37 || 18 || 48
|-
| 40 || 21 || 44 || 25 || 6 || 29 || 10
|-
| 2 || 32 || 13 || 36 || 17 || 47 || 28
|-
| 20 || 43 || 24 || 5 || 35 || 9 || 39
|-
| 31 || 12 || 42 || 16 || 46 || 27 || 1
|}

{{본문|완전대각방진#한 변의 개수가 6n+3개인 경우}}

(6n+3)*(6n+3) 완전대각방진은 위와 같은 방법으로 만들 수 없다. 자세한 내용은 위의 내용을 참조할 것. <ref> 참조 : [[Wikipedia:Pandiagonal Magic Square]]</ref> 역시 여기서도 결과물 하나만 제시한다.

{| class="wikitable"
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|| <center>&nbsp;21&nbsp;</center>

|}

=== 4n형태 ===
우선 4n*4n 마방진을 푸는 방법은 다음과 같다.
* 우선 모든 칸은 4*4로 나눈다. 즉 12*12 마방진은 가로/세로 3*3칸씩으로 나눈다.
* 그 다음에 아래와 같이 칸을 흑/백으로 칠한다.
{|class="wikitable"
|+ 흑/백 칠하기
|-
| style="background:#bbb"| 1|| 0 || 0 || style="background:#bbb"|1
|-
| 0 || style="background:#bbb"| 1|| style="background:#bbb"|1 || 0
|-
| 0|| style="background:#bbb"|1 || style="background:#bbb"|1 || 0
|-
|style="background:#bbb"|1 || 0 || 0 || style="background:#bbb"|1
|}
* 다음에 1로 칠해진 칸은 1~n<sup>2</sup>를 적는다. 왼쪽 위에서 오른쪽으로 1씩 올려가면서 적은 뒤에 한 줄이 채워지면 아랫줄을 채운다. 4*4 마방진의 경우는 다음과 같다.
{|class="wikitable"
|+ 검은칸에 숫자 채우기
|-
| style="background:#bbb"| 1||  ||  || style="background:#bbb"|4
|-
|  || style="background:#bbb"| 6|| style="background:#bbb"|7 || 
|-
| || style="background:#bbb"|10 || style="background:#bbb"|11 || 
|-
|style="background:#bbb"|13 ||  ||  || style="background:#bbb"|16
|}
* 나머지 하얀색 빈 칸의 경우는 오른쪽 아랫칸을 1로 잡고, 왼쪽으로/윗줄로 올라가면서 1씩 큰 숫자를 적는다.  위에서 검은색 칸은 점대칭도형이기 때문에 (a,b)가 검은 칸일 경우 (n+1-a,n+1-b)가 검은 칸이 된다. 따라서 k가 검은 칸이면 n<sup>2</sup>+1-k도 검은칸이므로 하얀색 칸의 숫자는 검은색 칸의 숫자와 겹치지 않는다.
{|class="wikitable"
|+ 흰칸에 숫자 채우기
|-
| style="background:#bbb"| 1|| 15 || 14  || style="background:#bbb"|4
|-
| 12 || style="background:#bbb"| 6|| style="background:#bbb"|7 || 9
|-
| 8 || style="background:#bbb"|10 || style="background:#bbb"|11 || 5
|-
|style="background:#bbb"|13 || 3 || 2  || style="background:#bbb"|16
|} 
* 간단히 증명하는 방법이 있다. 우선 검은색 칸은 (행,열) 번호를 붙인다. 그 다음에 흰색 칸에는 (n+1-행, n+1-열)의 값을 적는다. 그러면 각 행/열/주대각선 n개 원소의 합은 정확히 (n(n+1)/2, n(n+1)/2)가 된다는 것을 알 수 있다.

{|class="wikitable"
|+ 증명
|-
| style="background:#bbb"| (1,1)|| (4,4) || (4,1) || style="background:#bbb"|(1,4)
|-
| (3,4)  || style="background:#bbb"| (2,2)|| style="background:#bbb"|(2,3) || (3,1)
|-
| (2,4) || style="background:#bbb"|(3,2) || style="background:#bbb"|(3,3) || (2,1)
|-
|style="background:#bbb"|(4,1) || (1,3) || (1,2)  || style="background:#bbb"|(4,4)
|}
* 8*8 마방진도 이와 유사하게 만들 수 있다.
{|class="wikitable"
|+ 8*8 마방진
|-
| style="background:#bbb"| 1|| style="background:#bbb"| 2|| 62 || 61 || 60 || 59 || style="background:#bbb"| 7 || style="background:#bbb"| 8
|-
| style="background:#bbb"| 9|| style="background:#bbb"| 10|| 54 || 53 || 52 || 51 || style="background:#bbb"| 15 || style="background:#bbb"| 16
|-
| 48 || 47 || style="background:#bbb"|19 || style="background:#bbb"|20 || style="background:#bbb"|21 || style="background:#bbb"|22 || 42 || 41
|-
| 40 || 39 || style="background:#bbb"|27 || style="background:#bbb"|28 || style="background:#bbb"|29 || style="background:#bbb"|30 || 34 || 33
|-
| 32 || 31 || style="background:#bbb"|35 || style="background:#bbb"|36 || style="background:#bbb"|37 || style="background:#bbb"|38 || 26 || 25
|-
| 24 || 23 || style="background:#bbb"|43 || style="background:#bbb"|44 || style="background:#bbb"|45 || style="background:#bbb"|46 || 18 || 17
|-
| style="background:#bbb"| 49|| style="background:#bbb"| 50|| 14 || 13 || 12 || 11 || style="background:#bbb"| 55 || style="background:#bbb"| 56
|-
| style="background:#bbb"| 57|| style="background:#bbb"| 58|| 6 || 5 || 4 || 3 || style="background:#bbb"| 63 || style="background:#bbb"| 64
|}
* 또는 아래의 4*4흑/백 패턴을 이용해 4n*4n 칸을 채우는 흑/백 패턴을 만든 뒤에 흑색 칸은 왼쪽 위부터 오른쪽으로 1식 키우면서 순서대로 채우고 백색 칸은 오른쪽 아래부터 시작해서 왼쪽으로 1씩 키우면서 순서대로 채워서도 만들 수 있다. 다른 8*8 마방진은 만들 수 있다. 여기서 중요한 것은 이 흑/백 패턴이 반드시 점대칭이어야한다는 것이다.

{|class="wikitable"
|+ 8*8 마방진 다른 예시
|-
| style="background:#bbb"| 1|| 63 || 62 || style="background:#bbb"|4 || 60 || style="background:#bbb"|6 || style="background:#bbb"| 7 || 57
|-
| 56 || style="background:#bbb"| 10|| style="background:#bbb"|11 || 53 || style="background:#bbb"|13 || 51 || 50 || style="background:#bbb"| 16
|-
| 48 || style="background:#bbb"|18 || style="background:#bbb"|19 || 45 || style="background:#bbb"|21 || 43 || 42 || style="background:#bbb"|24
|-
| style="background:#bbb"|25 || 47 || 46 || style="background:#bbb"|28 || 36 || style="background:#bbb"|30 || style="background:#bbb"|31 || 33
|-
| 32 || style="background:#bbb"|34 || style="background:#bbb"|35 || 29 || style="background:#bbb"|37 || 27 || 26 || style="background:#bbb"|40
|-
| style="background:#bbb"|41 || 23 || 22 || style="background:#bbb"|44 || 20 || style="background:#bbb"|46 || style="background:#bbb"|47 || 17
|-
| style="background:#bbb"| 49|| 15|| 14 || style="background:#bbb"|52 || 12 || style="background:#bbb"|54 || style="background:#bbb"| 55 || 9
|-
| 8|| style="background:#bbb"| 58|| style="background:#bbb"|59 || 5 || style="background:#bbb"|61 || 3 || 2 || style="background:#bbb"| 64
|}
==== 완전대각 방진 ====
{{본문|완전대각방진#한 변의 개수가 4n개인 경우}}
완전대각방진을 만들기 위해서는 위의 방법과는 다른 방법을 사용해야 한다. 위의 본문을 참조할 것. <ref>출처 : [[Wikipedia:Pandiagonal magic square ]]</ref> 역시 결과만 올리겠다.
{| class="wikitable"
|-
| &nbsp;33&nbsp; || &nbsp;26&nbsp; || &nbsp;35&nbsp; || &nbsp;28&nbsp; || &nbsp;40&nbsp;|| &nbsp;31&nbsp;|| &nbsp;38&nbsp;|| &nbsp;29&nbsp;
|-
| &nbsp;48&nbsp; || &nbsp;23&nbsp; || &nbsp;46&nbsp; || &nbsp;21&nbsp; || &nbsp;41&nbsp;|| &nbsp;18&nbsp;|| &nbsp;43&nbsp;|| &nbsp;20&nbsp;
|-
| &nbsp;49&nbsp; || &nbsp;10&nbsp; || &nbsp;51&nbsp; || &nbsp;12&nbsp; || &nbsp;56&nbsp;|| &nbsp;15&nbsp;|| &nbsp;54&nbsp;|| &nbsp;13&nbsp;
|-
| &nbsp;64&nbsp; || &nbsp; 7&nbsp; || &nbsp;62&nbsp; || &nbsp; 5&nbsp; || &nbsp;57&nbsp;|| &nbsp; 2&nbsp;|| &nbsp;59&nbsp;|| &nbsp; 4&nbsp;
|-
| &nbsp;25&nbsp; || &nbsp;34&nbsp; || &nbsp;27&nbsp; || &nbsp;36&nbsp; || &nbsp;32&nbsp;|| &nbsp;39&nbsp;|| &nbsp;30&nbsp;|| &nbsp;37&nbsp;
|-
| &nbsp;24&nbsp; || &nbsp;47&nbsp; || &nbsp;22&nbsp; || &nbsp;45&nbsp; || &nbsp;17&nbsp;|| &nbsp;42&nbsp;|| &nbsp;19&nbsp;|| &nbsp;44&nbsp;
|-
| &nbsp; 9&nbsp; || &nbsp;50&nbsp; || &nbsp;11&nbsp; || &nbsp;52&nbsp; || &nbsp;16&nbsp;|| &nbsp;55&nbsp;|| &nbsp;14&nbsp;|| &nbsp;53&nbsp;
|-
| &nbsp; 8&nbsp; || &nbsp;63&nbsp; || &nbsp; 6&nbsp; || &nbsp;61&nbsp; || &nbsp; 1&nbsp;|| &nbsp;58&nbsp;|| &nbsp; 3&nbsp;|| &nbsp;60&nbsp;
|}


==== 가장 완벽한 마방진 ====
아래 마방진은 가장 완벽한 4*4 마방진(The most perfect magic square)이 된다. 규칙성을 살펴보면 다음과 같다. 편의상 합하게 되는 숫자의 묶음을 같은 배경색으로 칠한다.

{|class="wikitable"
|+ 4*4 most perfect magic square
|-
| 3 || 6  || 12 || 13
|-
| 16|| 9 || 7 || 2
|-
| 5 || 4 || 14 || 11
|-
| 10 || 15 || 1 || 8
|}

* 가로줄과 세로줄 상의 모든 원소의 합이 동일하다.

{|class="wikitable"
|+ 행/열상의 원소의 합은 동일
|-
| style="background:#FBB"|3 || style="background:#BFB"|6  || style="background:#BBF"|12 || style="background:#CCC"|13 || rowspan="4"| &nbsp; || style="background:#FBB"|3 || style="background:#FBB"|6  || style="background:#FBB"|12 || style="background:#FBB"|13
|-
| style="background:#FBB"|16|| style="background:#BFB"|9 || style="background:#BBF"|7 || style="background:#CCC"|2 || style="background:#BFB"|16|| style="background:#BFB"|9 || style="background:#BFB"|7 || style="background:#BFB"|2
|-
| style="background:#FBB"|5 || style="background:#BFB"|4 || style="background:#BBF"|14 || style="background:#CCC"|11 || style="background:#BBF"| 5 || style="background:#BBF"|4 || style="background:#BBF"|14 ||  style="background:#BBF"|11
|-
| style="background:#FBB"|10 || style="background:#BFB"|15 || style="background:#BBF"|1 || style="background:#CCC"|8 || style="background:#CCC"|10 || style="background:#CCC"| 15 || style="background:#CCC"| 1 || style="background:#CCC"| 8
|}
* 주대각선/부대각선 상에 있는 모든 원소의 합이 동일하다.
{|class="wikitable"
|+ 대각선 상의 원소의 합은 동일
|-
| style="background:#FBB"|3 || style="background:#BFB"|6  || style="background:#BBF"|12 || style="background:#CCC"|13 || rowspan="4"| &nbsp; || style="background:#FBB"|3 || style="background:#BFB"|6  || style="background:#BBF"|12 || style="background:#CCC"|13
|-
| style="background:#CCC"|16|| style="background:#FBB"|9 || style="background:#BFB"|7 || style="background:#BBF"|2 || style="background:#BFB"|16|| style="background:#BBF"|9 || style="background:#CCC"|7 || style="background:#FBB"|2
|-
| style="background:#BBF"|5 || style="background:#CCC"|4 || style="background:#FBB"|14 || style="background:#BFB"|11 || style="background:#BBF"| 5 || style="background:#CCC"|4 || style="background:#FBB"|14 ||  style="background:#BFB"|11
|-
| style="background:#BFB"|10 || style="background:#BBF"|15 || style="background:#CCC"|1 || style="background:#FBB"|8 || style="background:#CCC"|10 || style="background:#FBB"| 15 || style="background:#BFB"| 1 || style="background:#BBF"| 8
|}
* 서로 인접한 사각형 네 개로 구성된 정사각형 내부에서 모든 원소의 합이 동일하다.
{|class="wikitable"
|+ 서로 정사각형을 이루는 네 원소의 합이 동일 
|-
| style="background:#FBB"|3 || style="background:#FBB"|6  || style="background:#BFB"|12 || style="background:#BFB"|13 || rowspan="4"| &nbsp; || style="background:#FBB"|3 || style="background:#BFB"|6  || style="background:#BFB"|12 || style="background:#FBB"|13
|-
| style="background:#FBB"|16|| style="background:#FBB"|9 || style="background:#BFB"|7 || style="background:#BFB"|2 || style="background:#BBF"|16|| style="background:#CCC"|9 || style="background:#CCC"|7 || style="background:#BBF"|2
|-
| style="background:#BBF"|5 || style="background:#BBF"|4 || style="background:#CCC"|14 || style="background:#CCC"|11 || style="background:#BBF"| 5 || style="background:#CCC"|4 || style="background:#CCC"|14 ||  style="background:#BBF"|11
|-
| style="background:#BBF"|10 || style="background:#BBF"|15 || style="background:#CCC"|1 || style="background:#CCC"|8 || style="background:#FBB"|10 || style="background:#BFB"| 15 || style="background:#BFB"| 1 || style="background:#FBB"| 8
|}
* (홀,홀) 원소 4개, (홀,짝) 원소 4개, (짝,홀) 원소 4개, 그리고 (짝,짝) 원소 4개의 합이 동일하다.

{|class="wikitable"
|+ 서로 정사각형을 이루는 네 원소의 합이 동일 
|-
| style="background:#FBB"|3 || style="background:#BFB"|6  || style="background:#FBB"|12 || style="background:#BFB"|13 
|-
| style="background:#BBF"|16|| style="background:#CCC"|9 || style="background:#BBF"|7 || style="background:#CCC"|2 
|-
| style="background:#FBB"|5 || style="background:#BFB"|4 || style="background:#FBB"|14 || style="background:#BFB"|11 
|-
| style="background:#BBF"|10 || style="background:#CCC"|15 || style="background:#BBF"|1 || style="background:#CCC"|8 
|}

=== 4n+2 짝수 마방진 ===
당연히 n=0일 때에는 마방진이 생기지 않는다. 위의 두 경우보다는 다소 복잡하게 나온다.
(4n+2)×(4n+2) 마방진을 작성하는 방법은 다음과 같다.
* 우선 (2n+1)×(2n+1) 크기의 네 개의 구역으로 나눈다. 그 다음에 각 구역에 아래와 같이 나눈다.
{|class="wikitable"
|-
| 1 || 4 
|- 
| 3 || 2
|}
* 그다음에 1구역에 (2n+1)×(2n+1) 마방진을 만든다.
{| class="wikitable"
|-
| &nbsp; 8&nbsp; || &nbsp; 1&nbsp; || &nbsp; 6&nbsp; || &nbsp; &nbsp;&nbsp; || &nbsp; &nbsp; &nbsp;|| &nbsp; &nbsp; &nbsp;
|-
| &nbsp;3|| &nbsp;5|| &nbsp;7|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;
|-
| &nbsp;4|| &nbsp;9|| &nbsp;2|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;
|-
| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;
|-
| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;
|-
| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;|| &nbsp;
|}
* 그 다음에 2구역에는 (2n+1)<sup>2</sup>+1~2×(2n+1)<sup>2</sup>까지 숫자를 1구역에 마방진을 만드는 방식과 같은 방식으로 적는다. 마찬가지로 3구역에도 2×(2n+1)<sup>2</sup>+1~3×(2n+1)<sup>2</sup>까지, 4구역에도 3×(2n+1)<sup>2</sup>+1~4×(2n+1)<sup>2</sup>까지 같은 방식으로 적는다.
{| class="wikitable"
|-
| &nbsp; 8&nbsp; || &nbsp; 1&nbsp; || &nbsp; 6&nbsp; || &nbsp;35&nbsp; || &nbsp;28 &nbsp;|| &nbsp;33 &nbsp;
|-
| &nbsp;3|| &nbsp;5|| &nbsp;7|| &nbsp;30|| &nbsp;32|| &nbsp;34
|-
| &nbsp;4|| &nbsp;9|| &nbsp;2|| &nbsp;31|| &nbsp;36|| &nbsp;29
|-
| &nbsp;26|| &nbsp;19|| &nbsp;21|| &nbsp;17|| &nbsp;10|| &nbsp;15
|-
| &nbsp;21|| &nbsp;23|| &nbsp;25|| &nbsp;12|| &nbsp;14|| &nbsp;16
|-
| &nbsp;22|| &nbsp;27|| &nbsp;20|| &nbsp;13|| &nbsp;18|| &nbsp;11
|}
* 그 다음에 위의 1/4구역은 구역의 중심칸과 아래 n줄의 숫자를  교환한다. 단 중심줄 바로 아래칸은 교환하지 않는다. 아래 3/2구역은 아래 n-1줄의 숫자를 교환한다.
{| class="wikitable"
|+ 교환된 칸은 색칠
|-
| &nbsp; 8&nbsp; || &nbsp; 1&nbsp; || &nbsp; 6&nbsp; || &nbsp;35&nbsp; || &nbsp;28 &nbsp;|| &nbsp;33 &nbsp;
|-
| &nbsp;3|| style="background:#bbb"|&nbsp;32|| &nbsp;7|| &nbsp;30|| style="background:#bbb"|&nbsp;5|| &nbsp;34
|-
| style="background:#bbb"|&nbsp;31|| &nbsp;9|| style="background:#bbb"|&nbsp;29|| style="background:#bbb"|&nbsp;4|| &nbsp;36|| style="background:#bbb"|&nbsp;2
|-
| &nbsp;26|| &nbsp;19|| &nbsp;21|| &nbsp;17|| &nbsp;10|| &nbsp;15
|-
| &nbsp;21|| &nbsp;23|| &nbsp;25|| &nbsp;12|| &nbsp;14|| &nbsp;16
|-
| &nbsp;22|| &nbsp;27|| &nbsp;20|| &nbsp;13|| &nbsp;18|| &nbsp;11
|}
10*10 마방진도 같은 전략으로 만들 수 있다. 여기서 기울인 글씨가 마지막 단계에서 교환된 칸.
{|class="wikitable"
|+ 10차 마방진
|-
| 17 || 24 || 1 || 8 || 15 || 92 || 99 || 76 || 83 || 90
|-
| 23 || 5 || 7 || 14 || 16 || 98 || 80 || 82 || 89 || 91
|-
| 4 || 6 || ''88'' || 20|| 22 || 79 || 81 || ''13'' || 95 || 97
|-
| ''85'' || ''87'' || 19 || ''96'' || ''78'' || ''10'' || ''12'' || 94 || ''21'' || ''3''
|-
| ''86'' || ''93'' || ''100'' || ''77'' || ''84'' || ''11'' || ''18'' || ''25'' || ''2'' || 9 
|-
| 67 || 74 || 51 || 58 || 65 || 42 || 49 || 26 || 33 || 40
|-
| 73 || 55 || 57 || 64 || 66 || 48 || 30 || 32 || 39 || 41
|-
| 54 || 56 || 63 || 70 || 72 || 29 || 31 || 38 || 45 || 47
|-
| 60 || 62 || 69 || 71 || 53 || 35 || 37 || 44 || 46 || 28
|-
| ''36'' || ''43'' || ''50'' || ''27'' || ''34'' || ''61'' || ''68'' || ''75'' || ''52'' || ''59''
|}

* 다른 방법으로 LUX 방법이 있다. 이것은 다음과 같은 순서로 배열된 2×2 숫자패턴 L,U,X (2n+1)×(2n+1) 배열을 이용해 배열하는 것이다.
{|class="wikitable"
|-
|colspan="2"|L || rowspan="3"| &nbsp;|| colspan="2"|U || rowspan="3"| &nbsp; || colspan="2"|X
|-
| 4 || 1 || 1 || 4 || 1 || 4
|- 
| 2 || 3 || 2 || 3 || 3 || 2
|}

모두 가로의 합은 동일하며 세로의 합은 L은 (좌)=(우)+2, U는 (좌)=(우)-4, X는 (좌)=(우)-2가 성립한다. 따라서 각 세로줄마다 L은 n+1개, U는 1개, X는 n-1개씩 배열하면 직교방진이 성립한다. 또한 대각선은 L은 n개 U 2개, X는 n-1개씩 배열하면 된다.

그 다음에 위의 L,U,X 패턴 위에 (2n+1)×(2n+1) 마방진을 이용해 패턴번호를 붙인다. 우선 패턴 1번이 L로 마크된 경우는 L 모양으로 <math>\begin{bmatrix} 4&1 \\ 2 &3\end{bmatrix} </math>로 적는다. 그 다음에 패턴 2번이 X로 마크된 경우에는 X 모양으로 <math>\begin{bmatrix} 5&8 \\ 7 &6\end{bmatrix} </math> 이런 식으로 적는다. 이런 식으로 (2n+1)<sup>2</sup> 패턴까지 채운다. 그러면 (4n+2)개의 짝수 마방진이 완성된다.

일례로 LUX 패턴을 이용해서 10(=4×2+2)차 마방진을 작성할 수 있다. 우선 아래처럼 5×5 LUX 패턴을 작성하면 각 세로줄에는 L=3, U=X=1임을 확인할 수 있다. 또한 오른쪽의 5차 마방진도 만들 수 있다.

{|class="wikitable"
|-
| L || L || L || L || L || rowspan="5"| &nbsp; || 17 || 24 || 1 || 8 || 15
|-
| L || L || L || L || L || 23 || 5 || 7 || 14 || 16
|-
| L || L || U || L || L || 4 || 6 || 13 || 20 || 22
|-
| U || U || L || U || U || 10 || 12 || 19 || 21 || 3
|-
| X || X || X || X || X || 11 || 18 || 25 || 2 || 9
|}

이제 LUX 패턴에 맞추어 마방진을 작성하면 다음과 같이 만들 수 있다.

{|class="wikitable"
|+ 10차 마방진
|-
| 68 || 65 || 96 || 93 || 4 || 1 || 32 || 29 || 60 || 57
|-
| 66 || 67 || 94 || 95 || 2 || 3 || 30 || 31 || 58 || 59
|-
| 92 || 89 || 20 || 17 || 28 || 25 || 42 || 39 || 64 || 61
|-
| 90 || 91 || 18 || 19 || 26 || 27 || 40 || 41 || 62 || 63
|-
| 16 || 13 || 24 || 21 || 49 || 52 || 80 || 77 || 88 || 85
|-
| 14 || 15 || 22 || 23 || 50 || 51 || 78 || 79 || 86 || 87
|-
| 37 || 40 || 45 || 48 || 76 || 73 || 81 || 84 || 12 || 9
|-
| 38 || 39 || 46 || 47 || 74 || 75 || 82 || 83 || 10 || 11
|-
| 41 || 44 || 69 || 72 || 97 || 100 || 5 || 8 || 33 || 36
|-
| 43 || 42 || 71 || 70 || 99 || 98 || 7 || 6 || 35 || 34
|}

=== 마방진의 합성 ===
두 마방진 A, B을 이용해서 크로네커 곱(Kroneker Product)과 유사한 형태의 연산을 이용해서 원소를 생성할 수 있다. 이를 이용해서 전체가 마방진이면서 각 구획도 마방진을 이루는 방진을 이룰 수 있다. 특히 A, B가 완전대각방진(Panmagic Square)이 되면 합성마방진도 완전대각방진이 된다.

예시 - 3×3 마방진과 4×4 마방진의 합성으로 만들어지는 12×12 마방진. 여기서 '''A'''=(a<sub>ij</sub>)는 m차 마방진, '''B'''=(b<sub>ij</sub>)는 n차 마방진으로 놓을 때 <math>A \otimes_M B = \begin{bmatrix} (a_11 -1)I_n + B & (a_12 -1) I_n + B & \cdots & (a_1m -1) I_n + B \\ (a_21 -1)I_n + B & (a_22 -1) I_n + B & \cdots & (a_2m -1) I_n + B  \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  (a_m1 -1)I_n + B & (a_m2 -1) I_n + B & \cdots & (a_mm -1) I_n + B \end{bmatrix} </math> 

예시
<math> \begin{bmatrix} 1 & 15 & 14 & 4 \\ 12 & 6&7&9 \\ 8 & 10&12&5 \\ 13&3&2&16 \end{bmatrix} \otimes_M \begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5& 7 \\ 4&9&2 \end{bmatrix} </math>

결과
{|class="wikitable"
|+ 위의 두 마방진의 합성 
|-
| 8 || 1 || 6 || 134 || 127 || 132 || 125 || 118 || 123 || 35 || 28 || 33
|-
| 3 || 5 || 7 || 129 || 131 || 133 || 120 || 122 || 124 || 30 || 32 || 34
|-
| 4 || 9 || 2 || 130 || 135 || 128 || 121 || 126 || 119 || 31 || 36 || 29
|-
| 107 || 100 || 105 || 53||  46 || 51 || 62 || 55 || 60 || 80 || 73 || 78
|-
| 102 || 104 || 106 || 48 || 50 || 52 || 57 || 59 || 61 || 75 || 77 || 79
|-
| 103 || 108 || 101 || 49 || 54 || 47 || 58 || 63 || 56 || 76 || 81 || 74
|-
| 71 || 64 || 69 || 89 ||  82 || 87 || 98 || 91 || 96 || 44 || 37 || 42
|-
| 66 || 68 || 70 || 84 || 86 || 88 || 93 || 95 || 97 || 39 || 41 || 43
|-
| 67 || 72 || 65 || 85 || 90 || 83 || 94 || 99 || 92 || 40 || 45 || 38
|-
| 116 || 109 || 114 || 26 ||  19 || 24 || 17 || 10 || 15 || 143 || 136 || 141
|-
| 111 || 113 || 115 || 21 || 23 || 25 || 12 || 14 || 16 || 138 || 140 || 142
|-
| 112 || 117 || 110 || 22 || 27 || 20 || 13 || 18 || 11 || 139 || 144 || 137
|}

== 라틴방진 ==
{{본문|라틴방진}}
라틴방진(Latin Square)은 nXn 정사각행렬 중 1부터 n까지 원소가 n개씩 배열되어 있고, 각 행과 열에는 1부터 n까지 하나씩 들어가 있는 방진을 의미한다.

== 사토르 방진 ==
{{본문|사토르 방진}}
사토르 방진은 가로로 읽으나 세로로 읽으나 같은 문장이 되는 일종의 마방진이다. 회문이지 사토르 방진을 구성하는 "SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS"에서 유래한 이름이다.

== 변형된 형태 ==
정사각형 대신에 정육각형 배열로 구성된 Magic Hexagon이 있다.

또한 [[최석정]]의 구수략(九數略)에서는 마방진의 변형된 형태가 나온다. 대표적으로 육각형 형태로 숫자가 배열되어 있고, 각 육각형의 숫자들의 합이 일정한 지수귀문도, 십자가 모양의 사각형 모양인 낙서사구도,  방사형 형태의 중상용구도, 마방진+8각형 숫자 배열인 낙서구구도, 팔각형의 합을 구하는 후책용구도가 있다. <ref> 참조 : [http://dl.dongascience.com/magazine/view/S199912N022 동아사이언스 라이브러리, 300년만에 풀린 최석정의 마법진 (1997년 12월호)]</ref>

=== 별 모양 ===
각 변의 합이 26인 육각 별 모양(Magic Hexagram) 배열은 다음과 같다.

[[파일:Magic Hexagram.png|200px]]

좀 더 일반적으로, 육각별, 칠각별, 팔각별 배열도 존재한다. 단 오각별 배열은 존재하지 않는다.

{| style="margin:auto"
|- valign="bottom"
| style="padding: 0 1em" | [[파일:Magic6star-sum26.svg]]
| style="padding: 0 1em" | [[파일:magic7star-sum30.svg]]
| style="padding: 0 1em" | [[파일:magic8star-sum34.svg]]
|-
| align="center" | Magic hexagram<br />''M'' = 26
| align="center" | Magic heptagram<br />''M'' = 30
| align="center" | Magic octagram<br />''M'' = 34
|}

=== 육각형 모양 ===

=== 구수략에 나타난 형태 ===
{{본문|마방진/구수략|마법진/구수략}}

구수략에서는 지수귀문도, 낙서사구도, 중상용구도, 낙서구구도, 후책용구도 등이 등장한다.

==== 지수귀문도 ====

{{본문|지수귀문도}}

지수귀문도(地數龜文圖)는 벌집 모양으로 배열된 숫자들이 1부터 1개씩 커지면서 각 육각형의 여섯 꼭짓점의 숫자의 합이 모두 일치하는 형태를 말한다.

== 관련 문서 ==
* [[레크리에이션/수학]]
* [[완전대각방진]]

{{각주}}
[[분류:수학]]
[[분류:취미]]
[[분류:마방진| ]]
{{번역된 문서|en|Magic Square|740717847|일부}}