편집을 취소할 수 있습니다. 이 편집을 되돌리려면 아래의 바뀐 내용을 확인한 후 게시해주세요.
| 최신판 | 당신의 편집 | ||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
{{토막글}} | |||
{{학술}} | |||
== 정의 == | == 정의 == | ||
\(s\)가 \(\operatorname{Re} s >1\)인 [[복소수]]일 때, [[함수]] \(\zeta:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\)를 | |||
: <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math> | : <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math> | ||
로 정의하면 | 로 정의하면 \(\zeta(s)\)는 [[수렴]]한다. 이때 \(\zeta\)를 '''리만 제타함수(Riemann zeta function)'''라고 한다. | ||
== 수치 == | == 수치 == | ||
| 13번째 줄: | 13번째 줄: | ||
== 성질 == | == 성질 == | ||
* <math>\zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}</math> | * <math>\zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}</math> | ||
* | * \(\operatorname{Re} s > 2\)일 때 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}</math>이다. 이때 \(\phi\)는 [[오일러 피 함수]]이다. | ||
== 현재까지 알려진 성과 == | == 현재까지 알려진 성과 == | ||
* | * \(\zeta(3)\)은 [[무리수]]이다. <ref>Apéry, R. (1979). "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)". Astérisque 61: 11–13.</ref> | ||
* | * \(\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)\) 중 적어도 하나는 무리수이다.<ref>W W Zudilin, "One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational", RUSS MATH SURV, 2001, 56 (4), 774–776</ref> | ||
* | * \(k\)가 양의 [[정수]]일 때, \(\zeta(2k+1)\) 꼴의 수 중 무리수는 무수히 많다.<ref>Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique 331 (4): 267–270.</ref> | ||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == | ||
| 24번째 줄: | 24번째 줄: | ||
{{각주}} | {{각주}} | ||