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[[피보나치 수열]]의 확장판이라 할 수 있다. == 뤼카 수 == 뤼카 수(Lucas number)는 아래 점화식으로 정의된다. * <math>L_0=2, L_1=1</math> * <math>L_{n+2}=L_{n+1}+L_n</math> 참고로 [[피보나치 수]] <math>\{F_n\}</math>의 경우 <math>F_0=0, F_1=1</math>에서 출발하며 점화식은 동일하다. 0번째 항부터 처음 항들을 나열하면 :2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, … 이다. 항의 번호를 음의 정수로도 확장하면 점화식을 <math>L_{n-2}=L_n-L_{n-1}</math>과 같이 변형할 수 있다. 2는 여전히 0번째 항이다. :… 18, -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … === 피보나치 수와의 관계 === 점화식을 풀면 아래와 같이 나타낼 수 있다. <math>\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>이며, <math>\phi+\psi=1, \phi\psi=-1</math>이다. * <math>F_n=\frac{\phi^n-\psi^n}{\phi-\psi}, L_n=\phi^n+\psi^n</math> 두 수열의 이웃한 항끼리의 비는 항이 커짐에 따라 [[황금비]]에 가까워진다. 음의 방향으로는 황금비에 마이너스 부호가 딸려 나온다. * <math>\lim_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{L_{n+1}}{L_n}=\phi</math> * <math>\lim_{n \to -\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}=\lim_{n \to -\infty}\frac{L_{n-1}}{L_n}=\psi^{-1}=-\phi</math> 또한 항 번호가 음의 정수일 때, 두 수열은 홀수 번째, 짝수 번째 항의 부호 교대가 거꾸로 나타난다. * <math>L_{-n}=(-1)^n L_n, F_{-n}=-(-1)^n F_n</math> 만약 점화식은 동일하고, 초기 조건이 <math>a_0=u, a_1=v</math>로 주어졌을 때, 이 수열은 위 두 수열의 일차결합으로 표현할 수 있다. * <math>a_n=\frac{u}{2}L_n+\left(v-\frac{u}{2}\right)F_n</math> 그 밖에 아래와 같은 성질들이 있다. * <math>L_n=F_{n-1}+F_{n+1}, F_n=\frac{L_{n-1}+L_{n+1}}{5}</math> * <math>L_{m+n}=\frac{L_mL_n+5F_mF_n}{2}</math> * <math>L_{2n}=L_n^2-2(-1)^n=5F_n^2+2(-1)^n</math> * <math>F_{m+n}=\frac{F_mL_n+L_mF_n}{2}</math> * <math>F_{2n}=L_nF_n</math> == 뤼카 수열 == 위의 점화식을 일반적인 일차결합으로 확장할 수 있다. 일반화된 뤼카수열에는 제1종과 2종이 있다. * 제1종 뤼카 수열: <math>U_0(P, Q)=0, U_1(P, Q)=1, U_{n+2}(P, Q) =P\cdot U_{n+1}(P, Q)-Q\cdot U_n(P, Q)</math> * 제2종 뤼카 수열: <math>V_0(P, Q)=2, V_1(P, Q)=P, V_{n+2}(P, Q) =P\cdot V_{n+1}(P, Q)-Q\cdot V_n(P, Q)</math> 이 점화식을 풀면 아래와 같이 표현된다. <math>\alpha, \beta</math>는 방정식 <math>x^2+Px+Q=0</math>의 해이다. * <math>\alpha=\frac{P+\sqrt{P^2-4Q}}{2}, \beta=\frac{P-\sqrt{P^2-4Q}}{2}</math> * <math>U_n(P, Q)=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}</math> * <math>V_n(P, Q)=\alpha^n+\beta^n</math> === 성질 === 이들 수열의 성질은 앞서 소개한 <math>F_n, L_n</math>과 비슷한 모양으로 쓸 수 있다. 단, <math>D=(\alpha-\beta)^2=P^2-4Q</math>이며, 표기의 편의를 위해 <math>U_n(P, Q)=U_n, V_n(P, Q)=V_n</math>으로 쓴다. * <math>V_n=U_{n-1}-QU_{n+1}, U_n=\frac{V_{n-1}-QV_{n+1}}{D}</math> * <math>V_{m+n}=\frac{V_mV_n+DU_mU_n}{2}</math> * <math>V_{2n}=V_n^2-2Q^n=DU_n^2+2Q^n</math> * <math>U_{m+n}=\frac{U_mV_n+V_mU_n}{2}</math> * <math>U_{2n}=V_nU_n</math> == 특수한 뤼카 수열 == * <math>P=1, Q=-1</math>: 이 경우 피보나치 수 및 뤼카 수와 같다. <math>U_n(1, -1)=F_n, V_n(1, -1)=L_n</math> * <math>P=2, Q=-1</math>: <math>U_n(2, -1)=\frac{(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}</math>은 [[펠 수]]이며, <math>V_n(2, -1)=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n</math>은 펠-뤼카 수이다. * <math>P=3, Q=2</math>: <math>U_n(3, 2)=2^n-1</math>은 [[메르센 수]]와 같다. <math>V_n(3, 2)=2^n+1</math>의 경우 <math>n=2^k</math>이면 이 수는 [[페르마 수]]가 된다. * <math>P=1, Q=-2</math>: <math>U_n(1, -2)=\frac{2^n-(-1)^n}{3}</math>의 홀수 번째 항은 [[와그스태프 소수|와그스태프 수]]와 같다. * <math>P=4, Q=1</math>: <math>V_n(4, 1)=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n</math>에서 <math>r_k=V_{2^k}(4, 1)</math>은 [[뤼카-레머 소수판정법]]에 쓰이는 수열이다. == 같이 보기 == * [[피보나치 수열]] * [[피보나치 소수|피보나치 소수, 뤼카 소수]] * [[황금비]], [[금속비]] {{각주}} [[분류:수열]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)