로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요![[다변수함수]] <math>\psi=\psi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math>에 대한 [[편미분방정식]] :<math>\nabla^2 \psi=0</math> 를 '''라플라스 방정식'''(Laplace equation)이라 하고, 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 '''[[조화함수]]'''(Harmonic function)라고 한다. == 공식 == === 3차원 좌표계<ref>{{책 인용|저자=Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion|기타=강석태 옮김|제목=일반역학|판=제5판|출판사=Cengage Learning|ISBN=9788962183009}}</ref> === * 직각좌표계: <math>\psi=\psi(x,y,z)</math> : <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=0</math> * 원통좌표계: <math>\psi=\psi(r,\phi,z)</math> : <math>\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=0</math> * 구면좌표계: <math>\psi=\psi(r,\theta,\phi)</math> : <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2}=0</math> === 2차원 좌표계 === * 직각좌표계: <math>\psi=\psi(x,y)</math> : <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0</math> * 극좌표계: <math>\psi=\psi(r,\theta)</math> : <math>\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \theta^2}=0</math> == 해의 존재성과 유일성 == {{빈 문단}} == 방정식의 일반해 == === 2차원 직각좌표계 === 라플라스 방정식 : <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0</math> 을 변수분리법으로 풀자. 함수 <math>X(x), Y(y)</math>에 대해 : <math>\psi(x,y)=X(x)Y(y)</math> 라고 가정하자. 그러면 라플라스 방정식은 : <math>X''Y+Y''X=0</math> 로 주어진다. 양변을 <math>XY</math>로 나누면 : <math>\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0</math> 를 얻는다. 그러면 : <math>\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=k</math> 인 <math>k\in\mathbb{R}</math>가 존재한다. 따라서 다음 이계미분방정식을 얻는다. : <math>X''=kX,\quad Y''=-kY</math> * <math>k>0</math>이면, <math>k=\lambda^2</math>인 <math>\lambda\in\mathbb{R}</math>가 존재한다. 따라서 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. (단, <math>A,B,C,D</math>는 상수) *: <math>X(x)=A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x,\quad Y(y)=C\cos\lambda y+D\sin\lambda y</math> * <math>k=0</math>이면 <math>X''=0,Y''=0</math>이므로 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. *: <math>X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy</math> * <math>k<0</math>이면 <math>k>0</math>일 때와 비슷한 방법으로 미분방정식의 해를 구할 수 있다. == 경계값 문제 == <math>0< x< a,0< x< b</math>에서 경계값 문제 : <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0</math> : <math>u(x,0)=0,u(x,b)=0,u(0,y)=0,u(a,y)=f(y)</math> 를 만족하는 영이 아닌 함수 <math>u(x,y)=X(x)Y(y)</math>를 구하자. <math>k<0</math>일 경우, : <math>X(x)=A\cos\lambda x+B\sin\lambda x,\quad Y(y)=C\cosh\lambda y+D\sinh\lambda y</math> 이다. : <math>u(x,0)=C(A\cos\lambda x+B\sin\lambda x)=0</math> 인데 <math>A=B=0</math>이면 <math>X(x)=0</math>이므로 <math>C=0</math>이다. : <math>u(0,y)=AD\sinh\lambda y=0</math> 인데 <math>D=0</math>이면 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>A=0</math>이다. : <math>u(x,b)=BD\sin\lambda x\sinh \lambda b=0</math> 인데 <math>B=0</math> 또는 <math>D=0</math>이다. 어느 경우든 <math>X(x)=0</math> 또는 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>k<0</math>일 수 없다. <math>k=0</math>일 경우, : <math>X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy</math> 이다. : <math>u(x,0)=C(A+Bx)=0</math> 인데 <math>A=B=0</math>이면 <math>X(x)=0</math>이므로 <math>C=0</math>이다. : <math>u(0,y)=ADy=0</math> 인데 <math>D=0</math>이면 <math>Y(x)=0</math>이므로 <math>A=0</math>이다. : <math>u(x,b)=BDxb=0</math> 인데 <math>B=0</math> 또는 <math>D=0</math>이다. 어느 경우라도 <math>X(x)=0</math> 또는 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>k=0</math>일 수 없다. <math>k>0</math>일 경우, : <math>X(x)=A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x,\quad Y(y)=C\cos\lambda y+D\sin\lambda y</math> 이다. : <math>u(x,0)=C(A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x)=0</math> 인데 <math>A=B=0</math>이면 <math>X(x)=0</math>이므로 <math>C=0</math>이다. : <math>u(0,y)=AD\sin\lambda y=0</math> 인데, <math>D=0</math>이면 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>A=0</math>이다. : <math>u(x,b)=BD\sinh\lambda x\sin\lambda b=0</math> 이므로 <math>B=0</math> 또는 <math>D=0</math> 또는 <math>\sin\lambda b=0</math>이다. 따라서 자연수 ''n''에 대해 <math>\lambda =\frac{n\pi}{b}</math>이다. 따라서 : <math>u_n(x,y)=\sinh\frac{n\pi x}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}</math> 는 경계값 문제의 해이다. 이제 <math>u(x,y)</math>를 상수 <math>c_1,c_2,\dots</math>에 대해 : <math>u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \sinh\frac{n\pi x}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}</math> 로 나타낼 수 있다. 그러면 : <math>u(a,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \sinh\frac{n\pi a}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}=f(y)</math> 인데, : <math>f(y)\sin\frac{n\pi y}{b}=\sin\frac{n\pi y}{b}\sum_{k=1}^{\infty}c_k \sinh\frac{k\pi a}{b}\sin\frac{k\pi y}{b}</math> 이고 양변을 0에서 b까지 정적분하면 : <math>c_n=\frac{2}{b\sinh\frac{n\pi a}{b}}\int_0^b f(y)\sin \frac{n\pi y}{b}dy</math> 를 얻는다.<ref>Braun, M. (1975). Differential equations and their applications: An introduction to applied mathematics. New York: Springer-Verlag. {{ISBN|0387978941}}</ref> == 등장 시점 == === 열확산방정식 === 열 ''T''에 대해, 시간에 따른 [[열방정식]]은 : <math>\frac{\partial T}{\partial t}=D\nabla^2 T</math> 으로 주어진다. 만약 [[정상 상태]]에 있을 경우, <math>\frac{\partial T}{\partial t}=0</math>이므로 : <math>\nabla^2 T=0</math> 이 되어 라플라스 방정식을 얻는다.<ref>Stephen J. Blundell · Katherine M. Blundell (2010). ''Concepts in Thermal Physics'' (2nd ed.) Oxford University Press. {{ISBN|9780199562107}}</ref> == 같이 보기 == * [[푸아송 방정식]] {{각주}} [[분류:편미분방정식]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:빈 문단 (원본 보기) (준보호됨)틀:서적 인용 (편집) 틀:책 인용 (편집)