라플라스 방정식 편집하기

{{학술 관련 정보}}
== 정의 ==
[[다변수함수]] <math>\psi=\psi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math>에 대한 [[편미분방정식]]
:<math>\triangledown^2 \psi=0</math>
를 '''라플라스 방정식(Laplace equation)'''이라 하고, 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 '''[[조화함수]](Harmonic function)'''라고 한다.

== 공식 ==
=== 3차원 좌표계<ref>Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion (2011). 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. pp. 678-681. ISBN 9788962183009</ref> ===
* 직각좌표계: <math>\psi=\psi(x,y,z)</math>
: <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=0</math>
* 원통좌표계: <math>\psi=\psi(r,\phi,z)</math>
: <math>\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=0</math>
* 구면좌표계: <math>\psi=\psi(r,\theta,\phi)</math>
: <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2}=0</math>

=== 2차원 좌표계 ===
* 직각좌표계: <math>\psi=\psi(x,y)</math>
: <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0</math>
* 극좌표계: <math>\psi=\psi(r,\theta)</math>
: <math>\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \theta^2}=0</math>

== 해의 존재성과 유일성 ==

== 방정식의 일반해 ==
=== 2차원 직각좌표계 ===
라플라스 방정식
: <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0</math>
을 변수분리법으로 풀자. 함수 <math>X(x), Y(y)</math>에 대해
: <math>\psi(x,y)=X(x)Y(y)</math>
라고 가정하자. 그러면 라플라스 방정식은
: <math>X''Y+Y''X=0</math>
로 주어진다. 양변을 <math>XY</math>로 나누면
: <math>\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0</math>
를 얻는다. 그러면
: <math>\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=k</math>
인 <math>k\in\mathbb{R}</math>가 존재한다. 따라서 다음 이계미분방정식을 얻는다.
: <math>X''=kX,\quad Y''=-kY</math>
* <math>k>0</math>이면, <math>k=\lambda^2</math>인 <math>\lambda\in\mathbb{R}</math>가 존재한다. 따라서 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. (단, <math>A,B,C,D</math>는 상수)
*: <math>X(x)=A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x,\quad Y(y)=C\cos\lambda y+D\sin\lambda y</math>
* <math>k=0</math>이면 <math>X''=0,Y''=0</math>이므로 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.
*: <math>X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy</math>
* <math>k<0</math>이면 <math>k>0</math>일 때와 비슷한 방법으로 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

== 경계값 문제 ==
<math>0< x< a,0< x< b</math>에서 경계값 문제
: <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0</math>
: <math>u(x,0)=0,u(x,b)=0,u(0,y)=0,u(a,y)=f(y)</math>
를 만족하는 영이 아닌 함수 <math>u(x,y)=X(x)Y(y)</math>를 구하자.

<math>k<0</math>일 경우,
: <math>X(x)=A\cos\lambda x+B\sin\lambda x,\quad Y(y)=C\cosh\lambda y+D\sinh\lambda y</math>
이다.
: <math>u(x,0)=C(A\cos\lambda x+B\sin\lambda x)=0</math>
인데 <math>A=B=0</math>이면 <math>X(x)=0</math>이므로 <math>C=0</math>이다.
: <math>u(0,y)=AD\sinh\lambda y=0</math>
인데 <math>D=0</math>이면 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>A=0</math>이다.
: <math>u(x,b)=BD\sin\lambda x\sinh \lambda b=0</math>
인데 <math>B=0</math> 또는 <math>D=0</math>이다. 어느 경우든 <math>X(x)=0</math> 또는 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>k<0</math>일 수 없다.

<math>k=0</math>일 경우,
: <math>X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy</math>
이다.
: <math>u(x,0)=C(A+Bx)=0</math>
인데 <math>A=B=0</math>이면 <math>X(x)=0</math>이므로 <math>C=0</math>이다.
: <math>u(0,y)=ADy=0</math>
인데 <math>D=0</math>이면 <math>Y(x)=0</math>이므로 <math>A=0</math>이다.
: <math>u(x,b)=BDxb=0</math>
인데 <math>B=0</math> 또는 <math>D=0</math>이다. 어느 경우라도 <math>X(x)=0</math> 또는 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>k=0</math>일 수 없다.

<math>k>0</math>일 경우,
: <math>X(x)=A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x,\quad Y(y)=C\cos\lambda y+D\sin\lambda y</math>
이다.
: <math>u(x,0)=C(A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x)=0</math>
인데 <math>A=B=0</math>이면 <math>X(x)=0</math>이므로 <math>C=0</math>이다.
: <math>u(0,y)=AD\sin\lambda y=0</math>
인데, <math>D=0</math>이면 <math>Y(y)=0</math>이므로 <math>A=0</math>이다.
: <math>u(x,b)=BD\sinh\lambda x\sin\lambda b=0</math>
이므로 <math>B=0</math> 또는 <math>D=0</math> 또는 <math>\sin\lambda b=0</math>이다. 따라서 자연수 ''n''에 대해 <math>\lambda =\frac{n\pi}{b}</math>이다. 따라서
: <math>u_n(x,y)=\sinh\frac{n\pi x}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}</math>
는 경계값 문제의 해이다.
이제 <math>u(x,y)</math>를 상수 <math>c_1,c_2,\dots</math>에 대해
: <math>u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \sinh\frac{n\pi x}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}</math>
로 나타낼 수 있다. 그러면
: <math>u(a,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \sinh\frac{n\pi a}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}=f(y)</math>
인데,
: <math>f(y)\sin\frac{n\pi y}{b}=\sin\frac{n\pi y}{b}\sum_{k=1}^{\infty}c_k \sinh\frac{k\pi a}{b}\sin\frac{k\pi y}{b}</math>
이고 양변을 0에서 b까지 정적분하면
: <math>c_n=\frac{2}{b\sinh\frac{n\pi a}{b}}\int_0^b f(y)\sin \frac{n\pi y}{b}dy</math>
를 얻는다.<ref>Braun, M. (1975). Differential equations and their applications: An introduction to applied mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387978941</ref>

== 등장 시점 ==

=== 열확산방정식 ===
열 ''T''에 대해, 시간에 따른 [[열방정식]]은
: <math>\frac{\partial T}{\partial t}=D\triangledown^2 T</math>
으로 주어진다. 만약 [[정상 상태]]에 있을 경우, <math>\frac{\partial T}{\partial t}=0</math>이므로
: <math>\triangledown^2 T=0</math>
이 되어 라플라스 방정식을 얻는다.<ref>Stephen J. Blundell · Katherine M. Blundell (2010). ''Concepts in Thermal Physics'' (2nd ed.) Oxford University Press. ISBN 9780199562107</ref>

== 같이 보기 ==
* [[푸아송 방정식]]

{{각주}}

[[분류:편미분방정식]]