라디안 편집하기

{{학술}}
{{작성중}}
== 정의 ==
[[파일:Circle radians.gif|섬네일|300px]]
'''라디안(radian)'''은 각도 단위 중 하나로, [[부채꼴]]의 반지름과 호의 길이가 같을 때 중심각의 크기를 '''1라디안'''이라고 하고, <math>1\operatorname{rad}</math>로 쓴다. 보통 <math>\operatorname{rad}</math>는 생략한다. 예를 들어, <math>\sin (1\operatorname{rad})</math>은 <math>\sin 1</math>로 간단하게 표기한다.

== 역사 ==
라디안이라는 표현이 사용된 것은 비교적 최근으로 알려져 있다.

[[파일:Roger cotes.jpg|섬네일|로저 코츠의 초상]]
호도, 즉 부채꼴의 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때 그 부채꼴의 중심각의 각도라는 개념 자체는 [[1917년]] 영국의 수학자였던 로저 코츠(Roger Cotes, [[1682년]] [[7월 10일]]~[[1716년]] [[6월 5일]])에 의해 이미 사용되고 있었다. 다만 어디까지나 개념만 언급한 것이지, 라디안이라는 이름까진 언급하진 않고 있다.<ref>http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html</ref>

현재까지 남겨진 기록 중 라디안이라는 이름이 처음으로 등장하기 시작한 것은 [[1873년]] [[6월 5일]] [[위키백과:퀸스 대학교 벨파스트|퀸스 대학교 벨파스트]]의 물리학자였던 제임스 톰슨(James Thomson)이 낸 시험 문제에서의 등장이 처음이라고 한다. [[카더라 통신]]에 의하면 원래 제임스 톰슨이 라디안이라는 표현을 쓴 것은 그보다 훨씬 전인 [[1871년]]부터였지만. 

[[위키백과:세인트앤드루스 대학교|세인트앤드루스 대학교]]의 교수였던 [[토머스 뮤어]]는 [[1869년]] 내내  '이 부채꼴의 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때 그 부채꼴의 중심각의 각도'의 이름을 라드(rad), 라디알(radial), 라디안(radian) 중에서 뭘로 정할지 고민했었다고 한다.

이후 6년이라는 긴 시간이 지난 [[1874년]]이 되어서야 토머스 뮤어는 이 특수한 각의 명칭을 제임스 톰슨과의 상의 끝에 라디안으로 채택하게 된다.<ref>카조리 플로리안, [[1929년]], History of Mathematical Notations 2. pp.147–148, ISBN 0-486-67766-4.</ref>

== 60분법과의 관계 ==
라디안과 [[60분법]]의 관계를 알기 위해서는 세 가지를 머릿속에 담고 있어야 한다.

첫번째로, [[원주율]]에 대해서 명심할 사실이 있는데 '''π×(원의 지름)=(원의 둘레)라는 사실이다.''' 양변에 똑같이 2를 나눠보면 π×(원의 지름)/2=(원의 둘레)/2가 되므로 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)가 된다.

두번째로, '''[[부채꼴]]에서 중심각의 크기는 그 부채꼴의 호의 길이에 비례한다는 사실'''이다. 

세번째로, '''중심각이 1rad인 부채꼴의 호의 길이는 반지름과 같다.'''이다.

따라서<br>
π×(원의 반지름):π×1rad=(반원의 호의 길이):(반원의 중심각의 크기)<br>
이렇게 되는데 상술했듯 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)이므로
<br>
(같은 거):π×1rad=(같은 거):(반원의 중심각의 크기)<br>
가 된다. 서로 같은 것에 대한 비례가 같다는 게 무슨 뜻이겠어? 당연히 그것들도 같다는 뜻이다.

결국<br>
π×1rad=(반원의 중심각의 크기)<br>
가 되므로<br>

'''πrad=180°'''이다.

그리하여 2πrad=360°, πrad/2=90°, πrad/4=45°,....이 된다는 것도 알 수 있다.

이러한 이유로 라디안은 원주율과 합쳐서 각도를 나타낼 때도 있는데 이때 °로 끝나지 않기 때문에 각도가 아니라고 착각을 하기가 쉽다.게다가 상술했듯이 원주율 뒤의 rad를 생략할 때가 많아서 π/2가 90°의 각도라는 것을 모르고 이게 길이인 줄 알고 잘못 계산하는 경우가 있다. 조심하자.

하단의 표는 모두 π 뒤에 원래 곱해져 있던 rad를 생략한 것이다. 따라서 그걸 감안하고 보아야 한다.

{| class="wikitable"
! 도
! 라디안
|-
| 0°
| 0
|-
| 15°
| π/12
|-
| 30°
| π/6
|-
| 45°
| π/4
|-
| 60°
| π/3
|-
| 90°
| π/2
|-
| 135°
| 3π/4
|-
| 180°
| π
|-
| 270°
| 3π/2
|-
| 360°
| 2π
|}

부채꼴의 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때, 반지름을 <math>r</math>이라 하면
: <math>2\pi r : 360^\circ = r:\alpha^\circ</math>
에서
: <math>\alpha^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}</math>
이므로
: <math>1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}</math>
을 얻는다. 그런데 [[2015 개정 교육과정]]을 따르는 [[미적분Ⅱ]] [[교과서]]를 검토하면 대부분이 라디안을 "일정한 각의 크기 <math>\frac{180^\circ}{\pi}</math>를 <math>1\operatorname{rad}</math>이라 한다"라고 정의하고 있는데, 이는 라디안이 새로운 측도가 아니라 단순히 60분법의 변환에 불과하다는 인상을 준다는 단점이 있다.<ref name="choi">{{저널 인용|저자=최은아, 강향임|연도=2015|월=9|제목=예비교사의 라디안에 대한 이해|저널=학교수학|권=17|호=2}}</ref>{{rp|313-314}}

== 호의 길이와 넓이 ==
{{참조|부채꼴}}
반지름이 <math>r</math>, 중심각이 <math>\theta</math>인 부채꼴의 호의 길이를 <math>l</math>, 부채꼴의 넓이를 <math>S</math>라 하면
: <math>l=r\theta</math>
: <math>S=\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl</math>
이다.
{{글 숨김|제목=Proof|1=중심각의 크기에 정비례하기 때문에 
: <math>2\pi r : l = 2\pi : \theta</math>
이고, 따라서 호의 길이는
: <math>l=\frac{2\pi r\cdot \theta}{2\pi}=r\theta</math>
이다. 마찬가지로 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하기 때문에
: <math>\pi r^2 : S = 2\pi : \theta</math>
이고, 따라서
: <math>S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl</math>
이다.
}}
{{글 숨김|제목=말로 풀이|1=
우선 부채꼴에서 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하기 때문에<br>
(원의 지름):(부채꼴의 호의 길이)=(원의 중심각의 크기(?)<ref>360° 말하는 거지 뭐겠어?</ref>:(부채꼴의 중심각의 크기)이다.

이때 이 비를 [[비례식]] 문서에도 나오지만 '''분수 형태로 바꿔줄 수 있다.'''<br>
<math>\frac{(원의 지름)}{(부채꼴의 호의 길이)} = \frac{(원의 중심각의 크기)}{(부채꼴의 중심각의 크기)}</math><br>
이렇게.

이때 양변에 <math>\frac{(부채꼴의 호의 길이)×(부채꼴의 중심각의 크기)}{(원의 중심각의 크기)}</math>를 곱해주면 양변이 약분이 되면서<br>
(부채꼴의 호의 길이)=<math>\frac{(원의 지름)×(부채꼴의 중심각의 크기)}{(원의 중심각의 크기)}</math>가 된다.

따라서 위 증명에서 서술했듯 <math>S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl</math>가 된다.

Q.E.D.
}}
여기서 <math>l=r\theta</math>에 등장하는 <math>\theta</math>에는 <math>\operatorname{rad}</math>이 붙어있지 않다. <math>\operatorname{rad}</math>가 붙어 있다고 가정하고, <math>r,l</math>에 길이 단위인 미터를 붙이면
: <math>l\;(\mathrm{m})=r\theta\;(\mathrm{m\times rad})</math>
으로 단위 차원이 일치하지 않기 때문이다.<ref>{{저널 인용|저자=김완재|연도=2009|월=8|제목=라디안의 속성에 관한 연구: 1rad은 각인가 실수인가?|저널=수학교육학연구|권=19|호=3|쪽=446}}</ref>

== 미적분과 라디안 ==

: <math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1</math>

: <math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^\circ}{x}=\frac{\pi}{180}</math>

: <math>\frac{d}{dx}\sin x =\cos x</math>

: <math>\frac{d}{dx}\sin x^\circ = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ</math>

: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math>

: <math>\sin x = </math>
== 포장함수 ==
{{참조|삼각함수}}
원 <math>x^2+y^2= r^2\;(r>0)</math> 위의 임의의 한 점을 <math>\mathrm{P}(x,y)</math>라 하고, <math>\mathrm{A}=(r,0)</math>이며, <math>\theta=\angle \mathrm{POA}</math>라 하면 삼각함수는 다음과 같이 정의된다.
: <math>\sin\theta=\frac{y}{r}</math>
: <math>\cos\theta=\frac{x}{r}</math>
: <math>\tan\theta=\frac{y}{x}</math>
: <math>\csc\theta=\frac{r}{y}</math>
: <math>\sec\theta=\frac{r}{x}</math>
: <math>\cot\theta=\frac{x}{y}</math>
이때 삼각함수는 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수가 맞을까? 어떤 교과서는 "일반각을 호도법으로 나타내고 단위를 생략하면 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수가 된다"라고 서술하며,<ref>{{서적 인용|제목=미적분Ⅱ 교사용 지도서|저자=우정호 외 24명|연도=2014|출판사=두산동아(주)}}</ref> 예비교사 다수도 <math>\operatorname{rad}</math>를 생략하면 삼각함수의 정의역이 실수가 된다고 답하였다.<ref name="choi" />{{rp|321}}  래핑을 통한 은유가 제안되기도 한다.<ref>{{저널 인용|저자=Hatice Akkoc|연도=2008|월=10|제목=Pre-service mathematics teachers’ concept images of radian|저널=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|권=39|호=7|쪽=876}}</ref> 실제로 Precalculus 교재 일부는 
포장함수(wrapping function) <math>W(x)</math>를 정의한다.<ref>{{서적 인용|제목=Precalculus: Functions and Graphs|저자=Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen|url=http://www.mhhe.com/math/precalc/barnettpc5/graphics/barnett05pcfg/ch05/others/bpc5_ch05-01.pdf|확인날짜=2016-04-12|판=5th edition|날짜=2000-07-01|출판사=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ISBN=978-0072368710|장=Chapter 5, Section 1}}</ref>
: <math>W(0)=(1,0)</math>
: <math>W(1)=(0,1)</math>
: <math>W\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)</math>
<math>\cos\theta</math>는 <math>W(\theta)</math>의 <math>x</math>좌표, <math>\sin\theta</math>는 <math>W(\theta)</math>의 <math>y</math>좌표로 정의한다.<ref>{{서적 인용|제목=Precalculus: Functions and Graphs|저자=Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen|url=http://www.mhhe.com/math/precalc/barnettpc5/graphics/barnett05pcfg/ch05/others/bpc5_ch05-02.pdf|확인날짜=2016-04-12|판=5th edition|날짜=2000-07-01|출판사=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ISBN=978-0072368710|장=Chapter 5, Section 2}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[삼각함수]]

{{각주}}