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{{학술}} | |||
{{작성중}} | |||
== 정의 == | |||
[[파일:Circle radians.gif|섬네일|300px]] | [[파일:Circle radians.gif|섬네일|300px]] | ||
[[부채꼴]]의 반지름과 호의 길이가 같을 때 중심각의 크기를 1'''라디안(radian)'''이라고 하고, <math>1\operatorname{rad}</math>로 쓴다. 보통 <math>\operatorname{rad}</math>는 생략한다. 예를 들어, <math>\sin (1\operatorname{rad})</math>은 <math>\sin 1</math>로 간단하게 표기한다. | |||
== 60분법과의 관계 == | == 60분법과의 관계 == | ||
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첫번째로, [[원주율]]에 대해서 명심할 사실이 있는데 '''π×(원의 지름)=(원의 둘레)라는 사실이다.''' 양변에 똑같이 2를 나눠보면 π×(원의 지름)/2=(원의 둘레)/2가 되므로 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)가 된다. | 첫번째로, [[원주율]]에 대해서 명심할 사실이 있는데 '''π×(원의 지름)=(원의 둘레)라는 사실이다.''' 양변에 똑같이 2를 나눠보면 π×(원의 지름)/2=(원의 둘레)/2가 되므로 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)가 된다. | ||
두번째로, '''[[부채꼴]]에서 중심각의 크기는 그 부채꼴의 호의 길이에 비례한다는 사실'''이다. | 두번째로, '''[[부채꼴]]에서 중심각의 크기는 그 부채꼴의 호의 길이에 비례한다는 사실'''이다. | ||
세번째로, '''중심각이 1rad인 부채꼴의 호의 길이는 반지름과 같다.'''이다. | 세번째로, '''중심각이 1rad인 부채꼴의 호의 길이는 반지름과 같다.'''이다. | ||
따라서<br | 따라서<br> | ||
π×(원의 반지름):π×1rad=(반원의 호의 길이):(반원의 중심각의 크기)<br | π×(원의 반지름):π×1rad=(반원의 호의 길이):(반원의 중심각의 크기)<br> | ||
이렇게 되는데 상술했듯 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)이므로 | 이렇게 되는데 상술했듯 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)이므로 | ||
<br | <br> | ||
(같은 거):π×1rad=(같은 거):(반원의 중심각의 크기)<br | (같은 거):π×1rad=(같은 거):(반원의 중심각의 크기)<br> | ||
가 된다. 서로 같은 것에 대한 비례가 같다는 게 무슨 뜻이겠어? 당연히 그것들도 같다는 뜻이다. | 가 된다. 서로 같은 것에 대한 비례가 같다는 게 무슨 뜻이겠어? 당연히 그것들도 같다는 뜻이다. | ||
결국<br | 결국<br> | ||
π×1rad=(반원의 중심각의 크기)<br | π×1rad=(반원의 중심각의 크기)<br> | ||
가 되므로<br | 가 되므로<br> | ||
'''πrad=180°'''이다 | ''''πrad=180°''''이다. | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
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| 90° | | 90° | ||
| π/2 | | π/2 | ||
|- | |- | ||
| 180° | | 180° | ||
| π | | π | ||
|- | |- | ||
| 360° | | 360° | ||
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|} | |} | ||
상술한 이유로 라디안은 원주율과 합쳐서 각도를 나타낼 때도 있는데 이때 °로 끝나지 않기 때문에 착각을 하기가 쉽다. 상술했듯이 원주율 뒤의 rad를 생략할 때가 많아서서 π/2가 90°의 각도라는 것을 모르고 이게 길이인 줄 알고 잘못 계산하는 경우가 있다. 조심하자. | |||
: <math>1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}</math> | : <math>1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}</math> | ||
그런데 [[2015 개정 교육과정]]을 따르는 [[미적분Ⅱ]] [[교과서]]를 검토하면 대부분이 일정한 각의 크기 <math>\frac{180^\circ}{\pi}</math>를 <math>1\operatorname{rad}</math>이라 한다<ref>{{저널 인용|저자=최은아, 강향임|연도=2015|월=9|제목=예비교사의 라디안에 대한 이해|저널=학교수학|권=17|호=2|쪽=313-314}}</ref> | |||
== 호의 길이와 넓이 == | == 호의 길이와 넓이 == | ||
{{ | {{참조|부채꼴}} | ||
반지름이 <math>r</math>, 중심각이 <math>\theta</math>인 부채꼴의 호의 길이를 <math>l</math>, 부채꼴의 넓이를 <math>S</math>라 하면 | 반지름이 <math>r</math>, 중심각이 <math>\theta</math>인 부채꼴의 호의 길이를 <math>l</math>, 부채꼴의 넓이를 <math>S</math>라 하면 | ||
: <math>l=r\theta</math> | : <math>l=r\theta</math> | ||
: <math>S=\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl</math> | : <math>S=\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl</math> | ||
이다. | 이다. | ||
{{글 숨김 | {{글 숨김|제목=Proof|1=중심각의 크기에 정비례하기 때문에 | ||
: <math>2\pi r : l = 2\pi : \theta</math> | : <math>2\pi r : l = 2\pi : \theta</math> | ||
이고, 따라서 호의 길이는 | 이고, 따라서 호의 길이는 | ||
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: <math>S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl</math> | : <math>S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl</math> | ||
이다. | 이다. | ||
}} | |||
여기서 <math>l=r\theta</math>에 등장하는 <math>\theta</math>에는 <math>\operatorname{rad}</math>이 붙어있지 않다. <math>\operatorname{rad}</math>가 붙어 있다고 가정하고, <math>r,l</math>에 길이 단위인 미터를 붙이면 | 여기서 <math>l=r\theta</math>에 등장하는 <math>\theta</math>에는 <math>\operatorname{rad}</math>이 붙어있지 않다. <math>\operatorname{rad}</math>가 붙어 있다고 가정하고, <math>r,l</math>에 길이 단위인 미터를 붙이면 | ||
: <math>l\;(\mathrm{m})=r\theta\;(\mathrm{m\times rad})</math> | : <math>l\;(\mathrm{m})=r\theta\;(\mathrm{m\times rad})</math> | ||
으로 단위 차원이 일치하지 않기 때문이다.<ref>{{저널 인용|저자=김완재|연도=2009|월=8|제목=라디안의 속성에 관한 연구: 1rad은 각인가 실수인가?|저널=수학교육학연구|권=19|호=3|쪽=446}}</ref> | 으로 단위 차원이 일치하지 않기 때문이다.<ref>{{저널 인용|저자=김완재|연도=2009|월=8|제목=라디안의 속성에 관한 연구: 1rad은 각인가 실수인가?|저널=수학교육학연구|권=19|호=3|쪽=446}}</ref> | ||
== 포장함수 == | == 포장함수 == | ||
{{ | {{참조|삼각함수}} | ||
원 <math>x^2+y^2= r^2\;(r>0)</math> 위의 임의의 한 점을 <math>\mathrm{P}(x,y)</math>라 하고, <math>\mathrm{A}=(r,0)</math>이며, <math>\theta=\angle \mathrm{POA}</math>라 하면 삼각함수는 다음과 같이 정의된다. | 원 <math>x^2+y^2= r^2\;(r>0)</math> 위의 임의의 한 점을 <math>\mathrm{P}(x,y)</math>라 하고, <math>\mathrm{A}=(r,0)</math>이며, <math>\theta=\angle \mathrm{POA}</math>라 하면 삼각함수는 다음과 같이 정의된다. | ||
: <math>\sin\theta=\frac{y}{r}</math> | : <math>\sin\theta=\frac{y}{r}</math> | ||
| 148번째 줄: | 89번째 줄: | ||
: <math>\sec\theta=\frac{r}{x}</math> | : <math>\sec\theta=\frac{r}{x}</math> | ||
: <math>\cot\theta=\frac{x}{y}</math> | : <math>\cot\theta=\frac{x}{y}</math> | ||
삼각함수는 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수가 맞을까? | |||
포장함수(wrapping function) <math>W(x)</math>를 정의한다.<ref>{{서적 인용|제목=Precalculus: Functions and Graphs|저자=Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen|url=http://www.mhhe.com/math/precalc/barnettpc5/graphics/barnett05pcfg/ch05/others/bpc5_ch05-01.pdf|확인날짜=2016-04-12|판=5th edition|날짜=2000-07-01|출판사=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ISBN=978-0072368710|장=Chapter 5, Section 1}}</ref> | 포장함수(wrapping function) <math>W(x)</math>를 정의한다.<ref>{{서적 인용|제목=Precalculus: Functions and Graphs|저자=Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen|url=http://www.mhhe.com/math/precalc/barnettpc5/graphics/barnett05pcfg/ch05/others/bpc5_ch05-01.pdf|확인날짜=2016-04-12|판=5th edition|날짜=2000-07-01|출판사=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ISBN=978-0072368710|장=Chapter 5, Section 1}}</ref> | ||
: <math>W(0)=(1,0)</math> | : <math>W(0)=(1,0)</math> | ||
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== 같이 보기 == | == 같이 보기 == | ||
* [[삼각함수]] | * [[삼각함수]] | ||
{{각주}} | {{각주}} | ||