라그랑주의 정리 (군론) 편집하기


'''라그랑주의 정리(Lagrange's Theorem)'''는 군과 그 부분군의 위수의 관계를 나타내는 정리다.

== 진술 ==
''K''를 [[군 (수학)|유한군]] ''G''의 부분군이라고 가정하자. 그러면 ''K''의 [[위수 (군론)|위수]] |''K''|는 ''G''의 위수 |''G''|를 나눈다. 특히, 다음 식이 성립한다.
: <math>|G|=|K|[G:K]</math>
이때 <math>[G:K]</math>는 ''G''에 대한 ''K''의 [[부분군의 지표|지표]]를 뜻한다.

== 증명 ==
<math>[G:K]=n</math>이라고 하자. 그러면 지표의 정의에 의해 ''G''를 ''n''개의 서로 다른 [[잉여류 (군론)|우잉여류]]의 합집합으로 나타낼 수 있다. <math>c_1,\cdots,c_n</math>을 서로 다른 ''G''의 원소라고 하자. 그러면
: <math>G=\bigcup_{i=1}^n Kc_i</math>
이다. 이때 <math>Kc_1,\cdots,Kc_n</math>은 [[서로소]]이므로,
: <math>|G|=\sum_{i=1}^n |Kc_i|</math>
이다. <math>|Kc_i|=|K|</math>이므로
: <math>|G|=\sum_{i=1}^n |K|=n|K|=|K|[G:K]</math>
이다.

== 따름정리 ==

* ''g''를 유한군 ''G''의 원소라 하자. 그러면 ''g''의 위수는 ''G''의 위수를 나눈다.
* <math>|G|=k</math>이면 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>a^k=e</math>이다.
* ''H'', ''K''가 유한군 ''G''의 부분군이고 ''K''⊆''H''이라고 하자. 그러면 <math>[G:K]=[G:H][H:K]</math>이다.


==예==
[[군론]](group theory)에서 라그랑주 정리(Lagrange theorem)를 임의의 유한군 G에 대해 그 부분군 H의 [[위수]](位數,order)는 G의 위수를 나눈다는 정리로 이로써 [[대칭군]] G 의 부분군 H가 ‘G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수’ 라는 라그랑주정리를 조사할수있다
[[위수]](order) <math>3! \text{인} |G6| \text{또는} Ord(G6) = \left\{  (123), (231),(312),  (132),(213),(321) \right\}</math>를 가정하면
[[순환군]]으로부터 부분군 <math>H = \left\{ I,II,III ,IV\right\}</math>는
:<math>I =  \left\{  (312), (123),(231) \right\}</math>
:<math>II =  \left\{  (132) , (123) \right\}</math>
:<math>III =  \left\{  (213),  (123) \right\}</math>
:<math>IV =  \left\{  (321), (123) \right\}</math> 에서
{| class="wikitable"
|-
! <math>III =  \left\{  (213),  (123) \right\}</math> !! <math>III \cdot  G</math> !! <math>G \cdot III </math>  !! 잉여류(coset)
|-
| <math>G=  \left\{  (123), (231),(312),  (132),(213),(321) \right\} \text{중} \left\{  (123) \right\} </math>||<math>\begin{matrix}123 \cdot 123 =123 \\ 213  \cdot 123 = 213 \end{matrix} </math> || <math>\begin{matrix}  123  \cdot 123= 123 \\ 123  \cdot 213 = 213 \end{matrix} </math> || 좌잉여류(left corset) <math>gH(III \cdot G) = (123),(213)</math> <br /> 우잉여류(right corset) <math>Hg(G \cdot III  ) = (123),(213)</math>는 서로 같다.
|-
| <math>G  \text{중}  (231) </math>|| <math>\begin{matrix}123  \cdot 231 = 231 \\ 213  \cdot 231 = 321 \end{matrix} </math>
  ||  <math>\begin{matrix}231  \cdot 123 = 231  \\  231  \cdot 213 = 132  \end{matrix} </math>|| 좌잉여류(left corset) <math>gH(III \cdot G) = (231),(132)</math> <br /> 우잉여류(right corset) <math>Hg(G \cdot III  ) = (231),(321)</math>는 서로 같지않다.
|-
|  <math>G  \text{중}  (312) </math> || <math>\begin{matrix}123  \cdot 312 = 312 \\ 213  \cdot 312 = 132 \end{matrix} </math>
  ||  <math>\begin{matrix}312  \cdot 123 = 312  \\  312  \cdot 213 = 321  \end{matrix} </math>|| 좌잉여류(left corset) <math>gH(III \cdot G) = (312),(321)</math> <br /> 우잉여류(right corset) <math>Hg(G \cdot III  ) = (312),(132)</math>는 서로 같지않다
|-
|  <math>G  \text{중}  (132) </math> ||<math>\begin{matrix}123  \cdot 132 = 132 \\ 213  \cdot 132 = 312 \end{matrix} </math>
  ||  <math>\begin{matrix}132  \cdot 123 = 132  \\  132  \cdot 213 = 231  \end{matrix} </math>|| 좌잉여류(left corset) <math>gH(III \cdot G) = (132),(231)</math> <br /> 우잉여류(right corset) <math>Hg(G \cdot III  ) = (132),(312)</math>는 서로 같지않다
|-
| <math>G  \text{중}  (213) </math> || <math>\begin{matrix}123  \cdot 213 = 213 \\ 213  \cdot 213 = 123 \end{matrix} </math>
  ||  <math>\begin{matrix}213  \cdot 123 = 213  \\  213  \cdot 213 = 123  \end{matrix} </math>|| 좌잉여류(left corset) <math>gH(III \cdot G) = (213),(123)</math> <br /> 우잉여류(right corset) <math>Hg(G \cdot III  ) = (213),(123)</math>는 서로 같다
|-
|  <math>G  \text{중}  (321) </math> || <math>\begin{matrix}123  \cdot 321 = 321 \\ 213  \cdot 321 = 231 \end{matrix} </math>
  ||  <math>\begin{matrix}321  \cdot 123 = 321 \\  321  \cdot 213 = 312  \end{matrix} </math>|| 좌잉여류(left corset) <math>gH(III \cdot G) = (321),(312)</math> <br /> 우잉여류(right corset) <math>Hg(G \cdot III  ) = (321),(231)</math>는 서로 같지않다
|}
[[좌잉여류]](left corset)는  <math>gH </math>는 <math>  \left\{ (123),(213) \right\} \text{ 와 } \left\{ (312),(321) \right\}  \text{ 그리고 } \left\{(132),(231)\right\}</math> 이다. 좌잉여류(left corset)는 3개이다.
: <math> |G| = |H| \cdot gH  </math>
: <math> 6 = 2 \cdot 3  </math>
따라서 'G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수'를 확인할수있다.


== 관련 문서 ==
* [[실로우 정리]]

== 참고문헌 ==
* Thomas W. Hungerford (2012). ''Abstract Algebra: An Introduction.'' (3rd ed). Cengage Learning. {{ISBN|1111573336}}

[[분류:군론]]
[[분류:수학 정리]]