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{{학술}} | |||
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[[사칙연산]]에서 [[곱셈]]과 함께 가장 기본적, 독립적인 연산으로, [[산술]]에서 가장 처음 시행하는 것이다. <del>이걸 못하는 사람은 아마 없을 거다. 최소한 [[1+1=귀요미|1+1]]이라도...</del> <del>그 덧셈이 아니라 [[배타적 논리합]]이라면?</del> | [[사칙연산]]에서 [[곱셈]]과 함께 가장 기본적, 독립적인 연산으로, [[산술]]에서 가장 처음 시행하는 것이다. <del>이걸 못하는 사람은 아마 없을 거다. 최소한 [[1+1=귀요미|1+1]]이라도...</del> <del>그 덧셈이 아니라 [[배타적 논리합]]이라면?</del> | ||
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=== [[정수]]의 덧셈 === | === [[정수]]의 덧셈 === | ||
정수의 덧셈은 자연수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 자연수 [[반군|반군(semigroup)]](혹은 [[모노이드|모노이드(monoid)]]) | 정수의 덧셈은 자연수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 자연수 [[반군|반군(semigroup)]](혹은 [[모노이드|모노이드(monoid)]])으로부터 [[그로텐디크 군|그로텐디크 군(Grothendieck group)]]을 얻을 때 덧셈이 자연스럽게 같이 확장된다. | ||
기본 아이디어는 이렇다. 모든 정수는 어떤 두 자연수의 차로 나타낼 수 있는데, 두 정수 ''a''=''k''−''l'', ''b''=''m''−''n''에 대하여 ''a''와 ''b''의 합을 아래와 같이 정의한다. | 기본 아이디어는 이렇다. 모든 정수는 어떤 두 자연수의 차로 나타낼 수 있는데, 두 정수 ''a''=''k''−''l'', ''b''=''m''−''n''에 대하여 ''a''와 ''b''의 합을 아래와 같이 정의한다. | ||
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=== [[유리수]]의 덧셈 === | === [[유리수]]의 덧셈 === | ||
유리수의 덧셈은 정수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 정수 [[정역|정역(integral domain)]] | 유리수의 덧셈은 정수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 정수 [[정역|정역(integral domain)]]으로부터 [[분수체|분수체(field of fractions)]]를 얻을 때 덧셈과 곱셈이 자연스럽게 같이 확장된다. | ||
기본 아이디어는 이렇다. 모든 유리수는 어떤 두 정수의 몫으로 나타낼 수 있는데, 두 유리수 ''p''=''a''/''b'', ''q''=''c''/''d''에 대하여(당연히 ''b'', ''d''≠0) ''p''와 ''q''의 합을 아래와 같이 정의한다. | 기본 아이디어는 이렇다. 모든 유리수는 어떤 두 정수의 몫으로 나타낼 수 있는데, 두 유리수 ''p''=''a''/''b'', ''q''=''c''/''d''에 대하여(당연히 ''b'', ''d''≠0) ''p''와 ''q''의 합을 아래와 같이 정의한다. | ||
30번째 줄: | 30번째 줄: | ||
=== [[실수]]의 덧셈 === | === [[실수]]의 덧셈 === | ||
실수를 정의할 때는 극한 개념이 들어가서 조금 복잡하다. | 실수를 정의할 때는 극한 개념이 들어가서 조금 복잡하다. | ||
* [[데데킨트 절단|데데킨트 절단(Dedekind cut)]]을 이용하는 경우 | * [[데데킨트 절단|데데킨트 절단(Dedekind cut)]]을 이용하는 경우 | ||
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=== [[복소수]]의 덧셈 === | === [[복소수]]의 덧셈 === | ||
복소수의 덧셈은 실수의 덧셈을 확장하여 얻는다. | 복소수의 덧셈은 실수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 실수체로부터 [[크로네커 정리|크로네커 정리(Kronecker’s theorem)]]를 이용하여 복소수체를 얻을 때 다 해결되긴 하지만 아래와 같이 이해해도 된다. | ||
모든 복소수는 실수 ''a'', ''b''에 대해 ''a''+''bi'' 꼴로 유일하게 나타낼 수 있는데, 두 복소수 ''z''=''x''+''yi''와 ''w''=''u''+''vi''에 대하여 ''z''와 ''w''의 합은 다음과 같이 정의된다. | 모든 복소수는 실수 ''a'', ''b''에 대해 ''a''+''bi'' 꼴로 유일하게 나타낼 수 있는데, 두 복소수 ''z''=''x''+''yi''와 ''w''=''u''+''vi''에 대하여 ''z''와 ''w''의 합은 다음과 같이 정의된다. |