로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! == 정의 == '''대칭군(Symmetric group)'''은 함수의 합성을 연산으로 하는 모든 [[치환]] <math>\sigma:\{1,2,\cdots, n\}\to\{1,2,\cdots, n\}</math>의 집합으로, <math>S_n</math>으로 나타낸다. === 대칭군은 군인가? === 대칭군의 원소 <math>f,g,h\in S_n</math>에 대해, * 일대일 대응의 합성은 일대일 대응이므로 <math>f \circ g\in S_n</math> * 일대일 대응의 합성은 결합법칙이 성립하므로 <math>(f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)</math> * ''e''를 <math>e(1)=1,e(2)=2,\cdots, e(n)=n</math>인 함수로 정의하면 <math>f\circ e= e \circ f =f</math>이다. * 일대일 대응의 역함수는 일대일 대응이므로, 임의의 <math>f</math>에 대해 <math>f^{-1}\in S_n</math>이고 <math>f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f = e</math>이다. 따라서 대칭군은 [[군 (수학)|군]]이다. 그러나 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않으므로, 대칭군은 일반적으로 [[아벨군]]이 아니다. == 원소표기 == * [[코시]](Cauchy)의 두줄 표기법: 첫번째 줄에는 1~''n''까지 적고 그 다음 줄에 각 수에 대응되는 수를 적는 방법이다. 각각이 어떻게 치환되는지 쉽게 알 수 있다.<ref>Hans Wussing 2007, The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, Courier Dover Publications, p. 94, ISBN 9780486458687, "Cauchy used his permutation notation—in which the arrangements are written one below the other and both are enclosed in parentheses—for the first time in 1815"</ref> ** <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 3 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix}</math> * 순환마디의 곱으로 표기: 어떤 원소를 시작으로 그 원소와 대응하는 원소를 다음에 적고 그 다음에 또 대응하는 원소를 적는 식으로 처음 원소가 될 때까지 계속 적어낸 것을 순환마디라고 한다. 이런 순환마디를 여러 개 적어 원소를 표시한다. 또한 길이가 1인 순환마디는 생략한다. ** <math>(1~2~3~4)(5~6)</math> ** 이 예시는 <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 5 \end{pmatrix}</math>를 의미한다(생략된 순환마디가 없다면). ** 항등원의 경우 순환마디의 길이가 모두 1이라 다 생략하고 아무것도 남지 않아... 예외적으로 <math>1</math>로 적는다. ** 특별한 경우가 아니면 가독성이 떨어져서 순환마디에 나온 원소가 다른 순환마디에 적지 않는다. 예로, <math>(1~2)(2~3)</math>대신 <math>(1~3~2)</math>로 적는다. 다만 길이가 2인 순환마디로 나타낼 수 있음을 강조하고 싶을 때에는 앞의 경우를 쓴다. == 특징 == * <math>|S_n| = n!</math> * 단순군이 아니다. [[교대군]] <math>A_n</math>이 대칭군<math>S_n</math>의 [[정규부분군]]이기 때문이다. * 유한군의 위수가 <math>n</math>일 때, 그 유한군은 <math>S_n</math>의 부분군이다. * <math>n \leq 4</math>일 때, <math>S_n</math>는 가해군이다. <math>n \ge 5</math>일 때에는 가해군이 아니다. 이렇기 때문에 [[5차방정식]]의 일반적인 해법(근의 공식)은 존재하지 않는다. ==예== :<math>1,2,3</math>을 가정하고 위수(Order) <math>|G6| = \left\{ (123),(231),(312),(132),(213),(321) \right\}</math>을 조사할수있다. :<math>(123) \text{는} \begin{pmatrix} 123\\ 123 \end{pmatrix}</math>의 2줄표기법(2 line notation)의 생략형 표기에서 따라서 <math>|G6| = \left\{ \begin{pmatrix} 123\\ 123 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 123\\ 231 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 123\\ 312 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 123\\ 132 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 123\\ 213 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 123\\ 321 \end{pmatrix}\right\}</math> <math>|G6| = \left\{ \begin{matrix}(123) & (321) \\ (231) & (132) \\ (312) & (213)\end{matrix} \right\}</math> 대칭을 이룬다. <hr> {{각주}} [[분류:대수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)