로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! == 정의 == '''농도(Cardinality)'''는 [[집합론]]에서 [[정의]]되는 [[개념]]이다. 만약 유한집합이라면 "농도는 집합의 원소의 개수입니다!"라고 외치고 싶겠지만 잠시만 참자. 농도를 정의할 때는 다른 개념과 달리 "농도는 ...이다"라고 정의하지 않는다. 아래를 보자. * [[집합]] ''A''와 ''B''가 주어졌을 때, 일대일 대응 <math>f:A\to B</math>가 존재하면 '''''A''와 ''B''의 농도는 같다''' 또는 '''''A''와 ''B''는 동등하다(equipotent)'''고 하고, <math>|A|=|B|</math>로 나타낸다. * 집합 ''A''와 ''B''가 주어졌을 때, 일대일 함수 <math>f:A\to B</math>가 존재하면 '''''A''의 농도는 ''B''의 농도와 같거나 그보다 작다'''고 하고, <math>|A|\le |B|</math>로 나타낸다. * 집합 ''A''와 ''B''가 주어졌을 때, 일대일 함수 <math>f:A\to B</math>가 존재하지만 일대일 대응 <math>g:A\to B</math>가 존재하지 않으면 '''''A''의 농도는 ''B''보다 작다'''고 하고, <math>|A|<|B|</math>로 나타낸다. 요약하면, 두 집합에서 원소를 하나씩 빼내서 짝지어 나가는 것이 어떤 식으로든 가능하면,(일대일 대응 함수가 하나 존재하면) 두 집합의 크기는 같다고 정의하는 것이다. 그래서 일대일 대응 함수가 존재한다거나, 혹은 결코 존재할 수 없다는 것을 증명함으로써, 무한 집합 간의 크기를 비교하는 것이 가능하다. 그 한 가지 예는 바로 '임의의 무한 집합 X는 X의 [[멱집합]](Power Set) P(X)보다 크기가 작다.'는 것이다. 멱집합이란, 어떤 집합의 모든 부분집합들을 원소로 가지는 집합을 말하며, 보통 P(X)로 표기한다.<ref>예: 집합 A={1,2}의 부분집합은 각각 공집합(ø), {1}, {2}, {1,2}이다. 따라서 P(A)={ø, {1}, {2}, {1,2}}이다.</ref> 위 명제의 일반적인 증명은 귀류법으로, 일대일 대응 함수<math>f:X\to P(X)</math>가 존재한다고 가정할 때, 발생하는 모순을 지적하는 것이다. 해당 모순은 집합 X의 부분 집합 Y={ <math>y\in X | y \require{cancel}\bcancel{∈} f(y)</math> }와 관련이 있다. 함수 f의 정의에 따라, f(x)=Y를 만족하는 X의 원소 x가 존재한다. 그런데 x가 f(x)의 원소라면, Y의 정의에 따라 x는 Y의 원소가 될 수 없다. 그리고 x가 f(x)의 원소가 아니라면, Y의 정의에 따라 x는 Y의 원소가 된다. f(x)=Y이므로 이는 모순이다. Y가 공집합이든 아니든 이 모순은 반드시 발생한다. 따라서 귀류법에 따라 일대일 대응 함수가 존재하지 않음을 알 수 있다. 그리고 '<math>g:X\to P(X)</math> such that g(x)={x}'로 정의할 수 있는 함수 g는 일대일 함수이다. 따라서 |X| < |P(X)|임을 알 수 있다. == 성질 == 임의의 집합 ''A,B,C''에 대해 # <math>|A|=|A|</math> # <math>|A|=|B|</math>이면 <math>|B|=|A|</math>이다. # <math>|A|=|B|</math>이고 <math>|B|=|C|</math>이면 <math>|A|=|C|</math>이다. 이고 임의의 집합 ''A,B,C''에 대해 # <math>|A|\le |A|</math> # <math>|A|\le |B|</math>이고 <math>|B|\le |A|</math>이면 <math>|A|=|B|</math>이다. (칸토어-베른슈타인 정리) # <math>|A|\le |B|</math>이고 <math>|B|\le |C|</math>이면 <math>|A|\le |C|</math>이다. 즉, <math>=,\le</math>는 각각 [[동치관계]], [[반순서관계]]이다. == 유한집합과 무한집합 == 만약 집합 ''A''가 자연수 ''n''과 동등하다면, ''A''를 유한집합(finite set)이라 한다. 이때 ''A''가 ''n''개의 원소(element)를 가진다고 하고 <math>|S|=n</math>으로 표기한다. 만약 집합 ''A''와 ''B''가 유한집합이라면, <math>A\cup B</math>도 유한집합이며 <math>|A\cup B|\le |A|+|B|</math>이다. ''A''와 ''B''가 서로소라면, <math>|A\cup B|= |A|+|B|</math>이다. ''A''가 유한집합이 아니라면 무한집합(infinite set)이라고 한다. ''A''가 무한집합이면 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>|A| > n</math>이다. {{각주}} [[분류:집합론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)