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{{학술 관련 정보}} | |||
기저(basis): 어떤 것의 바닥 또는 기초가 되는 부분. 반의어: [[표면]] | |||
<s>기저귀</s> | |||
== 선형대수학에서 == | == 선형대수학에서 == | ||
=== 정의 === | === 정의 === | ||
[[벡터공간]] <math>V</math>의 원소들 <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>이 선형독립이고 <math>V</math>를 생성할 때, <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>를 <math>V</math>의 '''기저(basis)'''라고 한다. 모든 선택공리를 인정하는 경우 벡터공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. 여기서 "모든 벡터공간은 기저를 가진다."는 [[선택 공리]]와 동치인 명제로, | [[벡터공간]] <math>V</math>의 원소들 <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>이 선형독립이고 <math>V</math>를 생성할 때, <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>를 <math>V</math>의 '''기저(basis)'''라고 한다. 모든 선택공리를 인정하는 경우 벡터공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. 여기서 "모든 벡터공간은 기저를 가진다."는 [[선택 공리]]와 동치인 명제로, 흔히 초른의 보조정리(Zorn's Lemma)라고 불린다. | ||
=== 차원 === | === 차원 === | ||
<math>V</math>의 한 기저에 들어 있는 벡터의 개수를 '''차원(dimension)'''이라 하고, <math>\dim V</math>로 나타낸다. 여기서 | <math>V</math>의 한 기저에 들어 있는 벡터의 개수를 '''차원(dimension)'''이라 하고, <math>\dim V</math>로 나타낸다. | ||
여기서 이 것이 함수임이, 즉 한 벡터공간에서 어떤 기저를 골라도 포함되어 있는 벡터의 개수가 같음을 "Dimension Theorem"이라고 한다. | |||
=== 설명 === | === 설명 === | ||
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== 위상수학에서 == | == 위상수학에서 == | ||
주어진 [[위상공간]] <math>X</math>와 그 위상 <math>\ | 주어진 [[위상공간]] <math>X</math>와 그 위상 <math>\mathscr T</math>에 대하여, [[열린집합]]들로 이루어진 [[집합 (수학)|집합]] <math>\mathfrak B</math>로 모든 위상의 원소를 만들 수 있다면, 더 명시적으로는, <math>\mathfrak B</math>의 원소들의 합집합<ref>유한 개일 필요는 없다</ref>이나 유한한 교집합으로 표현가능할 때 <math>\mathfrak B</math>를 위상 <math>\mathscr T</math>의 '''기저(base, basis)'''라고 부른다. | ||
=== 선형대수학과의 비교 === | === 선형대수학과의 비교 === | ||
* 위상수학에서의 기저의 정의, 즉 위상공간의 열린 집합을 기저의 arbitrary union과 finite intersection으로 표현하는 것은 선형대수학에서 모든 벡터 공간의 원소가 기저의 일차결합으로 표시됨과 비슷하다. 하지만 주어진 선형대수학의 기저로의 벡터의 표현은 유일한데 비하여, 위상수학의 것은 그렇지 않다. | * 위상수학에서의 기저의 정의, 즉 위상공간의 열린 집합을 기저의 arbitrary union과 finite intersection으로 표현하는 것은 선형대수학에서 모든 벡터 공간의 원소가 기저의 일차결합으로 표시됨과 비슷하다. 하지만 주어진 선형대수학의 기저로의 벡터의 표현은 유일한데 비하여, 위상수학의 것은 그렇지 않다. | ||
* 선형대수학에서, 만약 어떤 집합이 일차독립이고 주어진 벡터 공간을 생성한다면 그것은 기저가 된다. 이는 위상수학에서도 마찬가지인데, 주어진 위상공간이 있을 때, 만약 집합 <math>\mathfrak B</math>가 열린 집합들의 모임이고 다음을 만족하면 이것은 주어진 위상공간의 어떤 위상의 기저가 된다: | * 선형대수학에서, 만약 어떤 집합이 일차독립이고 주어진 벡터 공간을 생성한다면 그것은 기저가 된다. 이는 위상수학에서도 마찬가지인데, 주어진 위상공간이 있을 때, 만약 집합 <math>\mathfrak B</math>가 열린 집합들의 모임이고 다음을 만족하면 이것은 주어진 위상공간의 어떤 위상의 기저가 된다: | ||
<div align=center><math>\forall U\subseteq X \text{ s.t. }U\text{ is open}\forall x\in U \exists B\in \mathfrak B, x\in B \subseteq U. </math></div> | <div align=center><math>\forall U\subseteq X \text{ s.t. }U\text{ is open}\forall x\in U \exists B\in \mathfrak B, x\in B \subseteq U. </math></div> |