기저 편집하기

<s>기저'귀'</s>

기저(basis)

== 단어 ==
어떤 것의 바닥 또는 기초가 되는 부분.

반의어: [[표면]]

== [[수학]]에서 정의되는 개념 ==
{{학술 관련 정보}}

=== 선형대수학에서 ===

==== 정의 ====
[[벡터공간]] <math>V</math>의 원소들 <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>이 선형독립이고 <math>V</math>를 생성할 때, <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>를 <math>V</math>의 '''기저(basis)'''라고 한다. 모든 선택공리를 인정하는 경우 벡터공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. 여기서 "모든 벡터공간은 기저를 가진다."는 선택공리와 덩치인 명제로, 흔히 "Zorn's Lemma"라고 불린다.

==== 차원 ====
<math>V</math>의 한 기저에 들어있는 벡터의 개수를 '''차원(dimension)'''이라 하고, <math>\dim V</math>로 나타낸다.
여기서 이 것이 함수임이, 즉 한 벡터공간에서 어떤 기저를 골라도 포함되어 있는 벡터의 개수가 같음을 "Dimension Theorem"이라고 한다.

==== 설명 ====

기저는 일차독립인 최대크기의 벡터순서쌍을 말하며, 차원은 직관적으로 그 공간에 정보가 몇 개 있느냐를 말한다. 가령 ''xy''평면에서 ''x''축과 ''y''축이 바로 기저가 된다(정확히는 ''x''축 방향 단위벡터와 ''y''축 방향 단위벡터). ''xy'' 평면 위의 모든 점은 ''x''좌표와 ''y''좌표 두 개의 숫자만으로 다 표현되고, 또 유일하게 표현된다. 만일 다른 정보를 만들 수 있더라도(예를 들어 원점으로부터의 거리), 이는 ''x''좌표와 ''y''좌표로 나타낼 수 있다. 즉 <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>.

그렇다면 무한차원 벡터공간도 존재할 수 있는지 의문을 갖게 된다. 즉 한 벡터를 나타내는 데 정보가 무한히 많이 필요하다는 건데… 당연히 가능하다. 예를 들어 <math>\mathbb{Q}</math>벡터공간 <math>\mathbb{R}</math>이라든가, 함수공간 <math>\mathbb{R}^\mathbb{R} = \left\{ f|f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \right\}</math>만 생각해 봐도 그렇다. 이런 공간의 기저를 찾기란… 시도하지 않는 것을 권장한다. 다만 [[선택공리]]가 있으면 존재성은 보장할 수 있다.

대학생들이 들어볼 수 있는 가장 유명하고 기초적인 기저는 바로 [[삼각함수]]이다. Cos 파와 Sin 파는 서로 직교성을 지니는데 이 개념을 이용해 두 함수로 다른 파동을 표현할 수가 있다. 그게 바로 [[푸리에 변환]].

=== 위상수학에서 ===

어떤 [[위상공간]]에서 원소가 [[열린집합]]들인 [[집합 (수학)|집합]] <math>B</math>가 모든 열린집합이 <math>B</math>에 있는 열린집합들의 합집합<ref>유한개일 필요는 없다</ref>이나 유한개의 교집합으로 표현가능할 때 '''기저(base, basis)'''라고 부른다.

우리가 잘 아는 위상공간인 실수 <math>\mathbb{R}</math>의 기저 중 하나<ref>기저가 꼭 유일할 필요는 없으므로</ref>는 열린 구간(open interval)들을 모아놓은 집합이다. 

{{주석}}
[[분류:학술 관련 정보가 담긴 문서]]
[[분류:수학]]