로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! == 진술 == [[수열]] <math>(a_n)</math>에 대해 <math>a_n \ge 0</math>이라고 하자. 이때 * <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} < 1</math>이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 수렴한다. * <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} > 1</math>이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 발산한다. == 증명 == <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = R</math>이라 하자. <math>R < 1</math>이라고 가정하자. 그러면 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 [[자연수]] <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\left|\sup_{m \ge n} \sqrt[m]{a_m}-R\right| < \varepsilon</math>이다. [[절댓값]] 기호를 풀면 <math>\sup_{m\ge n}\sqrt[m]{a_m} < R+\varepsilon</math>이다. <math>R<\gamma < 1</math>인 <math>\gamma</math>를 하나 잡고 <math>\varepsilon = \gamma - R</math>으로 두자. 그러면 <math>\sup_{m\ge n}\sqrt[m]{a_m} < \gamma</math>이다. [[유계#상한과 하한|상한]]의 정의에 의해 적당한 <math>N</math>에 대해 <math>n > N</math>이면 <math>\sqrt[n]{a_n} < \gamma</math>, 즉 <math>a_n < \gamma^n</math>이다. <math>0 < \gamma < 1</math>이므로 <math>\sum_{n=1}^{\infty} \gamma^n </math>은 수렴하고 따라서 [[비교판정법]]에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>은 수렴한다. 이제 <math>R > 1</math>이라고 가정하자. <math>\varepsilon = R -1</math>로 두면 <math>\sup_{m\ge n}\sqrt[m]{a_m} > 1</math>이다. 상한의 정의에 의해 적당한 <math>N</math>에 대해 <math>n > N</math>이면 <math>a_n > 1</math>이다. <math>\sum_{n=1}^{\infty}1</math>이 발산하므로, 비교판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 발산한다. == 따름정리 == 수열 <math>(a_n)</math>에 대해 <math>a_n \ge 0</math>이라고 하자. 이때 * <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} < 1</math>이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 수렴한다. * <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} > 1</math>이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 발산한다. == 예시 == 먼저, 근판정법을 쓰기 전에 아래 극한값을 알아 놓는 것이 좋다. *<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{C}=1,\,C>0</math> *<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^p}=1,\,p>0</math> *<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\ln n}=1</math> *<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty</math> *<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> 다음 급수는 근판정법으로 수렴함을 증명할 수 있다. *<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{2^\left(n^2\right)}</math> *<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn^3}{3^n}</math> *<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{5^n}{2^nn!}</math> 다음 급수는 근판정법으로 발산함을 증명할 수 있다. *<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{5^n}{3^n\left(n^4+1\right)}</math> 다음 급수의 수렴성은 근판정법으로 판정되지 않는다. *<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}</math> *<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math> == 근판정법과 비율판정법의 관계 == 만약 어떤 급수의 수렴성이 [[비율판정법]]으로 판정된다면, 근판정법으로도 판정할 수 있다. 실수열 <math>(a_n)</math>에 대해 <math>a_n \ge 0</math>일 때, : <math>\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \le\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \le \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math> 임을 보이자. <math>\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r</math>이라 하자. 그러면 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\left|\inf_{m\ge n}\frac{a_{n+1}}{a_n}-r\right| < \varepsilon</math>이다. 절댓값 기호를 풀면 : <math>r-\varepsilon < \inf_{m\ge n}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math> 이다. 하한의 정의에 의해, <math>n > N</math>인 임의의 <math>n</math>에 대해 : <math>r-\varepsilon < \frac{a_{n+1}}{a_n}</math> 이다. 그러면 : <math>(r-\varepsilon)^{n-N-1} < \frac{a_n}{a_{n-1}}\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}</math> 이고 따라서 : <math>\frac{a_n}{a_{N+1}} >(r-\varepsilon)^{n-N-1}</math> 이다. 그러면 : <math>\sqrt[n]{a_n} > \left(\frac{a_{N+1}}{(r-\varepsilon)^{N+1}}\right)^\frac{1}{n}(r-\varepsilon)</math> 이고 임의의 <math>p>0</math>에 대해 <math>\lim_{n\to\infty}p^{\frac{1}{n}}=1</math>이므로 : <math>\liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}\ge r-\varepsilon</math> 이고 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 식이 성립하므로 : <math>\liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}\ge r</math> 이다. 오른쪽 부등식에 대해서도 비슷한 과정을 거치면 된다. 그러나 급수가 근판정법으로 수렴하더라도 비율판정법으로 수렴하는지는 알 수 없을 수도 있다. 예를 들어, 수열 <math>(a_n)</math>의 일반항이 : <math>a_n=\begin{cases} \frac{1}{2^n},&\text{if $n$ is odd}\\ \frac{1}{2^{n-1}},&\text{if $n$ is even} \end{cases}</math> 라고 하자. 이 수열의 첫 여섯 항은 : <math>(a_n): \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{32},\frac{1}{32},\cdots</math> 이다. 그러면 <math>\sup_{m\ge n} \sqrt[m]{a_m} =2^{\frac{1}{2\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor}-1}</math>이므로 <math>\limsup_{n\to\infty} a_n =2^{-1}</math>이다. 따라서 근판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>은 수렴한다. 그러나 <math>\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1</math>이고 <math>\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{4}</math>이므로 비율판정법을 이용하면 유효한 결과를 얻지 못한다. 다음 급수에 대해서도 같은 결과를 얻을 수 있으니 직접 시도해 보라.<ref>{{서적 인용|성=Rudin|이름=Walter|저자고리=월터 루딘|제목=[[Principles of Mathematical Analysis]]|연도=1976|출판사=McGraw-Hill Education|isbn=007054235X|판=3rd edition}}</ref> * <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots</math> * <math>\frac{1}{2}+1+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{32}+\frac{1}{16}+\cdots</math> == 거듭제곱급수의 수렴반경 == {{참고|수렴반지름}} 근판정법은 [[거듭제곱급수]]의 [[수렴반지름]]을 구하는 데 활용할 수 있다. 거듭제곱급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n </math>이 주어졌다고 하자. 그러면 근판정법에 의해 : <math>\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{\frac{1}{n}} |x| < 1</math> , 즉 : <math>|x| < \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}}</math> 일 때 절대수렴한다. 거듭제곱급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n </math>이 수렴하는 <math>x\in \mathbb{R}</math>의 범위를 구해보자. <math>\limsup_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1</math>이므로 <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n </math>는 <math>|x| < 1</math>일 때 수렴하고, <math>|x|>1</math>일 때 발산한다. <math>|x|=1</math>일 때는 근판정법으로 수렴성을 판정할 수 없으므로 직접 시도해야 한다. <math>x=1</math>일 때 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>은 발산하고, <math>x=-1</math>일 때 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}</math>은 [[교대급수판정법]]에 의해 수렴한다. 따라서 <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n </math>는 <math>-1 \le x < 1</math>일 때 수렴한다. {{각주}} {{수렴판정법}} [[분류:해석학]] [[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 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′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:서적 인용 (편집) 틀:수렴판정법 (편집) 틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)