극한 (범주론) 편집하기

[[범주론]]에서, '''극한'''은 (category의 object들의) [[곱 (범주론)|곱]], [[당김 (범주론)|당김]](pullback), [[역극한]](inverse limit) 등의 공통적인 [[보편 성질]](universal property)을 말하기 위해 만들어진 개념이다. 범주론적 극한은 위상적인 극한을 포함한다. 즉, 위상적인 극한은 범주론적 극한의 특수한 경우이다.

==정의==
극한의 정의는 '''universal cone''', 즉 보편 성질을 만족하는 [[뿔 (범주론)|뿔]]이다. <math>J</math>-형의 <math>\mathcal C</math>의 [[다이어그램#수학 용어|다이어그램]]([[공변 함자]]) <math>F: \; J \to \mathcal C</math>의 '''뿔''' <math>(N, \psi)</math>이란 <math>J</math>의 임의의 [[대상 (수학)|대상]] <math>X, Y</math>에 대하여 다음이 가환이게 하는 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>N</math>과 함수족 <math>\psi_\bullet</math>의 쌍이다. 즉, 그려지는 모든 삼각형이 가환이게 하는 쌍이다:
<div align=center>[[파일:cone.png|220px]]</div>
그러한 뿔 중, 다음과 같은 [[보편 성질]]을 가지는 <math>(L, \varphi)</math>를 다이어그램 <math>F</math>의 '''극한'''이라고 한다:
: 주어진 다이어그램의 '''임의의''' 뿔 <math>(N, \psi)</math>에 대하여,
:: <math>N, L, F(X)</math> (F(X)는 주어진 다이어그램의 object)
:로 이루어진 아래 다이어그램을 가환하게 하는 사상 <math>u: \; N \to L</math>('''factorization''')이 '''유일하게 존재한다'''.
<div align=center>[[파일:F-cone.png|130px|Cone]]</div>
즉, 다음을 가환하게 하는 <math>(L, \varphi)</math>이다. (이는 <math>(L, \varphi)</math>과 <math>(N, \psi)</math>이 cone임에서 나온다.)
<div align=center>[[파일:Commutative Diagram for Categorical Limit.png|230px|Commutative diagram for Categorical Limit]]</div>
기존의 극한 개념으로 봤을 때 참으로 뜬금없는 정의인데, 왜 이름은 극한인 것인가? 그리고 이 개념을 정의한 이유는 무엇인가? 이는 [[#예시|많은 수의 범주론적 개념]]이 극한으로 일반화되기 때문이며, 범주론에서 가장 중요한 성질인 [[보편 성질]]을 capture하기 때문이다. 그리고 신기하게도, 이는 [[#해석학과 위상수학의 극한과의 관계|위상수학적 극한을 일반화한다]].

== 자연 동형을 이용한 정의 ==
이를 자연 동형(natural isomorphism)의 언어로 나타낼 수도 있다. 먼저, '''뿔'''이란 꼭짓점에서 다이어그램으로 가는 자연 변환이라고 볼 수 있다. <math>J</math>-형의 <math>\mathcal C</math>의 다이어그램 <math>F : \; J \to \mathcal C</math>에 대하여, 꼭짓점 <math>V</math>에서 내린 뿔은 [[자연 변환]] <math>\psi: \; \Delta_ V \to F</math>이다. 이때, <math>\Delta_V</math>는 <math>J</math>-형의 terminal category <math>V </math>⟲<math> 1_V</math>의 다이어그램이다.

이제 위의 자연 동형의 언어로 쓰여진 뿔을 이용하여 극한 역시 자연 동형으로 기술할 수 있다. 즉 다이어그램 <math>F</math>의 '''극한'''은 보편 성질을 만족하는 자연 변환 <math>\varphi: \; \Delta_L \to F</math>을 말한다.

== 예시 ==
* [[끝 대상]]: <math>J = \mathbf 0</math>가 empty category일 때, <math>\mathbf 0</math>-형의 <math>\mathcal C</math>의 다이어그램은 자명하게 유일하며 이의 극한은 다름아닌 <math>\mathcal C</math>의 '''terminal object''' <math>1</math>이다.
* [[곱 (범주론)|곱]]: <math>J</math>가 discrete category일 때, 다이어그램 <math>F: \; J \to \mathcal C</math>는 <math>\{X_\alpha \in \operatorname{ob} \mathcal C: \; \alpha \in J  \}</math>와 같은 의미를 가지게 된다. 이때, 극한의 함수족 <math>\varphi_\bullet</math>이 projection mapping의 역할을 하게 되어 주어진 다이어그램의 극한은 '''범주론적 곱'''이 된다.
** 멱범주: <math>F</math>가 같은 것 <math>X</math>만 가리키는 함자이면, 즉 상수 다이어그램이면, 그 극한은 같은 대상을 여러 번 곱하는 것이므로 '''멱범주''' <math>X^J</math>가 된다.
* 이퀄라이저 (커널): 만약 <math>J= \{ \bullet\rightrightarrows \bullet \}</math>이면 다이어그램은 평행한(domain과 codomain이 같은) 두 morphism의 쌍을 나타낸다. 이때 그 극한은 두 morphism의 '''equalizer'''가 된다.
* [[당김]]: <math>J= \{ \bullet\rightarrow \bullet \leftarrow \bullet \}</math>이고 <math>F</math>가 왼쪽의 <math>\bullet</math>들을 <math>X, Z, Y \in \operatorname{ob}\mathcal C</math>의 순서로 지정하는 다이어그램이라고 하자. 이때 <math>F</math>의 극한은 '''당김'''(pullback, '''fibre product'''라고도 부름)이 된다. <!--이는 아래의 [[가환 그림]]에서도 알 수 있다. [[추가바람]]-->
* [[역극한]]: <math>J</math>를 [[반순서집합]]이라고 하고 이것을 범주로 간주하자. (반순서집합은 <math>x \le y</math>일 때 <math>x \to y</math>의 morphism을 만드는 방식으로 범주로 생각할 수 있다.) 이때 다이어그램 <math>F:\; J^{\mathrm{op}} \to \mathcal C </math>을 생각하면, (<math>J \to \mathcal C </math>의 ''반변'' 함자인 <math>F</math>에 대하여) <math>F</math>의 극한을 '''역극한'''이라고 한다.
* <math>J = \mathbf 1 = \{ \bullet </math>⟲<math> 1_\bullet \}</math>이면, 다이어그램은 단지 <math> \mathcal C </math>의 한 object <math>X</math>를 가리키는 함자가 된다. 따라서 vertex <math>N</math>의 뿔은 <math>N \to X=F(\bullet)</math>의 morphism과 같고, 이 morphism이 isomorphism일 때에만 주어진 뿔이 극한이 됨을 알 수 있다. 일반적으로 <math>J</math>가 initial object<math>0</math>을 가지는 범주이면, 임의의 다이어그램 <math>F</math>는 '<math>F(0)</math>과 isomorphic한 대상'이라는 극한을 가진다.

== 성질 ==
[[추가바람]]

== 해석학과 위상수학의 극한과의 관계 ==
[[위상공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이 주어져 있다고 하자. <math>\mathcal F(X)</math>를 X의 [[필터 (수학)|필터]]들의 ⊆-[[반순서집합]]이라고 하고, [[작은 범주]]로 간주하자.

<math>x\in X</math>와 <math>F\in\mathcal F(X)</math>가 주어져 있을 때 <math>\mathcal U_X(x)</math>를 <math>x</math>의 [[근방 필터]](근방들을 모두 모아 놓은 필터)라고 하고, <math>\mathcal F_{x,F} (X)</math>를
: <math>\{G\in\mathcal F(X):\; F\cup\mathcal U_X(x)\subseteq G\}</math>
가 생성하는 <math>\mathcal F(X)</math>의 충만한 [[부분범주]]([[포함 함자]]가 [[충만한 함자|충만한]] 부분범주)라고 하자.

<math>E:\mathcal F_{x,F}\hookrightarrow\mathcal F(X)</math>는 자명한 [[충실한 함자|충실한]] 다이어그램이고, <math>\Delta</math>는 [[대각 함자]]이며 <math>\lambda:\; \Delta(F)\Rightarrow E</math>는 <math>G\in\mathcal F_{x,F}</math>에 대하여 <math>\lambda(G):\; F\hookrightarrow G</math>가 포함 함자가 되게 하는 자연 변환이다.

그러면 <math>F</math>가 <math>(X, \mathcal T)</math>에서 <math>x</math>로 수렴(필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함)하는 것과  자연 변환 <math>\lambda</math>가 다이어그램 <math>E</math>의 극한인 것이 동치이다. <ref>[http://mathoverflow.net/questions/9951/limits-in-category-theory-and-analysis/9962]</ref>

[[분류:범주론]]