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“우리나라 고등학교 수학 교과서에서 함수의 증감과 극대·극소를 설명하는 방식에 대한 비판적 논의”, 한국수학교육학회지 시리즈 A 〈수학교육〉, 2010. 05., 제49권, 제2호, 247–257.</ref> 여기서 “<math>x_0</math>까지” 및 “<math>x_0</math>부터”라는 말은 아마 다음 둘 중 하나의 뜻이 아닌가 한다. * 충분히 작은 양수 <math>h</math>에 대하여 <math>f</math>가 <math>(x_0-h, x_0]</math>에서는 증가하고, <math>[x_0, x_0+h)</math>에서는 감소한다. * 충분히 작은 양수 <math>h</math>에 대하여 <math>f</math>가 <math>(x_0-h, x_0)</math>에서는 증가하고, <math>(x_0, x_0+h)</math>에서는 감소한다. 물론 여기서 ‘증가’ 및 ‘감소’라는 말은 정의역에서 <math>x < y</math>이면 <math>f(x) \leq f(y)</math> 및 <math>f(x) \geq f(y)</math>라는 뜻으로 쓰인 것이다. 또 다른 책에서는 한술 더 떠 아래와 같이 정의하기도 한다. * 함수 <math>f(x)</math>에 대해 <math>f(x)</math>가 <math>x=x_0</math>에서 연속이고 <math>x=x_0</math>를 경계로 증가상태에서 감소상태로 바뀌면 <math>f(x_0)</math>를 극댓값이라고 한다.<ref name="kye" /> * 함수 <math>f(x)</math>에 대해 <math>f(x)</math>가 <math>x=x_0</math>를 경계로 증가상태에서 감소상태로 바뀌면 <math>f(x_0)</math>를 극댓값이라고 한다.<ref name="kye" /> 여기서 ‘증가상태’ 및 ‘감소상태’라는 개념은 함수의 ‘증가’ 및 ‘감소’와 달리 한 지점에 관한 것으로서, 전혀 표준적이지 않은 개념인데 우리나라 고등학교 교과서에서만 유독 쓰이고 있다. 게다가 책마다 정의가 조금씩 다른데, 위쪽 정의가 많고, 아래쪽 정의도 발견된다.<ref name="kye" /> # 충분히 작은 양수 <math>h</math>에 대하여 <math>f(a-h) < f(a) < f(a+h)</math>이면 함수 <math>f(x)</math>는 <math>x=a</math>에서 증가상태에 있다.<ref name="kye" /> # <math>a</math>를 포함하는 어떤 열린 구간에서 <math>f(x)</math>가 증가하면 함수 <math>f(x)</math>는 <math>x=a</math>에서 증가상태에 있다.<ref name="kye" /> == 극값을 찾는 법 == 가장 근본적인 방법은 일변수함수 <math>f:A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>에 관한 것으로서 도함수를 이용하는 방법이다. 아래 정리는 오늘날에는 ‘페르마의 정리’ 혹은 ‘내부 극값 정리(interior extremum theorem)’라고 부른다. {{인용문2|함수 <math>f(x)</math>가 <math>x=a</math>에서 극값을 가질 때, 만일 <math>f(x)</math>가 <math>x=a</math>에서 미분가능하면<ref>근방까지도 필요 없고, <math>x=a</math> 딱 한 점에서만 미분가능해도 된다.</ref> <math>f'(a)=0</math>이다.}} * 증명: *: 증명은 극댓값에 관해서만 하면 충분할 것이다. *: <math>f(x)</math>가 <math>x=a</math>에서 미분가능하다는 것은 극한 <math>\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>가 존재한다는 것과 동치이고, 이는 좌극한과 우극한이 같다는 것과 동치이다. *: 극댓값의 정의에 의해 어떤 열린 구간 <math>\left( a-\delta, \; a+\delta \right)</math>에서는 <math>f(x) \leq f(a)</math>이다. *: 이제 <math>-\delta < h < 0</math>이면 <math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \geq 0</math>이므로 <math>\lim_{h \to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \geq 0</math>이고, *: <math>0 < h < \delta</math>이면 <math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0</math>이므로 <math>\lim_{h \to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0</math>이다. *: 따라서 둘이 같으려면 <math>\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = 0</math>일 수밖에 없고, 원하는 결론을 얻는다. 따라서 미분계수가 0인 점만이 극점의 후보가 된다. 물론 위 정리의 역은 성립하지 않기 때문에, 미분계수가 0이라고 하여도 극점이 아닐 수도 있고(예를 들어 <math>f(x)=x^3</math><ref><math>f'(0)=0</math>이지만 <math>x=0</math>에서 극댓값도 아니고 극솟값도 아니다. 참고로 이 함수는 전구간에서 강증가한다.</ref>), 극값을 갖는다고 하여도 아직은 극댓값인지 극솟값인지 알 수 없다. {{각주}} [[분류:해석학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문2 (원본 보기) (준보호됨)