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{{학술}} | |||
'''군''' (group)은 대충 말해 곱셈과 나눗셈이 가능한 집합(?)이다.<ref>덧셈과 뺄셈으로 생각해도 좋다, 하지만 곱셈과 나눗셈으로 생각하는 편이 더 일반적이다.</ref> 즉, 어떤 집합에 정의된 적당한 추상적 연산이 몇 가지 좋은 성질을 만족할 때 그 집합과 연산의 순서쌍을 군이라고 한다. | '''군''' (group)은 대충 말해 곱셈과 나눗셈이 가능한 집합(?)이다.<ref>덧셈과 뺄셈으로 생각해도 좋다, 하지만 곱셈과 나눗셈으로 생각하는 편이 더 일반적이다.</ref> 즉, 어떤 집합에 정의된 적당한 추상적 연산이 몇 가지 좋은 성질을 만족할 때 그 집합과 연산의 순서쌍을 군이라고 한다. | ||
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이를 commutative diagram으로 쓰면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 다음 세 diagram이 commute한다: | 이를 commutative diagram으로 쓰면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 다음 세 diagram이 commute한다: | ||
# 결합 법칙과 닫혀 있음. | # 결합 법칙과 닫혀 있음. | ||
#: | #:{{Commutative diagram| | ||
(G\times G )\times G & \mapright{\cong} & G\times (G\times G ) \\[3pt] | (G\times G )\times G & \mapright{\cong} & G\times (G\times G ) \\[3pt] | ||
\mapdownl{m \times 1_G}& & \mapdown{1_G\times m } \\[3pt] | \mapdownl{m \times 1_G}& & \mapdown{1_G\times m } \\[3pt] | ||
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\qquad\qquad \mapdiagright{m }& & \mapdiagleft{m } \qquad \qquad \\ | \qquad\qquad \mapdiagright{m }& & \mapdiagleft{m } \qquad \qquad \\ | ||
& G & | & G & | ||
}}</math> | |||
#:여기에서 <math>m=\cdot : G\times G\longrightarrow G</math>는 곱셈(이항연산)을 나타내고, 1<sub>G</sub>은 항등함수 <math>1_G:g \mapsto g</math>를 나타낸다. | #:여기에서 <math>m=\cdot : G\times G\longrightarrow G</math>는 곱셈(이항연산)을 나타내고, 1<sub>G</sub>은 항등함수 <math>1_G:g \mapsto g</math>를 나타낸다. | ||
# 항등원의 존재. 다음 두 삼각형을 commute하는 항등원 (항등원을 만드는 사상) <math>e:\;G\xrightarrow{\mathrm{proj}} 1\rightarrow G</math>이 존재한다:<ref>여기서 1은 [[singleton]], 즉 {0}을 나타낸다.</ref> | # 항등원의 존재. 다음 두 삼각형을 commute하는 항등원 (항등원을 만드는 사상) <math>e:\;G\xrightarrow{\mathrm{proj}} 1\rightarrow G</math>이 존재한다:<ref>여기서 1은 [[singleton]], 즉 {0}을 나타낸다.</ref> | ||
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* 덧셈에 관해 군을 이루는 것 | * 덧셈에 관해 군을 이루는 것 | ||
** [[정수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb Z,+)</math>, [[유리수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb Q,+)</math>, [[실수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb R, +)</math>, [[복소수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb C,+)</math>. | ** [[정수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb Z,+)</math>, [[유리수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb Q,+)</math>, [[실수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb R, +)</math>, [[복소수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb C,+)</math>. | ||
** | ** 잉여군 <math>(\mathbb Z/n \mathbb Z, +)</math>. | ||
* 곱셈에 관해 군을 이루는 것 | * 곱셈에 관해 군을 이루는 것 | ||
** 단원군(Unit group) <math>(\mathbb Z^\times, \cdot)</math>, <math>(\mathbb Q^\times, \cdot)</math>, <math>(\mathbb R^\times, \cdot)</math>, <math>(\mathbb C^\times, \cdot)</math>. | ** 단원군(Unit group) <math>(\mathbb Z^\times, \cdot)</math>, <math>(\mathbb Q^\times, \cdot)</math>, <math>(\mathbb R^\times, \cdot)</math>, <math>(\mathbb C^\times, \cdot)</math>. | ||
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* 그 밖의 것 | * 그 밖의 것 | ||
** [[대칭군]](Symmetric group) <math>S_n</math> | ** [[대칭군]](Symmetric group) <math>S_n</math> | ||
** | ** 교대군(Alternative group) <math>A_n</math> | ||
** | ** 정이면체군(Dihedral group) <math>D_{2n}</math> | ||
** | ** 갈루아군(Galois group) <math>Gal(K/F)</math>. | ||
** | ** 호모토피 군 (Homotopy Group) <math>\pi_n (X) </math> | ||
** | ** 호몰로지 군 (Homology Group) <math>\mathrm{H}_n (X) </math> | ||
군이 아닌 것의 예로는 [[자연수]] 전체의 집합을 들 수 있다. 자연수 전체의 집합은 덧셈에 대해서도, 곱셈에 대해서도 군이 아니다. 덧셈에 대해서는 항등원<ref>자연수를 1부터 시작하는 경우. 0부터 시작하는 경우 항등원은 있다.</ref>과 역원이 없고, 곱셈에 대해서는 역원이 없다. 즉, <math>(\mathbb N,+)</math>은 1번 공리만 만족하여 반군(semigroup)이고, <math> (\mathbb N,\cdot)</math>은 1,2번 공리만 만족해서 모노이드(monoid)이다. | 군이 아닌 것의 예로는 [[자연수]] 전체의 집합을 들 수 있다. 자연수 전체의 집합은 덧셈에 대해서도, 곱셈에 대해서도 군이 아니다. 덧셈에 대해서는 항등원<ref>자연수를 1부터 시작하는 경우. 0부터 시작하는 경우 항등원은 있다.</ref>과 역원이 없고, 곱셈에 대해서는 역원이 없다. 즉, <math>(\mathbb N,+)</math>은 1번 공리만 만족하여 반군(semigroup)이고, <math> (\mathbb N,\cdot)</math>은 1,2번 공리만 만족해서 모노이드(monoid)이다. | ||
== 군의 종류 == | == 군의 종류 == | ||
<math>G</math>가 군일 때, | <math>G</math>가 군일 때, | ||
* <math>G</math>가 ''' | * <math>G</math>가 '''아벨군(abelian group)'''<ref>수학자 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]]의 이름에서 왔는데, 대문자로 적지 않는 쪽이 관습이다. 그만큼 아벨이 많이 사용된다는 이야기이고, 상당히 영광스러운 일이다. </ref>/'''가환군(commutative group)'''이라는 것은 교환법칙이 성립하는 것이다. 그러니까 모든 <math>x, y \in G</math>에 대해서 <math>xy=yx</math>가 성립한다. | ||
** 아벨군의 예: 위 군의 예 중 덧셈에 관해 군을 이루는 것 전부 및 아래 순환군. | ** 아벨군의 예: 위 군의 예 중 덧셈에 관해 군을 이루는 것 전부 및 아래 순환군. | ||
* <math>G</math>가 ''' | * <math>G</math>가 '''순환군(cyclic group)'''이라는 것은 적당한 <math>a\in G</math>가 있어서 <math>\langle a \rangle=G</math>인 것이다. 이는 모든 <math> x\in G</math>에 대해 적당한 정수 ''n''이 있어서 <math> x=a^n </math>꼴로 표현되는 것과 동치이다. 이때 <math>a</math>를 <math>G</math>의 생성자(generator)라고 한다. 순환군은 가장 간단한 형태의 군이고, 모든 순환군은 아벨군이다.<ref>증명: <math>x,y\in G</math>이면 적당한 정수 <math>n,m</math>이 있어서 <math>x=a^n</math>, <math>y=a^m</math>이다. 이제 <math>xy=a^{n} a^{m}=a^{n+m}=a^{m+n}=a^{m} a^{n}=yx </math>.</ref> | ||
** 순환군의 예: 자명군 <math> \{0 \} </math>, 정수군 <math>( \mathbb Z , + )</math> , 잉여군 <math>(\mathbb Z/n \mathbb Z, +)</math>. 사실 모든 순환군은 이들 중 어느 하나와 동형(isomorphic)이다. | ** 순환군의 예: 자명군 <math> \{0 \} </math>, 정수군 <math>( \mathbb Z , + )</math> , 잉여군 <math>(\mathbb Z/n \mathbb Z, +)</math>. 사실 모든 순환군은 이들 중 어느 하나와 동형(isomorphic)이다. | ||
* <math>G</math>가 '''단순군(simple group)'''이라는 것은 <math>G</math>의 정규부분군이 자기자신 <math>G</math>와 자명군 <math>\{ e \}</math>밖에 없는 것이다. | * <math>G</math>가 '''단순군(simple group)'''이라는 것은 <math>G</math>의 정규부분군이 자기자신 <math>G</math>와 자명군 <math>\{ e \}</math>밖에 없는 것이다. | ||
* <math>G</math>가 [[소수]] <math>p</math>에 대해 '''<math>p</math>군(<math>p</math>‐group)'''이라는 것은, <math>G</math>의 모든 원소의 위수가 <math>p</math>의 양의 거듭제곱인 것이다. | * <math>G</math>가 [[소수]] <math>p</math>에 대해 '''<math>p</math>군(<math>p</math>‐group)'''이라는 것은, <math>G</math>의 모든 원소의 위수가 <math>p</math>의 양의 거듭제곱인 것이다. | ||
* <math>G</math>가 ''' | * <math>G</math>가 '''가해군(solvable group)'''이라는 것은 적당한 <math>G</math>의 부분군들 <math>\{e \}=H_0\trianglelefteq H_1\trianglelefteq\dots\trianglelefteq H_n=G</math>가 있어서 <math>H_i/H_{i-1}</math> (<math>i=1, \dots, n</math>)가 모두 아벨군인 것이다. | ||
또, <math>G</math>의 크기 <math>|G|</math>는 <math>G</math>의 '''위수(order)'''라고 하는데, <math>G</math>의 위수가 유한하면 <math>G</math>를 유한군(finite group), 무한하면 <math>G</math>를 무한군(infinite group)이라고 부른다. | 또, <math>G</math>의 크기 <math>|G|</math>는 <math>G</math>의 '''위수(order)'''라고 하는데, <math>G</math>의 위수가 유한하면 <math>G</math>를 유한군(finite group), 무한하면 <math>G</math>를 무한군(infinite group)이라고 부른다. | ||
== 군 | == 군 동형사상(Group Isomorphism)과 군 준동형사상(Group Homomorphism) == | ||
두 개의 군 <math>G</math>와 <math>H</math>가 있고, <math>(G,*)</math>에서 <math>(H,*')</math>로 가는 함수 <math>f</math>가 있다고 하자. 이 함수가 모든 <math>x, y \in G</math>에 대해 <math>f(x*y) = f(x)*'f(y)</math>를 만족할 때, 이 <math>f</math>를 '''군 준동형사상(group homomorphism | 두 개의 군 <math>G</math>와 <math>H</math>가 있고, <math>(G,*)</math>에서 <math>(H,*')</math>로 가는 함수 <math>f</math>가 있다고 하자. 이 함수가 모든 <math>x, y \in G</math>에 대해 <math>f(x*y) = f(x)*'f(y)</math>를 만족할 때, 이 <math>f</math>를 '''군 준동형사상(group homomorphism)'''이라고 부른다. | ||
좀 더 정확하게는 <math>f</math>가 군의 이항연산 <math>\cdot</math>, 영항연산 <math>e</math>, 단항연산 <sup>-1</sup>을 모두 보존해야 하지만, 군에서는 이항연산 하나만 보존하면 나머지는 자동이므로 위처럼 정의해도 아무런 문제가 없다. | 좀 더 정확하게는 <math>f</math>가 군의 이항연산 <math>\cdot</math>, 영항연산 <math>e</math>, 단항연산 <sup>-1</sup>을 모두 보존해야 하지만, 군에서는 이항연산 하나만 보존하면 나머지는 자동이므로 위처럼 정의해도 아무런 문제가 없다. | ||
두 개의 군 <math>G,H</math>에 대해 군 준동형사상 <math>f : G \to H</math>가 존재하면 <math>H</math>를 <math>G</math>의 '''준동형상(homomorphic image)'''이라고 한다. | |||
만약 군 준동형사상 <math>f : G \to H</math>가 일대일대응(one‐to‐one correspondence)이면 '''군 동형사상(group isomorphism | 만약 군 준동형사상 <math>f : G \to H</math>가 일대일대응(one‐to‐one correspondence)이면 '''군 동형사상(group isomorphism)'''이라고 부른다. 이때 두 군 <math>G</math>와 <math>H</math>는 '''동형(isomorphic)'''이라고 하고, <math>G \cong H</math>로 적는다. | ||
두 개의 군 <math>G,H</math>가 동형이라는 것은 두 군이 이름만 다르고 구조적으로 완전히 똑같다는 뜻이다. 예를 들어 다음과 같다(<math>G,H</math>를 바꾸어도 된다). | 두 개의 군 <math>G,H</math>가 동형이라는 것은 두 군이 이름만 다르고 구조적으로 완전히 똑같다는 뜻이다. 예를 들어 다음과 같다(<math>G,H</math>를 바꾸어도 된다). | ||
148번째 줄: | 128번째 줄: | ||
<math>H</math>가 <math>G</math>의 부분군인 것은 <math>H</math>가 다음 세 조건 (i) <math>x</math>, <math>y\in H</math>이면 <math>xy\in H</math>, (ii) <math>e\in H</math> 및 (iii) <math>x\in H</math>이면 <math>x^{-1}\in H</math>를 만족하는 것과 동치이다. 즉, <math>H</math>가 군의 이항연산 <math>\cdot</math>, 영항연산 <math>e</math>, 단항연산 <sup>-1</sup>에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다. | <math>H</math>가 <math>G</math>의 부분군인 것은 <math>H</math>가 다음 세 조건 (i) <math>x</math>, <math>y\in H</math>이면 <math>xy\in H</math>, (ii) <math>e\in H</math> 및 (iii) <math>x\in H</math>이면 <math>x^{-1}\in H</math>를 만족하는 것과 동치이다. 즉, <math>H</math>가 군의 이항연산 <math>\cdot</math>, 영항연산 <math>e</math>, 단항연산 <sup>-1</sup>에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다. | ||
== [[정규부분군]]과 몫군( | == [[정규부분군|정규부분군(Normal subgroup)]]과 몫군(Quotient group) == | ||
<math>G</math>의 부분군 <math>N</math>이 '''정규부분군(normal subgroup)'''이라는 것은 모든 <math>x\in G</math>에 대해서 <math>xN=Nx</math>인 것을 말한다. 그러니까, 좌잉여류와 우잉여류가 항상 같은 것이다. 이때 <math>N\trianglelefteq G</math>와 같이 표기한다. | <math>G</math>의 부분군 <math>N</math>이 '''정규부분군(normal subgroup)'''이라는 것은 모든 <math>x\in G</math>에 대해서 <math>xN=Nx</math>인 것을 말한다. 그러니까, 좌잉여류와 우잉여류가 항상 같은 것이다. 이때 <math>N\trianglelefteq G</math>와 같이 표기한다. | ||
한편, 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군은 정규부분군이 된다. | |||
정규부분군의 예로는 다음과 같은 것이 있다. | 정규부분군의 예로는 다음과 같은 것이 있다. | ||
* <math>\operatorname {SL}(V)\trianglelefteq\operatorname {GL}(V)</math>, <math>\operatorname {SO}(n)\trianglelefteq\operatorname {O}(n)</math>, <math>\operatorname {SU}(n)\trianglelefteq\operatorname {U}(n)</math> | * <math>\operatorname {SL}(V)\trianglelefteq\operatorname {GL}(V)</math>, <math>\operatorname {SO}(n)\trianglelefteq\operatorname {O}(n)</math>, <math>\operatorname {SU}(n)\trianglelefteq\operatorname {U}(n)</math> | ||
* <math>A_n \trianglelefteq S_n</math> <ref><math>n</math>이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다.</ref> | * <math>A_n \trianglelefteq S_n</math> <ref><math>n</math>이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다.</ref> | ||
또 다음과 같은 것들도 정규부분군이다. | 또 다음과 같은 것들도 정규부분군이다. | ||
* <math> \{e \}\trianglelefteq G</math>, <math>G\trianglelefteq G</math> | * <math> \{e \}\trianglelefteq G</math>, <math>G\trianglelefteq G</math> | ||
159번째 줄: | 143번째 줄: | ||
* <math>N\le H\le G</math>이고 <math>N\trianglelefteq G</math>이면 <math>N\trianglelefteq H</math>이다. | * <math>N\le H\le G</math>이고 <math>N\trianglelefteq G</math>이면 <math>N\trianglelefteq H</math>이다. | ||
* 지표(index)가 2인 부분군<ref>좀 더 일반적으론, 지표가 “어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수”일 때</ref>은 정규부분군이다. | * 지표(index)가 2인 부분군<ref>좀 더 일반적으론, 지표가 “어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수”일 때</ref>은 정규부분군이다. | ||
<math>N</math>이 <math>G</math>의 정규부분군이라면 (좌)<ref>어차피 좌잉여류와 우잉여류가 같으므로 별 상관 없다.</ref>잉여류의 집합 <math>G/N = \{ xN : x\in G \}</math>에 아래와 같이 자명한 연산을 정의할 수 있고, 이 연산에 관해 <math>G/H</math>는 군이 되는데, 이를 | |||
<math>N</math>이 <math>G</math>의 정규부분군이라면 (좌)<ref>어차피 좌잉여류와 우잉여류가 같으므로 별 상관 없다.</ref>잉여류의 집합 <math>G/N = \{ xN : x\in G \}</math>에 아래와 같이 자명한 연산을 정의할 수 있고, 이 연산에 관해 <math>G/H</math>는 군이 되는데, 이를 몫군(quotient group)이라 한다. | |||
자명한 방법이란, <math>xN, yN \in G/N</math>에 대해 <math>(xN)(yN)=(xy)N</math>과 같이 정의하는 것이다. 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건이 <math>N</math>이 <math>G</math>의 정규부분군인 것이기 때문에 이때만 몫군을 정의한다. 한편, 이와 같은 연산의 정의는 전형적 사영(canonical projection) <math>\pi : G \to G/N</math>, <math>x \mapsto xN</math>이 군 준동형사상이 되는 유일한 방법이기도 하다. | 자명한 방법이란, <math>xN, yN \in G/N</math>에 대해 <math>(xN)(yN)=(xy)N</math>과 같이 정의하는 것이다. 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건이 <math>N</math>이 <math>G</math>의 정규부분군인 것이기 때문에 이때만 몫군을 정의한다. 한편, 이와 같은 연산의 정의는 전형적 사영(canonical projection) <math>\pi : G \to G/N</math>, <math>x \mapsto xN</math>이 군 준동형사상이 되는 유일한 방법이기도 하다. | ||
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{{주석}} | {{주석}} | ||
[[분류:추상대수학]] | [[분류:추상대수학]] | ||