로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!{{다른 뜻}} '''공리'''(公理, Axiom})는 어떤 이론체계에서 가장 기초적인 근거가 되는 [[명제]](命題)이다. 어떤 다른 명제들을 증명하기 위한 전제로 이용되는 가장 기본적인 가정을 가리킨다. [[지식]]이 참된 것이 되기 위해서는 근거가 필요하나 근거를 소급해 보면 더 이상 [[증명]]하기가 곤란한 명제에 다다른다. 이것이 바로 공리이다. 참고로 [[증명]]이 필요한 [[명제]]중 [[증명]]이 완료된 [[명제]]를 정리라고 한다. 어떤 한 형식체계에 관한 논의를 위한 전제로 주어진 공리들의 집합을 공리계(公理系)라고 부른다. 한편, 공리를 그 전제로 시작하여, 연역적 수단에 의해 유도되는 명제는 [[정리]](定理)라고 한다. 공리 외에 공준(公準,postulate)이라는 용어도 사용되며, 이 두 단어를 같은 의미로 쓰는 경우도 있으나, '공리'가 여러 학문적 영역에서 공통으로 적용될 수 있는 자명한 가정을 가리킴에 반해, '공준'은 각 영역별로 자명하게 받아들여지는 가정을 일컫는다. == 공리의 예 == 다음은 공리의 예이다. * 명제 P가 성립한다면, 명제 'P 또는 Q'도 성립한다. * 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다. ([[유클리드 기하학]]) * a=b 이면, a+c = b+c이다. * 어떤 자연수에 대해서도, 그 수의 '다음' 자연수(따름수)가 존재한다. ([[페아노 공리계|페아노의 공리]]) * 어떤 것도 포함하지 않는 [[집합]]([[공집합]])이 존재한다. ([[공리적 집합론]]) * 집합 S와 조건식 P가 주어졌을 때, S의 원소 중에서, 조건 P(x)를 만족하는 x만으로 구성된 집합을 만들 수 있다. (공리적 집합론) 한편, 공리를 근거로 하여 증명되는 명제는 정리이다. 예) [[삼각형]]의 [[내각]]의 합은 180도이다. (유클리드 기하학) == 역사 == 영어 단어 Axiom의 어원은 그리스어 ἀξίωμα에서 유래하였으며, '가치가 있다 간주되거나 그 자체로 명백하다'라는 의미를 가지고 있다. 이 단어의 개념이 기술된 현존하는 문서 중 가장 오래된 것은, 기원전 300년 경에 그리스에서 쓰인 [[에우클레이데스의 원론]]이다. 원론 제1권에는 다음 5개의 공리(또는 공준)가 열거되어 있다. * 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다. * 임의의 선분을 직선으로 연장할 수 있다. * 한 점을 중심으로 임의의 반경의 원을 그릴 수 있다. * 모든 [[직각]]은 서로 같다. * 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다. ([[평행선 공준|평행선의 공리]], 제5공리) 제5공리는, '평행선의 엇각은 같다', '한 직선의 바깥의 어떤 점을 지나면서 그 직선과 평행한 직선은 하나가 있다'라는 명제와 동치인 것으로 알려져 있으며, '평행선의 공리'라고도 불린다. 이 공리는 다른 네 공리와는 달리 자명하지 않아, 이 공리를 다른 네 공리에서 유도할 수 있는가를 둘러싸고 의문이 이어왔다. (평행선의 문제) 19세기에 접어들어, [[카를 프리드리히 가우스]], [[보여이 야노시]], [[니콜라이 로바쳅스키]] 등에 의해, 유클리드의 최초의 4개의 공리가 성립하면서, 제5공리가 성립하지 않는 기하학 체계([[쌍곡기하학]])가 구성되게 되었다. 제5공리를 가정으로 발전된 기하학(유클리드 기하학)에 대하여, 쌍곡기하학 처럼 최초의 4개 공리는 만족하나 제5공리를 만족하지 않는 기하학을 [[비유클리드 기하학]]이라 부른다. 쌍곡기하학의 발견으로, 서로 양립하지 않는 전제에 근거하여 여러 가지 수학의 체계가 있을 수 있음이 인식되게 되었다. 20세기를 필두로, [[다비트 힐베르트]]를 중심으로 수학의 추상화 및 형식화가 추진되며, 공리에 의거하여 이론을 전개하려는 입장이 강조되었다. 공리계에서 얻어야 할 타당성으로 모순이 유도되지 않을 것, 반드시 성립할 명제는 모두 증명이 가능할 것 등이 여기서 언급되었다. 힐베르트는 유한의 데이터에 의해 결정되며 타당성을 갖춘 공리계를 바탕으로 수학을 여러 영역의 전개에 힘썼다. 힐베르트의 생각은 [[펠릭스 하우스도르프]]의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 이론, [[니콜라 부르바키]]의 수학의 재편성 등을 통해 20세기 수학에 큰 영향을 끼쳤다. 그러나 [[1931년]] [[쿠르트 괴델]]이 제창한 [[괴델의 불완전성 정리]]에 의해 '보통의 수학'(자연수론)의 형식화의 한계가 밝혀지며, 완전하고 모순이 없는 공리계로 형식화하는 것은 불가능함이 밝혀졌다. == 같이 보기 == * [[에우클레이데스의 원론]] * [[다비트 힐베르트]] ** [[힐베르트 공리계]] * [[체르멜로-프랑켈 집합론]] * [[연역]] * [[형식주의 (수학)|형식주의]] {{퍼온문서|공리|15880171|일부}} [[분류:논리학]] [[분류:수학 용어]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:다른 뜻 (원본 보기) (준보호됨)틀:알림바 (원본 보기) (보호됨)틀:퍼온문서 (원본 보기) (준보호됨)이 문서는 다음의 숨은 분류 1개에 속해 있습니다: 분류:퍼온 문서