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== 고유공간 == | == 고유공간 == | ||
[[체 (수학)|체]] ''F'' 위의 | [[체 (수학)|체]] ''F'' 위의 벡터공간에서 정의된 선형연산자 ''L''의 고윳값 λ가 주어졌을 때, 모든 고유벡터와 영벡터의 집합 <math>\mathbf{V}_\lambda</math>는 [[벡터공간]]을 이룬다. 왜냐 하면 임의의 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in\mathbf{V}_\lambda</math>와 <math>c\in F</math>에 대해 | ||
: <math>L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)=\lambda\mathbf{v}_1+\lambda\mathbf{v}_2=\lambda(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)</math> | : <math>L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)=\lambda\mathbf{v}_1+\lambda\mathbf{v}_2=\lambda(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)</math> | ||
: <math>L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1)=c\lambda \mathbf{v}_1=\lambda(c\mathbf{v}_1)</math> | : <math>L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1)==c\lambda \mathbf{v}_1=\lambda(c\mathbf{v}_1)</math> | ||
이기 때문이다. 이 벡터공간을 고윳값 λ이 연관된 ''L''의 고유공간(eigenspace)이라고 한다. <math>\mathbf{V}_\lambda</math>의 [[차원]](dimension)은 λ의 기하중복도(geometric multiplicity)라고 한다. | |||
<math>\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r</math>가 선형연산자 ''L''의 서로 다른 고유값이고, <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r</math>가 <math>\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r</math>와 연관된 고유벡터라고 하자. 이때 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r</math>는 선형독립이다. | <math>\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r</math>가 선형연산자 ''L''의 서로 다른 고유값이고, <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r</math>가 <math>\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r</math>와 연관된 고유벡터라고 하자. 이때 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r</math>는 선형독립이다. |